课时作业(四十三) 直线、平面平行的判定和性质 练习

课时作业(四十三)　直线、平面平行的判定和性质

一、选择题

1．(2017·山西长治二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)

A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β

B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β

D．若m∥n，m∥α，则n∥α

解析：对于A，墙角的三个墙面α，β，γ满足条件，但γ与β相交，故A错误；m⊂α，n⊂β，且m、n平行于α，β的交线时符合B中条件，但α与β相交，故B错误；由m∥n，m⊥α可推出n⊥α，结合n⊥β可推出α∥β，故C选项正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故D错误．所以选C.

答案：C

2．(2017·银川一模)如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B′、B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为(　　)

A．K　　　　B．H

C．G        D．B′

解析：取A′C′的中点M，连接EM、MK、KF、EF，则EM綊CC′綊KF，得EFKM为平行四边形，若P＝K，则AA′∥BB′∥CC′∥KF，故与平面PEF平行的棱超过2条；HB′∥MK⇒HB′∥EF，若P＝H或P＝B′，则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不满足条件，故选C.

答案：C

3．(2017·河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列三个问题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，则m∥β.

其中真命题的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；②由α∥β，β∥γ，得α∥γ，结合m⊥α，得m⊥γ，故②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误，∴直命题的个数为1，故选B.

答案：B

4．(2017·浙江金丽衢十二校联考(二))已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于点B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)

A．16  B．24或

C．14  D．20

解析：设BD＝x，由α∥β⇒AB∥CD⇒△PAB∽△PCD⇒＝.

①当点P在两平面之间时，如图1，＝，

∴x＝24；

②当点P在两平面外侧时，如图2，＝，∴x＝.

答案：B

5．(2017·长春一模)已知四棱锥P－ABCD的底面四边形ABCD的对边互不平行，现用一平面α与截此四棱锥，且要使截面是平行四边形，则这样的平面α(　　)

A．有且只有一个  B．有四个

C．有无数个      D．不存在

解析：易知，平面PAD与平面PBC相交，平面PAB与平面PCD相交，设相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四棱锥的四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，C1，D1，则由面面平行的性质定理得，A1D1∥m∥B1C1，A1B1∥n∥D1C1，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下平移，故这样的平面α有无数个．故选C.

答案：C

6．(2016·课标全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)

A.　　　B.  C.　　　D.

解析：如图，延长B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D.易证AA2∥A1B∥D1C，AA3∥A1D∥B1C.

∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3为平面α.

于是m∥A2A3，直线AA2即为直线n.显然有AA2＝AA3＝A2A3，于是m、n所成的角为60°，其正弦值为.选A.

答案：A

二、填空题

7．(2017·铜川二模)下列四个命题：

①如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；

②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；

③如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；

④如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行．

其中为真命题的是________．

解析：对于①，另一条直线可能在这个平面内，所以不正确；对于②，根据两平面平行的性质可知正确；对于③，可以由两个平面平行的定义得到，所以正确；对于④，若两个平面相交，则一个平面内平行于这两个平面交线的直线均平行于另一个平面，所以不正确．

答案：②③

8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

解析：因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，

所以EF∥AC，

又E是DA的中点，所以F是DC的中点，

由中位线定理可得EF＝AC，

又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，

所以AC＝2，

所以EF＝.

答案：

9．(2016·课标全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)

解析：由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错．易知②③④都正确．

答案：②③④

三、解答题

10．如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：

(1)EG∥平面BB1D1D；

(2)平面BDF∥平面B1D1H.

证明：(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，

易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，

OB⊂平面BB1D1D，GE⊄平面BB1D1D，

由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.

(2)由题意可知BD∥B1D1.

如图，连接HB、D1F，

易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.

又B1D1∩HD1＝D1，

BD∩BF＝B，

所以平面BDF∥平面B1D1H.

11．如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

求证：(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，

又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.

12．三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点且EC＝2FB.点M是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF?

解析：法一　如图(1)，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M，此点M即为所求．

∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC，∴OM⊥底面ABC.

又EC＝2FB，∴OM綊FB，∴四边形OMBF为矩形，

∴BM∥OF.又OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，∴BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．

法二　如图(2)，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE∥BF，PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF，又BQ⊂平面PQB，∴BQ∥平面AEF.

∴点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．