课时作业(十九) 三角函数的图象与性质 练习

课时作业(十九)　三角函数的图象与性质

一、选择题

1．(2017·广州市五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数是(　　)

A．y＝sin xcos x　　　　　B．y＝sin2x

C．y＝tan 2x             D．y＝sin 2x＋cos 2x

解析：y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确；选A.

答案：A

2．y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　)

A.  B.

C.   D.

解析：将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.

答案：D

3．关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)

A．是奇函数

B．是区间上单调递减

C.为其图象的一个对称中心

D．最小正周期为π

解析：函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误．

∵当x＝时， tan＝0，

∴为其图象的一个对称中心，故选C.

答案：C

4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f＝(　　)

A．1    B.

C．－1  D．－

解析：由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin ＝1.

答案：A

5．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不可能是(　　)

A.    B.

C．π  D.

解析：画出函数y＝sin x的草图分析知b－a的取值范围为.

答案：A

6．(2017·吉林实验中学模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)对任意x都有f＝f，则f等于(　　)

A．2或0  B．－2或2

C．0      D．－2或0

解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，

所以该函数图象关于直线x＝对称，

因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，

则f＝±2.

答案：B

二、填空题

7．函数y＝cos的单调减区间为________．

解析：由y＝cos＝cos得

2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以函数的单调减区间为(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

8．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________．

解析：由题意知，1<<2，即k<π<2k，又k∈N，所以k＝2或k＝3.

答案：2或3

9．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题：

①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；

②f(x)的最小正周期是2π；

③f(x)在区间上是增函数；

④f(x)的图象关于直线x＝对称．

其中真命题的是________．

解析：f(x)＝sin 2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈时，2x∈，故③是真命题；因为f＝sin ＝－，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故④是真命题．

答案：③④

三、解答题

10．已知函数f(x)＝2asin＋b(a≠0)的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．

解析：因为0≤x≤，

所以－≤2x－≤，

所以－≤sin(2x－)≤1.

若a>0，则

解得

若a<0，则

解得

11．已知f(x)＝sin.

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；

(2)求f(x)的单调增区间．

解析：(1)f(x)＝sin，

令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z.

∴函数f(x)图象的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.

(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故f(x)的单调增区间为，k∈Z.

12．已知f(x)＝2sin＋a＋1.

(1)若x∈R，求f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；

(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．

解析：(1)f(x)＝2sin＋a＋1，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

可得x∈(k∈Z)，

所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)当x＝时，f(x)取最大值

f＝2sin ＋a＋1＝a＋3＝4，

所以a＝1.

(3)由f(x)＝2sin＋2＝1

可得sin＝－，

则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，

即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，

又x∈[－π，π]，

可解得x＝－，－，，，

所以x的取值集合为.