课时作业(十) 函数的图象 练习

课时作业(十)　函数的图象

一、选择题

1．(2017·珠海模拟)为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x的图象上所有的点(　　)

A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位

B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位

C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位

D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位

解析：y＝log2＝log2(x－1)＝log2(x－1)，由y＝log2x的图象纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，可得y＝log2(x－1)的图象，也即y＝log2的图象．

答案：A

2．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)

D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．

答案：C

3．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一坐标系中的图象大致是(　　)

解析：因为函数f(x)＝1＋log2x的零点是，排除A；g(x)＝21－x是减函数，且与y轴的交点为(0,2)，排除B和D，故选C.

答案：C

4．下列四个图中，函数y＝的图象可能是(　　)

解析：函数y＝的图象可以看作是由函数y＝的图象向左移动1个单位得到的，而函数y＝是奇函数，所以排除A和D；又因为当x>0时，x＋1>1，所以>0，所以选C.

答案：C

5．已知函数f(x)＝|x|＋1，g(x)＝k(x＋2)．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)

A.　　　　　　B.

C．(1,2)            D．(2，＋∞)

解析：

作出f(x)、g(x)图象，如图．

因A(0,1)，B(－2,0)．

kAB＝＝.

要使方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知，<k<1.

答案：B

6.

(2017·河南调研)如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

解析：由MN∥平面DCC1D1，过M点向AD作垂线，垂足为E，则ME＝2AE＝2BN＝2x，则MN2＝CD2＋(2BN)2＝1＋4x2，所以y＝f(x)的图象是双曲线y2－4x2＝1(0≤x≤1)在第一象限内的一部分，故选C.

答案：C

二、填空题

7．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．

解析：设x<0，则－x>0.

∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，

∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．

∵f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(－x)＝f(x)，

∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，

∴f(x)＝

由f(x)＝5得或

∴x＝5或x＝－5.

观察图象可知由f(x)<5，得－5<x<5.

∴由f(x＋2)<5，得－5<x＋2<5，∴－7<x<3.

∴不等式f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．

答案：{x|－7<x<3}

8．(2017·荆州模拟)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．

解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|)(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为.

答案：

9．(2016·山东卷)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

解析：f(x)的大致图象如图所示．

若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m2<m，又m>0，所以m>3.

答案：(3，＋∞)

三、解答题

10．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a>0.

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)写出函数f(x)的单调区间；

(3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．

解析：(1)f(x)＝其图象如图．

(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)；单调递减区间是.

(3)结合图象知，当>1，即a>2时，所求最小值f(x)min＝f(1)＝1－a；

当0<≤1，即0<a≤2时，

所求最小值f(x)min＝f＝－.

综上，f(x)min＝

11．已知函数f(x)＝2x，x∈R.当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？

解析：令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，

G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．

由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；

当0<m<2时，

函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．

12．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．

解析：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，

即2－y＝－x－＋2，

∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．

(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.

∵g(x)在(0,2]上为减函数，

∴1－≤0在(0,2]上恒成立，

即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，

∴a＋1≥4，即a≥3，

故a的取值范围是[3，＋∞)．