2021年中考数学二轮专题培优 圆50题（含答案）

2021年中考数学二轮专题培优 圆50题
一 、选择题
如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB=10，AC=8，则BD的长为(　　)

A．2     B．4       C．2       D．4.8

如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是(　　)

A.2    B.2    C.2      D.4

如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB=4，AC=3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（　　）

A．      B．        C．        D．

已知点A,B,C是直径为6cm的⊙O上的点,且AB=3cm，AC=3cm,则∠BAC度数为（ ）
A.15° B.75°或15° C.105°或15° D.75°或105°
如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）

A．2 B．4 C．4 D．8

在半径为10的⊙O内有一点P,OP=6,在过点P的弦中,长度为整数弦的条数为（ ）
A.5条 B.6条 C.7条 D.8条

如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是（ ）

A.①③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④

已知：G是⊙O的半径OA的中点，OA=，GB⊥OA交⊙O于B，弦AC⊥OB于F，交BG于D，
连接DO并延长交⊙O于E．

下列结论：①∠CEO=45°；②∠C=75°；③CD=2；④CE=．
其中一定成立的是（　　）
A．①②③④     B．①②④      C．①③④      D．②③④

如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）

A.68° B.88° C.90° D.112°

在半径为6cm的圆中,长为6cm的弦所对的圆周角的度数为（ ）
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°

如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交弧BC于点D，连接CD、OD，以下三个结论：①AC∥OD；②AC=2CD；③线段CD是CE与CO的比例中项，其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③




如图,已知⊙O圆心是数轴原点,半径为1,∠AOB=45°,点P在数轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（ ）

A.﹣1≤x≤1 B.﹣≤x≤ C.0≤x≤ D.x＞
如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，

则下列等式：
①∠EDF=∠B； ②2∠EDF=∠A＋∠C；
③2∠A=∠FED＋∠EDF； ④∠AED＋∠BFE＋∠CDF=180°.
其中成立的个数是（    ）
A．1个       B．2个        C．3个         D．4个
如图,已知直线l解析式是y=x﹣4,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点.一个半径为1.5的⊙C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位速度沿着y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,则该圆运动时间为（ ）

A．3秒或6秒 B．6秒 C．3秒 D．6秒或16秒
如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是（ ）

A.点（0,3） B.点（2,3） C.点（5,1） D.点（6,1）
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（ ）

A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.1

如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P，Q,则线段PQ的最小值（ ）

A.5 B.4 C.4.75 D.4.8
如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（　　）

A.6﹣π     B.6﹣2π     C.6+π      D.6+2π

一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）

A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：

如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是（ ）

A.50π﹣50 B.50π﹣25 C.25π+50 D.50π
二 、填空题
如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于　 　.

如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　　 ．

如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为 ．

在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点O为圆心，2为半径画弧交图中网格线与点A，B，则弧AB的长是________.

已知一个圆心角为270°扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，若半圆的半径为3m，则圆心O所经过的路线长是     m． （结果保留π）

如图，AB是半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，已知图中阴影部分的面积为4π，则点A旋转的路径长为　　　　　　．

如图，将半径为2，圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长为　　　　　　．

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为　　 ．





如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；···，按此规律，继续画半圆，则第6个半圆的面积为______________.（结果保留π）

一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm．


如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，0.5OB长为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转至BA′，若BA′与⊙O相切，则旋转的角度α（0°＜α＜180°）等于　　 ．

如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为        .

如图，点A、B在直线l上，AB=10cm，⊙B的半径为1cm,点C在直线l上，过点C作直线CD且∠DCB=30°，直线CD从A点出发以每秒4cm的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0)，当直线CD出发______________秒直线CD恰好与⊙B 相切.

如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB=5，AE=AF=4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，
当∠ABF最大时，S△ADE=　   　．



如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是　　 ．

如图，⊙O的直径为16，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是弧AD上任意一点，经过P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着弧AD从点A移动到终点D时，点Q走过的路径长为　　．

如图，圆O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，∠ACB的平分线圆O于D，则CD长是_______cm

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为      .

如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA=4，AB=6，∠A=∠B=60°，则BC的长为     ．

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE，tan∠ACB=，BC=2cm.

以下结论：①CD=cm；②AE=DE；③CE是⊙O的切线；④⊙O的面积等于.
其中正确的结论有　 　.(填序号)
三 、解答题
如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC=120°，弦AC=2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
(1)求⊙O半径的长；
(2)求证：AB+BC=BM．











如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙P与y轴相切于点C,⊙P的半径是4,直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为,求点P的坐标．

















如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．
①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；②求⊙O的半径．










已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE=CE．
（1）求证：CA2=CE•CD；
（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．

















如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．











如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE、OD，
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于F，若OF=FC，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若，求⊙O的半径．











如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：AB•CP=BD•CD；
（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．












如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若AB=10，tanB=0.5，求PA的长；
(3)试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．













以原点O为圆心，1cm为半径的圆分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点P的坐标为（2，0），动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周，设运动的时间为秒.
（1）如图一，当t=1时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ．求此时点Q的运动速度（结果保留π）；
（2）若点Q按照（1）中的速度继续运动.
①当为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；
②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.










已知AB为⊙O的直径，点C为的中点，BD为弦，CE⊥BD于点E，
（1）如图1,求证：CE=DE；
（2）如图2,连接OE,求∠OEB的度数；
（3）如图3,在（2）条件下,延长CE,交直径AB于点F,延长EO,交⊙O于点G,连接BG,CE=2,EF=3,求△EBG的面积．











参考答案
答案为：C.
答案为：C.
答案为：D；
解析：如图作PH⊥BC于H．

∵=，∴∠ACD=∠BCD，∵BC是直径，∴∠BAC=90°，
∴PA⊥AC，∵PH⊥BC，∴PA=PH，设PA=PH=x，
∵PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCH，∴AC=CH=3，
∵BC==5，∴BH=2，
在Rt△PBH中，∵PB2=PH2+BH2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得x=1.5，
∴PC==，

C
C.
D
B
答案为：A
解析：∵G是⊙O的半径OA的中点，OA=，∴OG=，
∵OB=OC=OE=OA=，∴OG=OB，∴∠OBG=30°，∠BOG=60°，∴∠A=30°，
∵DG=DG，∠DGO=∠DGA=90°，OG=GA，∴△DGO≌△DGA（SAS），∴∠DOG=30°；
同理可证得∠DOF=30°，∴∠ODF=60°．
又∵同理可证△COF≌△AOF，∴∠OCF=30°．
∴∠OCF+∠ODF=90°，∴∠DOC=90°，∴OC⊥OD，
又∵OC=OE，∴∠OCE=∠CEO=45°，故①结论成立；
∴∠C=∠OCF+∠OCE=30°+45°=75°，故②结论成立；
∵在直角△COD中， =，∵OC=，∴CD=2，故③结论成立；
∵在直角△COE中，CE===，∴④结论成立；
综上所述，故选A．


B
C
故选B

C.
答案为：B
D.
C
B
D
A.
A
A
答案为：12

答案为2．
答案为：6﹣2
答案为： .
答案为：6π   
答案为：．
答案为：π 
答案为：﹣．
答案为：128π




答案为：60°或120°．
答案为：2 ；
答案为：或6.
答案为：6．
解析：作DH⊥AE于H，如图，
∵AF=4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，
∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，
在Rt△ABF中，BF==3，∵∠EAF=90°，∴∠BAF+∠BAH=90°，
∵∠DAH+∠BAH=90°，∴∠DAH=∠BAF，在△ADH和△ABF中
，∴△ADH≌△ABF(AAS)，∴DH=BF=3，
∴S△ADE=AE•DH=×3×4=6．故答案为6．

答案为：3．
答案为：2π．
答案为：.
答案为：(1,3)
答案为：10；

答案为：①②③.


解：
(1)连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC=120°，∴∠AMC=180°﹣∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠AMC=120°，∴∠AOH=∠AOC=60°，
∵AH=AC=，∴OA=，
故⊙O的半径为2．
(2)证明：在BM上截取BE=BC，连接CE，如图2，
∵∠MBC=60°，BE=BC，∴△EBC是等边三角形，
∴CE=CB=BE，∠BCE=60°，∴∠BCD+∠DCE=60°，
∵∠∠ACM=60°，∴∠ECM+∠DCE=60°，∴∠ECM=∠BCD，
∵∠ABC=120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM=60°，
∴∠CAM=∠CBM=60°，∠ACM=∠ABM=60°，
∴△ACM是等边三角形，∴AC=CM，
∴△ACB≌△MCE，∴AB=ME，
∵ME+EB=BM，
∴AB+BC=BM．


解：过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，

∵⊙P与y轴相切于点C，
∴PC⊥y轴，
∴P点的横坐标为4，
∴E点坐标为（4，4），
∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，
∵PH⊥AB，
∴AH=AB=2，
在△PAH中，PH===2，
∴PE=PH=2，∴PD=4+2，
∴P点坐标为（4，4+2）．


解：（1）如图，连接OD，

∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB．
（2）①DF=DH，理由如下：
∵FH平分∠AFE，
∴∠AFH=∠EFH，
又∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，即∠DFH=∠DHF，
∴DF=DH．
②设HG=x，则DH=DF=1+x，
∵OH⊥AD，
∴AD=2DH=2（1+x），
∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，∴△DFG∽△DAF，∴，
∴，
∴x=1，
∵DF=2，AD=4，
∵AF为直径，
∴∠ADF=90°，
∴AF=
∴⊙O的半径为．



（1）证明：连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，
∴PA⊥AD，∴PA是⊙O的切线；
（2）解：∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，∴∠ACF=∠D，∴∠ACF=∠B，
而∠CAG=∠BAC，∴△ACG∽△ABC，∴AC：AB=AG：AC，∴AC2=AG•AB=12，∴AC=2．



一 、综合题
解：如图所示，连接BD，
（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∵O是AB的中点，∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD，
同理在Rt△BDC中，E是BC的中点，∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OAD=∠CBD，∴∠ODA=∠EBD，
又∵∠ODA+∠ODB=90°，∴∠EBD+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）答：△ABC的形状是等腰直角三角形．
理由是：∵E、F分别是BC、OC的中点，
∴EF是三角形OBC的中位线，∴EF∥AB，DE⊥BC，
OB=OD，四边形OBED是正方形，连接OE，
OE是△ABC的中位线，OE∥AC，∠A=∠EOB=45度，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形．
（3）设AD=x，CD=2x，
∵∠CDB=∠CBA=90°，∠C=∠C，∴△CDB∽△CBA，
∴=，∴=，x=2，AC=6，
由勾股定理得：AB==6，∴圆的半径是3．
答：⊙O的半径是3．


（1）证明：连接OD．
∵∠BAD=∠CAD，
∴=，
∴∠BOD=∠COD=90°，
∵BC∥PA，
∴∠ODP=∠BOD=90°，
∴OD⊥PA，
∴PD是⊙O的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC=∠BCD．
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BAD=∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠PCD=180°，
∴∠ABD=∠PCD，
∴△BAD∽△CDP，∴=，
∴AB•CP=BD•CD．
（3）解：∵BC是直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AB=5，AC=12，
∴BC==13，
∴BD=CD=，
∵AB•CP=BD•CD．
∴PC==．


解：
(1)证明：连接OD，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，即∠PCD+∠OCD=90°，
∵OA⊥CD
∴CE=DE
∴PC=PD
∴∠PDC=∠PCD
∵OC=OD
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠PDC+∠ODC=∠PCD+∠OCD=90°，
∴PD是⊙O的切线．
(2)如图2，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴tanB==
设AC=m，BC=2m，则由勾股定理得：m2+(2m)2=102，解得：m=，
AC=2，BC=4，
∵CE×AB=AC×BC，即10CE=2×4，
∴CE=4，BE=8，AE=2
在Rt△OCE中，OE=OA﹣AE=3，OC=5，
∴CE===4，
∴OP×OE=OC×OC，即3OP=5×5，
∴OP=，PA=OP﹣OA=﹣5=．
(3)AB2=4OE•OP
如图2，∵PC切⊙O于C，
∴∠OCP=∠OEC=90°，
∴△OCE∽△OPC
∴，即OC2=OE•OP
∵OC=AB
即AB2=4OE•OP．


解：
（1）连接OQ，则OQ⊥PQ，OQ=1,OP=2,
所以°，即 °，
，
所以点Q的运动速度为/秒.
(2) ①由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形，
所以，当Q＇与Q关于x轴对称时,△OPQ＇为直角三角形，
此时°，，，
当Q＇(0,-1)或Q＇(0,1)时，°，
此时t=6或，
即当t=5,t=6或t=12时,△OPQ是直角三角形.
②当t=6或t=12时，直线PQ与⊙O相交.作OM⊥PQ，
根据等面积法可知：PQ×OM=OQ×OP，PQ=， ，
，
弦长.


解：
（1）证明：如图1中，连接CD、OC．

∵点C是中点，∴=，∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴∠D=45°，
∵CE⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠D=∠DCE=45°，∴CE=DE．
（2）证明：如图2中，连接OD，OC
在△OED和△OEC中，，∴△OED≌△OEC，
∵∠CED=90°，∴∠OED=∠CEO=135°，∴∠OEB=45°．
（3）解：如图3中，过O作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，则∠EMO=90°，连接OC．
∵CE=2，∴DE=2，设EM=x，则BM=DM=2+x，∴BE=2x+2，
∵∠OEB=45°，则BM=DM=2+x，∴OM=x，
∵∠OEB=45°，∴∠CEB=∠EMO，∴EF∥OM．
∴=，即=，解得x=2或（﹣舍弃），
∴OE=2，BM=4，OM=2，BN=3，∴OB=2
∴EG=OE+OG=2+2，
∴S△EBG=•EG•BN=（2+2）×=6+3．