课时作业(二十二) 简单的三角恒等变换 练习
展开课时作业(二十二) 简单的三角恒等变换
一、选择题
1．已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵<θ<3π，∴<<.
∴sin ＝－＝－＝－.
答案：D
2．若α∈，且3cos2α＝4sin，则sin2α的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：由已知得3(cos2α－sin2α)＝2(cosα－sinα)，
∵α∈，∴cosα－sinα≠0，
∴3(cosα＋sinα)＝2，
∴cosα＋sinα＝，1＋sin2α＝，
∴sin2α＝－.
答案：B
3．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝( )
A. B.或－
C．－或 D．－
解析：由题意得tan α＋tan β＝－3<0，tan αtan β＝4>0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan α<0，tan β<0，又由α，β∈得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.
答案：D
4．(2017·广东适应性考试)三角函数f(x)＝sin＋cos 2x的振幅和最小正周期分别是( )
A.， B.，π
C.， D.，π
解析：f(x)＝sincos 2x－cossin 2x＋cos 2x
＝·cos 2x－sin 2x
＝
＝cos，所以振幅为，最小正周期T＝＝π，故选B.
答案：B
5．(2017·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin＝( )
A. B.
C. D.
解析：由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin2α)，
即4sin2α＋7sin α－2＝0，
解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝，
又由α为锐角，可得cos α＝，
∴sin＝sin α＋cos α＝.
答案：A
6．(2017·济南二模)已知sin－cosα＝，则cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由sin－cosα＝，得sinα＋cosα－cosα＝sin＝，得cos＝1－2sin2＝1－＝.
答案：D
二、填空题
7．(2017·福建宁德一模)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝________.
解析：∵sin α＋cos α＝，
两边平方得1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－，
∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，
∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝，
∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α)
＝－×＝－.
答案：－
8．若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.
解析：由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，
可得＝，即tan(α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
答案：
9．(2017·河北衡水中学二调)若tan α＋＝，α∈，则sin＋2cos cos2α的值为________．
解析：∵tan α＋＝，
∴(tan α－3)(3tan α－1)＝0，∴tan α＝3或.
∵α∈，∴tan α>1，∴tan α＝3，
sin＋2cos cos2α＝sin 2α＋cos 2α＋＝(sin 2α＋2cos 2α＋1)＝＝＝0.
答案：0
三、解答题
10．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解析：由cos β＝，β∈，
得sin β＝，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α∈，β∈，∴<α＋β<，
∴α＋β＝.
11．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos的值．
解析：(1)因为f＝Acos＝Acos ＝A＝，所以A＝2.
(2)由f(4α＋)＝2cos
＝2cos＝－2sin α＝－，
得sin α＝，又α∈，
所以cos α＝.
由f＝2cos＝2cos β＝，
得cos β＝，又β∈，
所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
12．(2017·安徽合肥二检)已知m＝，n＝(cos x,1)．
(1)若m∥n，求tan x的值；
(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．
解析：(1)由m∥n得，sin－cos x＝0，
展开变形可得，sin x＝cos x，即tan x＝.
(2)f(x)＝m·n＝sin＋，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为和.
