课时作业(二十) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用 练习

课时作业(二十)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用

一、选择题

1．函数最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是(　　)

A．y＝2sin　　　　B．y＝2sin

C．y＝2sin         D．y＝2sin

解析：由函数的最小正周期为π，排除C；由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B，因为sin＝sin ＝1，所以选B.

答案：B

2．(2016·全国卷乙)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)

A．y＝2sin  B．y＝2sin

C．y＝2sin  D．y＝2sin

解析：函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.

答案：D

3．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

解析：令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.

由f＝0，f＝0，排除C.

答案：A

4．(2017·陕西西安市第一次质量检测)将函数f(x)＝sin(x＋)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是(　　)

A．x＝－   B．x＝

C．x＝      D．x＝

解析：将函数f(x)＝sin(x＋)的图象上各点的纵坐标不变，模坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin(x＋)的图象，由x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z，

∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝.

故应选D.

答案：D

5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)

A．－  B．－

C.       D.

解析：函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位得y＝sin＝sin的图象．

又其为奇函数，则＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－.

又|φ|<，令k＝0，得φ＝－，

∴f(x)＝sin.

又∵x∈，

∴sin∈，即当x＝0时，f(x)min＝－，故选A.

答案：A

6．(2017·福建龙岩一模)已知函数f(x)＝Asin

(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，为了得到g(x)＝Asin ωx的图象，只需将f(x)的图象(　　)

A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位

解析：∵△EFG是边长为2的正三角形，∴三角形的高为，即A＝.

由题意可知函数的周期T＝4，即T＝＝4，解得ω＝＝，

则f(x)＝sin，g(x)＝sin x，

由于f(x)＝sin＝sin，故为了得到g(x)＝ sinx的图象，只需将f(x)的图象向左平移个长度单位．故选A.

答案：A

二、填空题

7．若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则f＝________.

解析：由f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，得ω＝4.所以f＝sin＝0.

答案：0

8．(2016·江苏，9)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．

解析：在同一平面直角坐标系中作出y＝sin 2x与y＝cos x在区间[0,3π]上的图象(如图)．由图象可知，共有7个交点．

答案：7

9．(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．

解析：y＝3sin＋k，

当sin＝－1时，ymin＝k－3＝2，

∴k＝5.

∴当sin＝1时，ymax＝k＋3＝8.

答案：8

三、解答题

10．(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．

解析：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

且函数表达式为f(x)＝5sin.

(2)由(1)知f(x)＝5sin，得

g(x)＝5sin.

因为y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，

令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.

由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.

由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.

11．函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求φ及图中x0的值；

(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．

解析：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，

因为0<φ<，故φ＝.

由于f(x)的最小正周期等于2，

所以由题图可知1<x0<2，

故<πx0＋<，

由f(x0)＝得cos＝，

所以πx0＋＝，x0＝.

(2)因为f＝cos

＝cos＝－sin πx，

所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx

＝cos πx－sin πx＝sin.

当x∈时，－≤－πx≤.

所以－≤sin≤1，

故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；

当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.

12．已知函数f(x)＝2sin2＋cos 2x.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有两个不同的解，求实数m的取值范围．

解析：(1)由f(x)＝2sin2＋cos 2x

＝1－cos＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x

＝1＋2sin，

则由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以函数的单调递增区间为，k∈Z.

(2)由f(x)－m＝2，得f(x)＝m＋2，

当x∈时，2x＋∈，

由图象得f(0)＝1＋2sin ＝1＋，函数f(x)的最大值为1＋2＝3，

∴要使方程f(x)－m＝2在x∈上有两个不同的解，则f(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的解，

即函数f(x)和y＝m＋2在x∈上有两个不同的交点，即1＋≤m＋2<3，

即－1≤m<1.