【期末复习】2020年九年级数学上册 期末复习专题 圆解答题 专练（含答案）

【期末复习】2020年九年级数学上册 期末复习专题

圆解答题 专练

1.如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且=2，OA=4．

（1）∠COD=　   　°；

（2）求弦AD的长；

（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．

2.如图，AB是的直径，AC是弦，直线EF和相切与点C，，垂足为D.

   （1）求证；

（2）如图，若把直线EF向上移动，使得EF与相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连结AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由.

3.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径．

4.如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD,AB、OD相交于点C,且CD=BD.

  （1）判定BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

  （2）当OA=3，OC=1时，求线段BD的长.

5.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

6.已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOC的度数为60°，连接PB．

（1）求BC的长；

（2）求证：PB是⊙O的切线．

7.如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC至点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE，CE.

(1)求证：△ABE≌△CDE；

(2)填空：

①当∠ABC的度数为        时，四边形AOCE是菱形；

②若AE=6，EF=4，DE的长为        ．

8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）求证：△PBD∽△DCA；

（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．

9.如图，AB是⊙O的直径，=，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若OB=2，求BD的长．

10.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. 

(1)求证：∠B=∠D；   

(2)若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长.   

11.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12cm，AD=13cm，BC=22cm，AB是⊙O的直径，动点P从点A出发向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发向点B以2cm/s的速度运动．点P、Q同时出发，其中一个点停止时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒．

（1）求当t为何值时，PQ与⊙O相切？

（2）直接写出PQ与⊙O相交时t的取值范围．

12.如图，在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上．

（1）试说明CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当0.5CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

13.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点. ∠APC=∠CPB=60°.

(1)判断△ABC的形状：             ；

(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

 (3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.

14.如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．

（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．

15.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F.

（1）求证：CE=CF；

（2）求线段EF的最小值；

（3）当点D从点A运动到点B时，试求线段EF扫过的面积（直接写出结果）．

参考答案

1.解：

2.

3.解：连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，

∵BC是切线，∴OE⊥BC，∴∠OEC=90°，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDFE是矩形，

∴EF=CD=AB=8，OF⊥AD，∴AF=AD=×12=6，

设⊙O的半径为x，则OE=EF﹣OE=8﹣x，

在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2，则（8﹣x）2+36=x2，

解得：x=6.25，∴⊙O的半径为：6.25．

4.证明：连接OB，

∵OA=OB，CD=DB，∴∠OAC=∠OBC，∠DCB=∠DBC．

∵∠OAC+∠ACO=90°，∠ACO=∠DCB，∴∠OBC+∠DBC=90°．

∴OB⊥BD．即BD是⊙O的切线．

 （2）BD=4.

5.（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，

∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；

（2）设EO与AD交于点M，连接ED．

∵∠BAC=60°，OA=OE，∴△AEO是等边三角形，

∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=AO=OD，

又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，

∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，

∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．

6.（1）解：如图，连接OB．

∵AB⊥OC，∠AOC=60°，∴∠OAB=30°，

∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=30°，∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，∴△OBC的等边三角形，∴BC=OC．又OC=2，∴BC=2；

（2）证明：由（1）知，△OBC的等边三角形，则∠COB=60°，BC=OC．

∵OC=CP，∴BC=PC，∴∠P=∠CBP．

又∵∠OCB=60°，∠OCB=2∠P，∴∠P=30°，∴∠OBP=90°，即OB⊥PB．

又∵OB是半径，∴PB是⊙O的切线．

7. (1)证明：∵AB=AC，CD=CA，

∴∠ABC=∠ACB，AB=CD．

∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，

∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC．

∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，

∴∠CED=∠AEB．

在△ABE和△CDE中，

∴△ABE≌△CDE(AAS)．

(2)解：①60°；②9.

8.（1）证明：∵圆心O在BC上，

∴BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，连接OD，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC，

∵∠DOC=2∠DAC，∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，

∵PD∥BC，∴OD⊥PD，

∵OD为圆O的半径，

∴PD是圆O的切线；

（2）证明：∵PD∥BC，∴∠P=∠ABC，

∵∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，

∴∠PBD=∠ACD，

∴△PBD∽△DCA；

（3）解：∵△ABC为直角三角形，

∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，∴BC=10，

∵OD垂直平分BC，∴DB=DC，

∵BC为圆O的直径，∴∠BDC=90°，

在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，∴DC=DB=5，

∵△PBD∽△DCA，∴=，则PB===．

9.（1）证明：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，=，∴∠BOC=90°，

∵E是OB的中点，∴OE=BE，

在△OCE和△BFE中，

∵，

∴△OCE≌△BFE（SAS），

∴∠OBF=∠COE=90°，

∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：∵OB=OC=2，

由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，

∴AF===2，

∴S△ABF=，4×2=2•BD，

∴BD=．

10.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D

（2）解：设BC=x，则AC=x﹣7，  
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（x﹣7）2+x2=132，解得：x1=12，x2=﹣5（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，
∵CD=CB，∴CE=CB=12                   

11.解：（1））设PQ与⊙O相切于点H过点P作PE⊥BC，垂足为E；

∵直角梯形ABCD，AD∥BC，∴PE=AB，

∵AP=BE=t，CQ=2t，∴BQ=BC﹣CQ=22﹣2t，EQ=BQ﹣BE=22﹣2t﹣t=22﹣3t；

∵AB为⊙O的直径，∠ABC=∠DAB=90°，∴AD、BC为⊙O的切线，

∴AP=PH，HQ=BQ，∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22﹣2t=22﹣t；

在Rt△PEQ中，PE2+EQ2=PQ2，∴122+（22﹣3t）2=（22﹣t）2，即：8t2﹣88t+144=0，

∴t2﹣11t+18=0，（t﹣2）（t﹣9）=0，∴t1=2，t2=9；

∵P在AD边运动的时间为==13秒，Q在CB边运动的时间为==11，

∴当t=2或9秒时，PQ与⊙O相切．

（2）由（1）可知PQ与⊙O相交时t的取值范围为0≤t＜2  或  9＜t≤11．

12.解：（1）连接OC，如图1，

∵CA=CE，∠CAE=30°，             

∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；             

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，             

由题可得CH=h．在Rt△OHC中，CH=OCsin∠COH，∴h=OCsin60°=OC，             

∴OC==h，∴AB=2OC=h；             

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，             

则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．             

∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，             

∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．             

过点D作DH⊥OC于H，             

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，             

∴DH=DCsin∠DCH=DCsin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．             

根据两点之间线段最短可得：             

当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，             

此时FH=OFsin∠FOH=OF=6，则OF=4，AB=2OF=8．             

∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．             

13.

理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，

14.解：（1）直线OB与⊙M相切，理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1，

∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4．

∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上，

又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；

（2）解：连接ME，MF，如图2，∵A（﹣8，0），B（0，6），

∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=，b=6，

即直线AB的函数关系式是y=x+6，

∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，

设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=x+6，

得﹣a=a+6，得a=﹣，∴点M的坐标为（﹣，）．

15.