【期末复习】2020年九年级数学上册 期末复习专题 二次函数实际问题 专练（含答案）

【期末复习】2020年九年级数学上册 期末复习专题

二次函数实际问题 专练

1.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示.

（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？

2.大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：

若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出=商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．

(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；

(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润=销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；

(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？

3.某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．

(1)图中点P所表示的实际意义是                     ；销售单价每提高1元时，销售量相应减少             件；

(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：         ；自变量x的取值范围为          ；

(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？

4.青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？

(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)

5.某公司经营杨梅业务，以3万元/t的价格向农户收购杨梅后，分拣成A，B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/t，根据市场调查，它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B类杨梅深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：t)之间的函数关系是s=12＋3t，平均销售价格为9万元/t.

(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A类杨梅x t，经营这批杨梅所获得的毛利润为W万元(毛利润=销售总收入－经营总成本)．

①求W关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A类杨梅有多少吨？

(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

6.商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加　 　 件，每件商品盈利　    　 元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最大，最大利润是多少元？

7.某企业投资112万元引进一条农产品加工生产线，该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计共为y (万元),且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年的维修、保养费用为4万元．

（1）求a和b的值；             

（2）若不计维修、保养费用，预计该生产线投产后每年可创利33万元．那么该企业在扣掉投资成本和维修、保险费用后，从第几年开始才可以产生利润？

8.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

9.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40个小时内，水面与河底ED的距离h（米）随时间（时）的变化满足函数关系：，且当顶点C到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行。请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通过？

10.某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

(1)设AB＝x(m)(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；

(2)请你判断谁的说法正确，为什么？

11.在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．

(1)求y与x满足的函数表达式(不要求写出x的取值范围)．

(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润p最大？

12.在一次篮球比赛中，如图队员甲正在投篮.已知球出手时离地面m，与篮圈中心的水平距离为7 m，球出手后水平距离为4 m时达到最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？

(2)此时，对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否获得成功？

13.某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数）,月销售利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

14.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

（2）求这条抛物线的解析式；

（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？

15.为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数,表中提供了部分采购数量.

(1)设A产品的采购数量为x(件),采购单价为y1(元/件),求y1与x的解析式.

(2)经商家与厂家协商,采购A产品的数量不少于B产品数量的,且A产品采购单价不低于1200元,求该商家共有几种进货方案.

(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A,B两种产品,且全部售完,在(2)的条件下,求采购A种产品多少件时总利润最大,并求最大利润.

参考答案

1.解：

2.解：(1)由表可知，y是关于x的一次函数，设y=kx＋b，

将x=110，y=50；x=115，y=45分别代入，

得110k+b=50,115k+b=45,解得k=-1,b=160.∴y=－x＋160(0＜x≤160)；

(2)由已知可得50×110=50a＋3×100＋200，解得a=100.设每天的毛利润为W元，

则W=(x－100)(－x＋160)－2×100－200=－x2＋260x－16 400=－(x－130)2＋500，

∴当x=130时，W取最大值500.

答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；

(3)设需t天才能还清集资款，则500t≥50 000＋0.000 2×50 000t，

解得t≥102.∵t为整数，∴t的最小值为103天．

答：该店最少需要103天才能还清集资款．

3.解：(1)图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；

第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)=30(元)，销售单价每提高1元时，

销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)=20(件)．

(2)设y与x之间的函数表达式为y=kx＋b，将点(30，400)，(35，300)代入，

得30k+b=400,35k+b=300解得k=-20,b=1000.

∴y与x之间的函数表达式为y=－20x＋1 000.

当y=0时，x=50， ∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.

(3)设第二个月的利润为W元，由已知得:

W=(x－20)y=(x－20)(－20x＋1 000)=－20x2＋1 400x－20 000=－20(x－35)2＋4 500，

∵－20＜0，∴当x=35时，W取最大值4 500.

答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．

4.解：(1)设淡季每间的价格为x元，依题意得，解得x=600，

∴酒店豪华间有50(间)，旺季每间价格为x＋x=600＋×600=800(元)．

答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；

(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，

y=(800＋x)(50-)=－251(x－225)2＋42 025，∴当x=225时，y取最大值42 025.

答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．

5.解：

6.解：（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元，故答案为：2x，50﹣x；

（2）设商场日盈利为y，则y=（50﹣x）（40+2x）=﹣2x2+60x+2000=﹣2（x﹣15）2+2450，

∴当x=15时，y最大=2450，答：每件商品降价15元时，商场日盈利最大，最大利润是2450元.

7.略

8.解：(1)当1≤x＜50时，y＝(x＋40－30)(200－2x)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(90－30)(200－2x)＝－120x＋12000.综上，y＝－120x＋12000（50≤x≤90）－2x2＋180x＋2000（1≤x＜50）

(2)当1≤x＜50时，y＝－2x2＋180x＋2000＝－2(x－45)2＋6050，∵a＝－2＜0，∴当x＝45时，y有最大值，最大值为6050元；当50≤x≤90时，y＝－120x＋12000，∵k＝－120＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝50时，y有最大值，最大值为6000元．综上可知，当x＝45时，当天的销售利润最大，最大利润为6050元 (3)41

9.解：（1）设抛物线的为y=ax2+11，由题意得B（8，8），

∴64a+11=8，解得a=﹣，∴y=﹣x2+11；

（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，

∴6=﹣（t﹣19）2+8，解得t1=35，t2=3，∴35﹣3=32（小时）．

答：需32小时禁止船只通行．

10.解：(1)AB＝x(m)，可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)(m)．

(2)小英说法正确，理由如下：矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648，

∵72－2x＞0，∴x＜36，∴0＜x＜36，∴当x＝18时，S取最大值，

此时x≠72－2x，∴面积最大的不是正方形．

11.解：(1)设y与x满足的函数表达式为y＝kx＋b.由题意，得

21＝29k＋b，36＝24k＋b，解得b＝108.k＝－3，故y与x满足的函数表达式为y＝－3x＋108.

(2)每天获得的利润为p＝(－3x＋108)(x－20)＝－3x2＋168x－2160＝－3(x－28)2＋192.故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．

12. (1)由题意知，抛物线的顶点为(4，4)，经过点(0，).

设抛物线解析式为y=a(x-4)2+4，代入(0，)，解得a=-，

∴y=-(x-4)2+4.当x=7时，y=-(7-4)2+4=3，∴一定能准确投中.

(2)当x=1时，y=-(1-4)2+4=3＜3.1，∴队员乙能够成功拦截.

13.解：（1）依题意得       
自变量x的取值范围是0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y=2520时，得（元）           
解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去） 当x=2时，30+x=32（元）
所以，每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；
（3）       
∵a=-10＜0 ∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5         
∵0＜x≤10(1≤x≤10也正确)且x为正整数
∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元） 当x=7时，30+x=37，y=2720（元）
所以，每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润.最大的月利润是2720元.

14.

15.解：(1)设y1与x的解析式为y1=kx+b,

解得k=-20,b=1500,∴y1与x的解析式为y1=-20x+1500(0<x≤20,x为整数).

(2)根据题意得解得11≤x≤15.

∵x为整数,∴x可取11,12,13,14,15,∴该商家共有5种进货方案.

(3)设总利润为W,根据题意可得B产品的采购单价可表示为:

y2=-10(20-x)+1300=10x+1100,

则W=1760x+1700(20-x)-(-20x+1500)x-(10x+1100)(20-x)

=30x2-540x+12000=30(x-9)2+9570.

∵a=30>0,∴当x≥9时,W随x的增大而增大.

∵11≤x≤15,∴当x=15时,W最大=10650.

答:采购A产品15件时总利润最大,最大利润为10650元.