课时作业(十一) 函数与方程 练习

课时作业(十一)　函数与方程

一、选择题

1．(2017·东城模拟)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)

A．(0，)　　　　　　　　B. (，1)

C．(1,2)                  D．(2,3)

解析：∵f′(x)＝ex＋>0，f(x)在R上单调递增，又f()＝－<－<0，f(1)＝e－>0，∴零点在区间(，1)上．

答案：B

2．根据下面表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(　　)

A.(1,2)      B．(0,1)

C．(－1,0)   D．(2,3)

解析：本题考查二分法的应用．令f(x)＝ex－x－2，则由表中数据可得f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，所以函数f(x)的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．

答案：A

3．函数的所有零点的和等于(　　)

A．－2  B．－1

C．0    D．1

解析：令()x－2＝0，解得x＝－1，令x－1＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在两个零点1和－1，其和为0.

答案：C

4．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：分别画出函数f(x)，g(x)的草图，

观察发现有2个交点，故选A.

答案：A

5．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f()<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内(　　)

A．可能有3个实数根  B．可能有2个实数根

C．有唯一的实数根    D．没有实数根

解析：由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－)·f()<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实数根．

答案：C

6．若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝(　　)

A.或－  B．－

C.         D．以上都不对

解析：函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3是偶函数，所以要使其零点只有一个，这个零点只能是0.由f(0)＝0得a＝±.当a＝时，f(x)＝x2＋|x|，它只有一个零点0，符合题意；当a＝－时，f(x)＝x2－|x|，它有3个零点0，－，，不符合题意，综上，a＝.

答案：C

二、填空题

7．函数f(x)＝的零点个数是________．

解析：函数的定义域是(3，＋∞)，且由f(x)＝0得x＝2或x＝1，但1∉(3，＋∞)，2∉(3，＋∞)，故f(x)没有零点．

答案：0

8．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是________．

解析：当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，f(－1)f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a<－1或a>.即a的取值范围是(－∞，－1)∪(，＋∞).

答案：∪(，＋∞)

9．函数y＝（）|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________．

解析：在同一直角坐标系内，画出y1＝（）|x|和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m<1.

答案：(0,1)

三、解答题

10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈（0，），使f(x0)＝x0.

证明：令g(x)＝f(x)－x.

∵g(0)＝，g（）＝f（）－＝－，

∴g(0)·g（）<0.

又函数g(x)在（0，）上连续，

∴存在x0∈（0，），使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.

11．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．

解析：f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－.

①当－≤－1，即0<a≤时，须使即

∴a的解集为∅.

②当－1<－<0，即a>时，

须使

即解得a≥1，

∴a的取值范围是[1，＋∞)．

12．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．

解析：

(1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⇒

故m的取值范围是(－，－).

(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组

⇒

即－<m≤1－.

故m的取值范围是.