课时作业(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系 练习

课时作业(四十八)　直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题

1．(2017·菏泽一模)已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　)

A．1：2　　B．1：3

C．1：4    D．1：5

解析：(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝＝，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1：2.选A.

答案：A

2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为(　　)

A．(－3，3)

B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

C．(－2，2)

D．[－3，3]

解析：由圆的方程可知圆心为O(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝2＋1，即d＝＝＜3，解得a∈(－3，3)，故选A.

答案：A

3．(2017·烟台一模)若一个圆的圆心为抛物线y＝－x2的焦点，且此圆与直线3x＋4y－1＝0相切，则该圆的方程是(　　)

A．x2＋(y－1)2＝1       B．(x＋1)2＋y2＝1

C．(x－1)2＋(y＋1)2＝1   D．x2＋(y＋1)2＝1

解析：抛物线y＝－x2，即x2＝－4y，其焦点为(0，－1)，即圆心为(0，－1)，圆心到直线3x＋4y－1＝0的距离d＝＝1，即r＝1，故该圆的方程是x2＋(y＋1)2＝1，选D.

答案：D

4．(2017·山东太原模拟，4)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)

A．21  B．19

C．9   D．－11

解析：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.

答案：C

5．已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值为(　　)

A.  B．4

C.  D．9

解析：x2＋y2－2x－4y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝()2，因为直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，故直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)经过圆心(1,2)，即a＋2b＝6.又6＝a＋2b≥2，即ab≤，当且仅当a＝2b＝3时取等号，故ab的最大值为，选C.

答案：C

6．(2017·广东佛山二模，7)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是(　　)

A．x－2y＋3＝0  B．2x＋y－4＝0

C．x－y＋1＝0   D．x＋y－3＝0

解析：设圆心C到直线l的距离为d，则有cos＝，要使∠ACB最小，则d要取到最大值．此时直线l与直线CM垂直．而kCM＝＝1，故直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0.

答案：D

二、填空题

7．(2017·洛阳一模)已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0截得的弦长为6，则直线l的方程为__________．

解析：圆C：x2＋y2－2x－4y－5＝0的圆心坐标为(1,2)，半径为.因为过点(2,4)的直线l被圆C截得的弦长为6，所以圆心到直线l的距离为1，①当直线l的斜率不存在时，直线方程为x－2＝0，满足圆心到直线的距离为1；②当直线l的斜率存在时，设其方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，所以＝1，所以k＝，所求直线l的方程为3x－4y＋10＝0.故直线l的方程为x－2＝0或3x－4y＋10＝0.

答案：x－2＝0或3x－4y＋10＝0

8．(2017·福建师大附中联考，13)与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为__________．

解析：所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，－2a)(a＜0)，又因为所求圆与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2，所以＝2，可得a2＝4，则a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝20.

答案：(x＋2)2＋(y－4)2＝20

9．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________．

解析：圆心C的坐标为(－2,0)，半径r＝2，若直线l与圆C恒有公共点，则圆心到直线l的距离d≤r，即≤2，解得－≤k≤，所以实数k的最小值为－.

答案：－.

三、解答题

10．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．

(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；

(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；

(3)过切点A(4，－1)．

解析：(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，

则＝，∴b＝1±2，

∴切线方程为x＋y＋1±2＝0；

(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，

则＝，∴m＝±5，

∴切线方程为2x＋y±5＝0；

(3)∵kAC＝＝，

∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，

∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，

即3x＋y－11＝0.

11．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．

解析：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.

(1)若直线l与圆C相切，

则有＝2.解得a＝－.

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

得

解得a＝－7，或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.

12．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

解析：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.

因为直线l与圆C交于两点，所以＜1，

解得＜k＜.

所以k的取值范围为.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，

整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.

由题设可得＋8＝12，解得k＝1，

所以直线l的方程为y＝x＋1.

故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.