【高考复习】2020年高考数学(文数) 圆锥曲线 大题练（含答案解析）

【高考复习】2020年高考数学(文数) 圆锥曲线 大题练1.已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.(1)求抛物线E的方程；(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．                2.已知椭圆(a>b>0)的离心率为,且经过点P（1,1.5）,过它的两个焦点F1,F2分别作直线l1与l2,l1交椭圆于A,B两点,l2交椭圆于C,D两点,且l1⊥l2.(1)求椭圆的标准方程;(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.                3.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.                4.已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.                  5.在平面直角坐标系中，直线x－y＋m=0不过原点，且与椭圆＋=1有两个不同的公共点A，B.(1)求实数m的取值所组成的集合M；(2)是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．                  6.已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的焦距为4，P是椭圆C上的点．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设=＋，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．                     7.如图，椭圆C：＋=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，若AB∥OP，且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知Q是C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．                8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．                    
答案解析1.解：(1)抛物线E：y2=2px(p＞0)的准线方程为x=－，由抛物线的定义可知3－  =4，解得p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x.(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，整理得 =(x1≠x2)．∵线段AB中点的纵坐标为－1，∴直线l的斜率kAB===－2，∴直线l的方程为y－0=－2(x－1)，即2x＋y－2=0.法二：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，设直线l的方程为x=my＋1，由消去x，得y2－4my－4=0. 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵线段AB中点的纵坐标为－1，∴==－1，解得m=－，∴直线l的方程为x=－y＋1，即2x＋y－2=0.  2.解: 3.解：4.解: 5.解：(1)因为直线x－y＋m=0不过原点，所以m≠0.将x－y＋m=0与＋=1联立，消去y，得4x2＋2mx＋m2－4=0.因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以Δ=8m2－16(m2－4)>0，所以－2<m<2.故实数m的取值所组成的集合M为(－2，0)∪(0,2)．(2)假设存在定点P(x0，y0)使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，即kPA＋kPB=0.令A(x1，x1＋m)，B(x2，x2＋m)，则＋=0，整理得2x1x2＋(m－x0－y0)(x1＋x2)＋2x0(y0－m)=0.(*)由(1)知x1＋x2=－，x1x2=，代入(*)式化简得m＋2(x0y0－)=0，则解得或所以定点P的坐标为(1，)或(－1，－)．经检验，此两点均满足题意．故存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，且定点P的坐标为(1，)或(－1，－)．  6.解：(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C的方程为＋=1，因为点P在椭圆C上，所以＋=1，解得a2=5或a2=(舍去)，所以椭圆C的方程为＋y2=1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，由＋=，得D(x1＋x2，y1＋y2)，所以直线AB的斜率kAB=，直线OD的斜率kOD=，由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)=0，即·=－，所以kAB·kOD=－.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.  7.解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t>0)，∴＋=1，得t=，即P，由AB∥OP得=，即b=c，∴a2=b2＋c2=2b2，①又|AB|=2，∴a2＋b2=12，②由①②得a2=8，b2=4，∴椭圆C的方程为＋=1.(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，设Q(x0，y0)(y0≠0)，则＋=1，③∵kQA·kQD=－，A(－2，0)，∴·=－(x0≠m)，④由③④得(m－2)x0＋2m－8=0，即解得m=2，∴存在点D(2，0)，使得kQA·kQD=－.  8.解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0.Δ=16k2＋16>0，故x1＋x2=.所以|AB|=|AF|＋|BF|=(x1＋1)＋(x2＋1)=.由题设知=8，解得k=1或k=－1(舍去)．因此l的方程为y=x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2=－(x－3)，即y=－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2=16或(x－11)2＋(y＋6)2=144.