课时作业(十二) 函数模型及其应用 练习

课时作业(十二)　函数模型及其应用

一、选择题

1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)

A    B     C   D

解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得快，故应选C.

答案：C

2．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大(　　)

A．8元/件　　　　　　B．10元/件

C．12元/件           D．14元/件

解析：设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，

则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20

＝－10x2＋80x＋180

＝－10(x－4)2＋340(0<x<10)．

∴当x＝4时，ymax＝340.

即单价为10元/件，利润最大，故选B.

答案：B

3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示．则杯子的形状是(　　)

解析：从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，故选A.

答案：A

4．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)

A．10元  B．20元    C．30元  D.元

解析：依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，

又sA(100)＝sB(100)，∴100k＋20＝100m，

得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10.

即两种方式电话费相差10元．选A.

答案：A

5．(2017·北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(　　)

A．15  B．16    C．17  D．18

解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，

则由

解得0<x≤.

因为x∈N*，所以x的最大值为16.

答案：B

6．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为(　　)

A．7  B．8    C．9  D．10

解析：令a＝aent，

即＝ent，由已知得＝e5n，故＝e15n，

∴t＝15，m＝15－5＝10.

答案：D

二、填空题

7．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．

解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在附近时，体积变化较快；h小于时，增加越来越快，h大于时，增加越来越慢．

答案：②

8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

解析：设出租车行驶x km时，付费y元，

则y＝

由y＝22.6，解得x＝9.

答案：9

9．计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．

解析：设计算机价格平均每年下降p%，

由题意可得＝(1－p%)3，

∴p%＝1－（），

∴9年后的价格大约为y＝8 100×

＝8 100×()3＝300(元)．

答案：300

三、解答题

10．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．

(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；

(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

解析：(1)当0<x≤100时，p＝60；

当100<x≤600时，

p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.

所以p＝

(2)设利润为y元，则

当0<x≤100元，y＝60x－40x＝20x；

当100<x≤600时，

y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.

所以y＝

当0<x≤100时，y＝20x是单调递增函数，当x＝100时，y最大，此时ymax＝20×100＝2 000；

当100<x≤600时，

y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，

所以当x＝550时，y最大，此时ymax＝6 050.

显然6 050>2 000.

所以当一次订购550件时，该厂获得利润最大，最大利润为6 050元．

11．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．

(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式；

(2)当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？

解析：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费．

由C(0)＝＝24，得k＝2 400，

所以y＝15×＋0.5x＝＋0.5x，(x≥0)．

(2)因为y＝＋0.5(x＋5)－2.5

≥2－2.5＝57.5，

当且仅当＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，

所以当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．

12．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值．

解析：

(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．

又△EPQ∽△EDF，

所以＝，即＝.

所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．

(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，

则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，

S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．

所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．