课时作业(十三) 变化率与导数、导数的计算 练习

课时作业(十三)　变化率与导数、导数的计算

一、选择题

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)

A．2(x2－a2)　　B．2(x2＋a2)

C．3(x2－a2)    D．3(x2＋a2)

解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，

∴f′(x)＝3(x2－a2)．

答案：C

2．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为(　　)

A．x－y＋1＝0  B．x＋y＋1＝0

C．x－y－1＝0  D．x＋y－1＝0

解析：曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．

且f′(x)＝2－ex，

∴f′(0)＝1.

所以所求切线方程为y＋1＝x，

即x－y－1＝0.

答案：C

3．f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于(　　)

A．e2    B．1

C．ln 2  D．e

解析：f′(x)＝2 016＋ln x＋x×＝2 017＋ln x，由f′(x0)＝2 017，得2 017＋ln x0＝2 017，则ln x0＝0，解得x0＝1.

答案：B

4．设曲线y＝在点，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)

A．－1  B.

C．－2  D．2

解析：∵y′＝，∴y′|＝－1，

由条件知＝－1，∴a＝－1，故选A.

答案：A

5．(2017·河北衡水四调)设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为(　　)

A．[－1,2]  B．(－1,2)

C．[－2,1]  D．(－2,1)

解析：由题意得f′(x)＝－ex－1，g′(x)＝a－2sin x，则∀x1∈R，∃x2∈R，使得(－ex1－1)(a－2sin x2)＝－1，即函数y＝的值域为函数y＝a－2sin x2的值域的子集，从而(0,1)⊆[a－2，a＋2]，即a－2≤0，a＋2≥1⇒－1≤a≤2，故选A.

答案：A

6．(2016·四川卷)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)

A．(0,1)       B．(0,2)

C．(0，＋∞)  D．(1，＋∞)

解析：设P1(x1，ln x1)，P2(x2，－ln x2)(不妨设x1>1,0<x2<1)，则由导数的几何意义得切线l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝－.

由已知得k1k2＝－1，所以x1x2＝1.所以x2＝.

所以切线l1的方程为y－ln x1＝(x－x1)，切线l2的方程为y＋ln x2＝－(x－x2)，

即y－ln x1＝－x1(x－).

分别令x＝0得A(0，－1＋ln x1)，B(0,1＋ln x1)．

又l1与l2的交点为P(，ln x1＋).

∵x1>1，

∴S△PAB＝|yA－yB|·|xP|＝<＝1.

∴0<S△PAB<1，故选A.

答案：A

二、填空题

7．(2017·武汉市调研测试)曲线f(x)＝xln x在点M(1，f(1))处的切线方程为________．

解析：由题意，得f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f(1)＝0，所以所求切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.

答案：x－y－1＝0

8．(2017·河北保定模拟，14)已知f(x)＝xln x，若过曲线y＝f(x)上的点P的切线斜率为2，则点P的坐标为________．

解析：设P(m，n)，

易知f′(x)＝1＋ln x，

则切线斜率为1＋ln m＝2，

解得m＝e，

∴n＝mln m＝eln e＝e.

答案：(e，e)

9．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－＝0.

答案：0

三、解答题

10．求下列函数的导数．

(1)y＝x·tan x；

(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

(3)y＝.

解析：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′

＝tan x＋x·′＝tan x＋x·

＝tan x＋.

(2)y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.

(3)y′＝′＝＝

＝＝.

11．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：

(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线l的倾斜角α的取值范围．

解析：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，

∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，

∴斜率最小的切线过(2，)，

斜率k＝－1，

∴切线方程为x＋y－＝0.

(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1.

又∵α∈[0，π]，∴α∈[0，)∪[，π).

故α的取值范围为[0，)∪[，π).

12．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

解析：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，

∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，

即x－y－4＝0.

(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，

∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，

又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，

∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，

整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，

∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.