课时作业(二十九) 数列的概念与简单表示法 练习

课时作业(二十九)　数列的概念与简单表示法

一、选择题

1．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(　　)

A．①②③　　　　　B．①②④

C．②③④          D．①③④

解析：检验知①②③都是所给数列的通项公式．

答案：A

2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an＝2n－3          B．an＝2n＋3

C．an＝  D．an＝

解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为C.

答案：C

3．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋(p，q为常数)，且a2＝，a4＝，则a8＝(　　)

A.      B.

C.      D．2

解析：由题意知，解得.

∴a8＝8p＋＝8×＋＝.

答案：B

4．(2017·福建福州八中质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 018＝(　　)

A．1      B．0

C．2 018  D．－2 018

解析：∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，……，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2 018＝a2＝0.

答案：B

5．(2017·辽宁省实验中学分校月考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(　　)

A．2n  B．2n－1

C．2n  D．2n－1

解析：当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.

答案：C

6．若a1＝，an＝4an－1＋1(n>1)，当an>100时，n的最小值为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：由a1＝，an＝4an－1＋1，(n>1)得，

a2＝4a1＋1＝4×＋1＝3，a3＝4a2＋1＝4×3＋1＝13，

a4＝4a3＋1＝4×13＋1＝53，a5＝4a4＋1＝4×53＋1＝213>100.

答案：C

二、填空题

7．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．

解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3个，有6个；n＝4时，有10个；……

∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.

答案：an＝

8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.故an＝

答案：an＝

9．(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.

解析：解法一：∵an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又∵S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，由S2＝4，可求出S3＝13，S4＝40，S5＝121.

解法二：由an＋1＝2Sn＋1，得a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，则Sn＋1＋＝3，又S1＋＝，∴是首项为，公比为3的等比数列，∴Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，∴S5＝＝121.

答案：1　121　

三、解答题

10．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3)该数列从第几项开始各项都是正数？

解析：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.

(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，

解得n＝16或n＝－9(舍去)，

即150是这个数列的第16项．

(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．

∴从第7项起各项都是正数．

11．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解析：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得

a1＝a＋a1，解得a1＝1；

S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；

同理，a3＝3，a4＝4.

(2)Sn＝a＋an，①

当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0，

所以an－an－1＝1，

又由(1)知a1＝1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.

12．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．

(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；

(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．

解析：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，

又∵a＝－7，∴an＝1＋.

结合函数f(x)＝1＋的单调性，

可知1>a1>a2>a3>a4，

a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．

∴数列{an}中的最大项为a5＝2，

最小项为a4＝0.

(2)an＝1＋＝1＋.

∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，

结合函数f(x)＝1＋的单调性，

知5<<6，∴－10<a<－8.

故a的取值范围为(－10，－8)．