课时作业(四十六) 两条直线的位置关系与距离公式 练习

课时作业(四十六)　两条直线的位置关系与距离公式

一、选择题

1．(2017·厦门一模)“c＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由点(2,1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离d＝＝3，解得c＝5或c＝－25，故“c＝5”是“点(2,1)到直线 3x＋4y＋c＝0的距离为3”的充分不必要条件，选B.

答案：B

2．(2017·宁夏银川二模，3)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，

∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，

∴l1与l2间的距离d＝＝，

故选B.

答案：B

3．(2017·上海一模)坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：直线x－2y＋2＝0的斜率k＝，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得，解得，

即所求点的坐标是.选A.

答案：A

4．已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为(　　)

A．7   B．9

C．11  D．16

解析：∵直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，

∴2n＝m(n－1)，∴m＋2n＝mn，两边同除以mn可得＋＝1，

∵m，n为正整数，

∴2m＋n＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9.

当且仅当＝时取等号．故选B.

答案：B

5．在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1<m<4)，C(4,2)，则当△ABC的面积最大时，m＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由两点间距离公式可得|AC|＝，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝，所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝，又1<m<4，所以1<<2，所以当＝，即m＝时，S取得最大值．

答案：B

6．已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0<x0＋2，则的取值范围是(　　)

A.     B.

C.  D.∪(0，＋∞)

解析：∵点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，

∴＝，化简为x0＋3y0＋2＝0.

设＝kOM，如图，当点M在线段AB(不包括端点)上时，kOM>0；当点M在射线BQ(不包括端点)上时，kOM<－，

∴的取值范围是∪(0，＋∞)．故选D.

答案：D

二、填空题

7．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.

解析：由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，

解得a＝.

答案：

8．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为________．

解析：由得所以l1与l2交点为(1,2)，直线x＝1显然不适合．

设所求直线为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，

因为P(0,4)到直线的距离为2，所以2＝，

所以k＝0或k＝.

所以直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.

答案：y＝2或4x－3y＋2＝0

9．设直线l经过点A(－1,1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________________．

解析：设点B(2，－1)到直线l的距离为d，

当d＝|AB|时取得最大值，

此时直线l垂直于直线AB，kl＝－＝，

∴直线l的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.

答案：3x－2y＋5＝0

三、解答题

10．已知直线l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋＝0，分别求满足下列条件的k的值：

(1)l1，l2，l3相交于一点；

(2)l1，l2，l3围成三角形．

解析：(1)直线l1，l2的方程联立得

解得即直线l1，l2的交点为P(－1，－2)．

又点P在直线l3上，所以－1－2k＋k＋＝0，

解得k＝－.

(2)由(1)知k≠－.

当直线l3与l1，l2均相交时，有

解得k≠且k≠－1，

综上可得k≠－，且k≠，且k≠－1.

11．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.

(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

解析：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为

(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

∴＝3，

解得λ＝2或λ＝.

∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.

(2)由解得交点P(2,1)，

如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．

∴dmax＝|PA|＝.

12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：

(1)点P(4,5)关于l的对称点；

(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．

解析：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．

∵kpp′·kl＝－1，即×3＝－1.①

又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，

∴3×－＋3＝0.②

由①②得

(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，

∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．

(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，

化简得7x＋y＋22＝0.