2021年中考数学二轮专题培优 二次函数50题（含答案）

2021年中考数学二轮专题培优 二次函数50题
一 、选择题
某学习小组共同探究代数式x2﹣4x+5的值的情况，得到如下结论，其中错误的是(　　)
A.当x取大于2的实数时，x2﹣4x+5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值
B.x2﹣4x+5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值
C.找不到实数x，使x2﹣4x+5 的值为0
D.只有当x=2时，x2﹣4x+5的值为1

点A，B的坐标分别为(－2，3)和(1，3)，抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)的  顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点(C在D的左侧).给出下列结论：
①c＜3；
②当x＜－3时，y随x的增大而增大；
③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为－5；
④当四边形ACDB为平行四边形时，a=.
其中正确的是(   )
A.②④     B.②③     C.①③④     D.①②④


二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图.

下列四个结论：
①4a+c＜0；
②m(am+b)+b＞a(m≠﹣1)；
③关于x的一元二次方程ax2+(b﹣1)x+c=0没有实数根；
④ak4+bk2＜a(k2+1)2+b(k2+1)(k为常数)．
其中正确结论的个数是(   )
A.4个      B.3个        C.2个        D.1个


如图，二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=﹣1.则下列选项中正确的是(　　)

A.abc＜0   B.4ac﹣b2＞0   C.c﹣a＞0  D.当x=﹣n2﹣2(n为实数)时，y≥c
如图，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x=，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是(　　)

A．点B坐标为(5，4)    B．AB=AD C．a=﹣    D．OC•OD=16
二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示.

有以下结论：①3a﹣b=0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0.
其中错误结论的个数是(　 　)
A．1        B．2         C．3        D．4

函数y=ax2+2ax+m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是(　　)
A.x＜﹣4或x＞2 B.﹣4＜x＜2 C.x＜0或x＞2 D.0＜x＜2

如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP=x，PA﹣PD=y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（　　）

如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1.

下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac.
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
设a、b是常数,且b＞0,抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一,则a的值为（ ）

A.6或﹣1 B.﹣6或1 C.6 D.﹣1
如图1，在等边△ABC中，D是BC的中点，P为AB 边上的一个动点，设AP=x，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则△ABC的面积为( )

A.4 B. C.12 D.
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=.点P是斜边AB上一个动点.过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）



小飞研究二次函数y=﹣(x﹣m)2﹣m+1(m为常数)性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y=﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
其中错误结论的序号是(　　)
A．①        B．②        C．③         D．④

已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）
A．m＜a＜b＜n   B．m＜a＜n＜b    C．a＜m＜b＜n    D．a＜m＜n＜b



如图，抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）经过点（﹣1，0），顶点为M，过点P（0，a+4）作x轴的平行线l，l与抛物线及其对称轴分别交于点A、B、H．以下结论：

①当x=3.1时，y＞0；
②存在点P，使AP=PH；
③（BP﹣AP）是定值；
④当a=2时，y=|a（x﹣1）2+k|的图象与直线l有四个交点.
其中正确的是（　　）
A．①②③     B．①②④      C．①③④     D．②③④

如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）


如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）


如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为，则a、b的值分别为（ ）



二次函数y=ax2+bx+c有最大值为5，若关于x的方程|ax2+bx+c|=t最多有三个不相等的实数根，其中t为常数t≠0，则t的取值范围是（ ）
A.t≥5 B.t＞5 C.t＜5 D.t≤5

在平面直角坐标系中,函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（ ）
A.1个 B.1个或2个
C.1个或2个或3个 D.1个或2个或3个或4个
二 、填空题
如图，Rt△OAB的顶点A(﹣2，4)在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为 ．

定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min{2，﹣4}=﹣4，min{1，5}=1，则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是　　 ．
如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为______.

已知点P(m，n)在抛物线y=ax2－x－a上，当m≥－1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是____________.

如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，
顶点为B．

①抛物线y=﹣x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点；
②若点M(﹣2，y1)、点N(，y2)、点P(2，y3)在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，
所得抛物线解析式为y=﹣(x+1)2+m；
④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，
当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为+．
其中正确判断的序号是　   　．

如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为　   　．

如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x+1.5）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的正方形ABCD的周长为　   　．

如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，则t的取值范围是　   　．

若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为　   　．
如图，抛物线y=﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为　   　．

如图，二次函数y=ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(－1，0)与点C(x2，0)，且与y轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：
①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c=－1；④当|a|=|b|时x2＞－1.
以上结论中正确结论的序号为 .


已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于　    　．
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）.

则下列结论：
①当x＞3时，y＜0；
②3a+b＞0；
③﹣1≤a≤﹣；
④3≤n≤4中，正确的是
若二次函数y=x2+bx﹣5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx﹣5=2x﹣13的解为　   　．
如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣2x+3上运动,过点A作AB⊥x轴于点B,以AB为斜边作Rt△ABC,则AB边上的中线CD的最小值为 ．

已知函数y=，若使y=k成立的x值恰好有两个，则k的取值范围为 ．

已知抛物线y=x2-2x-1，点P是抛物线上一动点，以点P为圆心，2个单位长度为半径作⊙P. 当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为________.
如图，抛物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=0.5(x﹣3)2+1交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数； ②a=1；
③当x=0时，y2﹣y1=4; ④2AB=3AC．
其中正确结论是　　　　　　．





如图,点A是抛物线y=x2﹣4x对称轴上的一点,连接OA,以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′,当O′恰好落在抛物线上时,点A的坐标为 ．

如图,抛物线C1是二次函数y=x2﹣10x在第四象限的一段图象,它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；它与x轴的另一交点为A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…，若某段抛物线上有一点P，则a= ．

三 、解答题
如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象过原点,与x轴交于点A(-4,0).
(1)求此二次函数的解析式.
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.







已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点(-1, 0)和点(2,-9)．
(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；
(2) 已知点P(2 , -2),连结OP , 在x轴上找一点M,使△OPM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标(不写求解过程).










如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-2,4),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,连结OA。
(1)求△OAB的面积；
(2)若抛物线y=-x2-2x+c经过点A.
  ①求c的值；
  ②将抛物线向下平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界),求m的取值范围(直接写出答案即可)。










如图,抛物线y=0.5x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0)．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论；
(3)点M是x轴上的一个动点,当△DCM的周长最小时,求点M的坐标．












已知：抛物线y=x2+bx+c经过点(2,﹣3)和(4,5)．
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)将抛物线沿x轴翻折,得到图象G,求图象G的表达式；
(3)在(2)的条件下,当﹣2＜x＜2时,直线y=m与该图象有一个公共点,求m的值或取值范围．









如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)
(1)求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
(2)把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n+6)个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．













某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，解答下列问题：
(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？













黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件)，在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：

请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
(3)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
















某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？










扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其它费用忽略不计．)














参考答案
答案为：B.
答案为：A.
解析：∵点A,B的坐标分别为(−2,3)和(1,3)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0,3)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动,抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)，
∴c⩽3,(顶点在y轴上时取“=”),故①错误;

∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当x