课时作业(九) 对数与对数函数 练习

课时作业(九)　对数与对数函数

一、选择题

1.＋log2＝(　　)

A．2　　　　　　 B．2－2log23

C．－2           D．2log23－2

解析：＝＝2－log23，又log2＝－log23，两者相加即为B.

答案：B

2．(2017·河南八市质检)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos100，则(　　)

A．b>c>a  B．b>a>c

C．a>b>c  D．c>a>b

解析：因为20.3>20＝1,0＝logπ1<logπ3<logππ＝1，log4cos100<log41＝0，所以a>b>c，故选C.

答案：C

3．(2017·河北正定质检)设函数f(x)＝则f(－98)＋f(lg30)＝(　　)

A．5  B．6

C．9  D．22

解析：f(－98)＋f(lg30)＝1＋lg[2－(－98)]＋10lg30－1＝1＋lg100＋＝1＋2＋3＝6，故选B.

答案：B

4．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是(　　)

解析：当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，

又f(x)的图象关于x＝1对称，故选B.

答案：B

5．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则(　　)

A．f(3)<f(－2)<f(1)  B．f(1)<f(－2)<f(3)

C．f(－2)<f(1)<f(3)  D．f(3)<f(1)<f(－2)

解析：因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．

又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，

所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．

答案：B

6．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　　)

A．[1,2)       B．[1,2]

C．[1，＋∞)  D．[2，＋∞)

解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在

(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．

答案：A

二、填空题

7．(2017·山东济南一模)函数f(x)＝的定义域是________．

解析：⇒⇒⇒10<x<100，故函数的定义域为{x|10<x<100}．

答案：{x|10<x<100}

8．(2017·湖南四校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

解析：令t＝x2－ax＋3a，所以函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)＝f(t)，要使得函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，需满足t＝x2－ax＋3a在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－≤2，所以a≤4，而t＝x2－ax＋3a>0在区间[2，＋∞)上恒成立，所以22－2a＋3a>0，所以a>－4，所以实数a的取值范围是(－4,4]，故应填(－4,4]．

答案：(－4,4]

9．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则a的取值范围是________．

解析：当x≤0时，0<2x≤1，由图象可知方程f(x)－a＝0有两个实根，即y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0<a≤1.

即实数a的取值范围为(0,1]．

答案：(0,1]

三、解答题

10．(1)计算：；

(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.

解析：(1)原式

＝

＝

＝

＝＝＝＝1.

(2)∵loga2＝m，loga3＝n，

∴am＝2，an＝3，

∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.

11．已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)，

(1)求证：函数f(x)的图象总在y轴的一侧；

(2)讨论函数f(x)的单调性．

解析：(1)证明：∵由ax－1>0可得ax>1，

∴当a>1时，x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

此时函数f(x)的图象总在y轴的右侧；

当0<a<1时，x<0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧．

∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧．

(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<a<a，∴0<a－1<a－1，

∴loga(a－1)<loga(a－1)，

∴f(x1)<f(x2)，

∴当a>1时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；

当0<a<1时，设x1<x2<0，则a>a>1，

∴a－1>a－1>0，

∴loga(a－1)<loga(a－1)，

∴f(x1)<f(x2)，

∴当0<a<1时，函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．

综上可知：函数f(x)＝loga(ax－1)在其定义域上为增函数．

12．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解析：(1)∵f(1)＝1，

∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，

这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数f(x)的定义域为(－1,3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3，

则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．

又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，

所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，

单调递减区间是(1,3)．

(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，

则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此应有解得a＝.

故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.