课时作业(六十一) 几何概型 练习

课时作业(六十一)　几何概型

一、选择题

1．(2017·茂名二模)已知在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)

A.   B.   C.   D.

解析：如图所示，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.故选C.

答案：C

2．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为(　　)

A.    B.    C.    D.

解析：设AC＝x cm,0<x<12，则CB＝(12－x) cm，要使矩形面积大于20 cm2，只要x(12－x)>20，则x2－12x＋20<0，解得2<x<10，所求概率为P＝＝.

答案：C

3．(2017·南昌二模)在满足不等式组的平面区域内随机取一点M(x0，y0)，设事件A为“y0<2x0”，那么事件A发生的概率是(　　)

A.     B.    C.    D.

解析：如图所示，不等式组表示的平面区域的面积S△ABC＝×(1＋3)×2＝4.

不等式组表示的平面区域的面积S△AOC＝×3×2＝3，因此所求的概率为，故选B.

答案：B

4．在[－4,4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上单调递增的概率为(　　)

A.      B.    C.     D.

解析：由题意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函数f(x)在R上单调递增，则3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率为＝，故选D.

答案：D

5．(2015·陕西卷)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)

A.＋  B.＋

C.－   D.－

解析：|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分，其面积为S＝π×12－×1×1＝.又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P＝＝－.

答案：D

6.

(2017·泉州二模)如图所示，在一不规则区域内，有一边长为1 m的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，则以此试验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为(　　)

A．2 m2      B. m2     C. m2     D. m2

解析：设该不规则图形的面积为x m2，则根据几何概型的概率计算公式可知＝，解得x＝.故选C.

答案：C

二、填空题

7.

(2017·山东青岛一模，14)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．

解析：易知小正方形的边长为－1，故小正方形的面积为S1＝(－1)2＝4－2，大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝＝＝.

答案：

8．(2017·黄山一模)向面积为S的△ABC内任意投掷一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．

解析：∵S△PBC<S△ABC，∴h′<，其中h′为△PBC中BC边上的高，h为△ABC中BC边上的高．

设DE为△ABC的中位线(如图所示)，则梯形BCED(阴影部分)中的点满足要求，

∴所求概率P＝＝.

答案：

9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中点，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

解析：由题意可知，正方体的体积为23＝8，满足点P到点O的距离大于1的几何体的体积为23－·×13，所以概率P＝＝1－.

答案：1－

三、解答题

10．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．

解析：

如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．

∴所求的概率P1＝＝.

11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，

(1)求四棱锥M－ABCD的体积小于的概率；

(2)求M落在三棱柱ABC－A1B1C1内的概率；

(3)求M落在三棱锥B－A1B1C1内的概率．

解析：(1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，则×S四边形ABCD×h＝，

又S四边形ABCD＝1，∴h＝.

若体积小于，则h<，即点M在正方体的下半部分，

∴P＝＝.

(2)∵V三棱柱＝×12×1＝，

∴所求概率P1＝＝.

(3)∵V三棱柱＝×S△A1B1C1×B1B＝××12×1＝，

∴所求概率P2＝＝.

12．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．

(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；

(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．

解析：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；

由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，

所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个，

故满足a·b＝－1的概率为＝.

(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．

满足a·b<0的基本事件的结果为

A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．

画出图形如图：

矩形的面积为S矩形＝25，

阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，

故满足a·b<0的概率为.