课时作业(十四) 导数与函数的单调性 练习

课时作业(十四)　导数与函数的单调性

一、选择题

1．(2017·厦门质检)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)

A．(0,1)　　　　　　　B．(0,1]

C．(1，＋∞)          D．(0,2)

解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．

答案：B

2．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：

①f′(x)>0时，－1<x<2；

②f′(x)<0时，x<－1或x>2；

③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.

则函数f(x)的大致图象是(　　)

解析：根据信息知，函数f(x)在(－1,2)上是增函数．

在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.

答案：C

3．f(x)＝x2－aln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)

A．a<1  B．a≤1

C．a<2  D．a≤2

解析：由f(x)＝x2－aln x，得f′(x)＝2x－，

∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴2x－≥0，

即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，

∵2x2>2，∴a≤2.故选D.

答案：D

4．已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是(　　)

解析：设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．

答案：A

5．(2017·福建上杭一中检测)函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≤0  B．a<0

C．a≥0  D．a>0

解析：函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是f′(x)＝3x2－a>0在R上恒成立，所以a<(3x2)min.因为(3x2)min＝0，所以a<0，故选B.

答案：B

6．(2017·湖北枣阳第一中学模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)

A．(－1,1)       B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(－∞，＋∞)

解析：由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，选B.

答案：B

二、填空题

7．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________．

解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.

答案：(2，＋∞)

8．已知函数f(x)＝ex－kx2，x∈R.若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．

解析：方法一(分离参数法)：f′(x)＝ex－2kx.

当x>0时，由ex－2kx≥0，得k≤在(0，＋∞)上恒成立，令p(x)＝，则有k≤p(x)min，则p′(x)＝，令p′(x)＝0，解得x＝1，

列表如下：

故函数p(x)在x＝1处取得极小值，亦即最小值．

因为p(x)min＝p(1)＝，所以k≤，故实数k的取值范围是（－∞，].

方法二(分类讨论法)：f′(x)＝ex－2kx，x∈R，

若k≤0，显然f′(x)>0，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；记φ(x)＝ex－2kx，则φ′(x)＝ex－2k，

当0<k<时，因为ex>e0＝1,2k<1，所以φ′(x)>0，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，于是f′(x)＝φ(x)>φ(0)＝1>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

当k≥时，φ(x)＝ex－2kx在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，＋∞)上单调递增，

于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝eln 2k－2kln 2k，

由eln 2k－2kln 2k≥0，得2k－2kln 2k≥0，则≤k≤，综上所述，k的取值范围是（－∞，].

答案：（－∞，]

9．若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．

解析：∵函数f(x)＝x2－ex－ax，

∴f′(x)＝2x－ex－a.

∵函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，

∴f′(x)＝2x－ex－a>0，即a<2x－ex有解．

令g′(x)＝2－ex，g′(x)＝2－ex＝0，x＝ln 2，

g′(x)＝2－ex>0，x<ln 2，

g′(x)＝2－ex<0，x>ln 2，

∴当x＝ln 2时，g(x)max＝2ln 2－2.

∴a<2ln 2－2.

故实数a的取值范围是(－∞，2ln 2－2)．

答案：(－∞，2ln 2－2)

三、解答题

10．已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．

(1)确定a的值；

(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．

解析：(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，

因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′(－)＝0，

即3a·＋2·(－)＝－＝0，解得a＝.

(2)由(1)得g(x)＝(x3＋x2)ex，

故g′(x)＝(x2＋2x)ex＋(x3＋x2)ex

＝(x3＋x2＋2x)ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.

令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.

当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；

当－4<x<－1时，g′(x)>0，故g(x)为增函数；

当－1<x<0时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；

当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．

综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．

11．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′().

(1)求a的值；

(2)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．

解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，

得f′(x)＝3x2＋2ax－1.

当x＝时，得a＝f′()＝3×()2＋2a×()－1，

解之，得a＝－1.

(2)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex

＝(－x2－x＋c)·ex

有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex

＝(－x2－3x＋c－1)ex，

因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，

所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．

只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．

12．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．

解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.

当a>0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；

当a<0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；

当a＝0时，f(x)不是单调函数．

(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，

∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.

∴g(x)＝x3＋（＋2）x2－2x，

∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，

即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，

∴

当g′(t)<0，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，

即m<－5且m<－9，即m<－9；

由g′(3)>0，即m>－.

所以－<m<－9.

即实数m的取值范围是（－，－9）.