高中数学第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制导学案

这是一份高中数学第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制导学案，共6页。

5.1《任意角和弧度制》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )





A．1 B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,3) D．π





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在半径为8 cm的圆中，eq \f(5π,3)的圆心角所对的弧长为( )


A.eq \f(40,3)π cm B.eq \f(20,3)π cm C.eq \f(200,3)π cm D.eq \f(400,3)π cm





LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列说法中，错误的是( )


A．半圆所对的圆心角是π rad


B．周角的大小等于2π


C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径


D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知α是第三象限角，则－α是第________象限角．( )


A．四 B．三 C．二 D．一





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )


A．在x轴的非负半轴上


B．在x轴的非正半轴上


C．在y轴的非正半轴上


D．在y轴的非负半轴上





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若角α满足α=45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在( )


A．第一或第三象限


B．第一或第二象限


C．第二或第四象限


D．第三或第四象限





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设扇形的半径长为2 cm,面积为4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( )


A.1 B.2 C.π D. SKIPIF 1 < 0





LISTNUM OutlineDefault \l 3 如果α在第三象限,则 SKIPIF 1 < 0 一定不在( )


A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 集合A={α|α=k·90°－36°，k∈Z}，B={β|－180°<β<180°}，则A∩B= .





LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，终边落在OA的位置上的角的集合是 ；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是 ；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 .








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知一扇形的圆心角为eq \f(π,3)rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为______．





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知角的集合M={α|α=30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：


(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？


(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式.





























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，分别写出适合下列条件的角的集合：





(1)终边落在射线OB上；


(2)终边落在直线OA上；


(3)终边落在阴影区域内(含边界).





























LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知一个扇形的周长是40，


(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；


(2)求扇形面积S的最大值．









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．






































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：C.


解析：因为弦长等于圆的半径，所以弦所对的圆心角为eq \f(π,3).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A.


解析：根据弧长公式，得l=eq \f(5π,3)×8=eq \f(40π,3) (cm)．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A、B、C均正确，D错误．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C.


解析：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z.


则－k·360°－270°＜－α＜－k·360°－180°，k∈Z.∴－α是第二象限角．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A.


解析：由已知可得α=β＋k·360°(k∈Z)，


∴α－β=k·360°(k∈Z)，∴α－β的终边在x轴的非负半轴上．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A.


解析：当k为奇数时，角α与225°角终边相同，在第三象限；


当k为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：设扇形弧长为l cm.因为扇形面积S=4,∴l=4.所以扇形圆心角的弧度数为α=2(rad).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(5π,6)；解析：[－570°=－eq \f(19π,6)=－4π＋eq \f(5π,6).]





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：{－126°，－36°，54°，144°}；


解析：当k=－1时，α=－126°；当k=0时，α=－36°；


当k=1时，α=54°；当k=2时，α=144°.


∴A∩B={－126°，－36°，54°，144°}.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：{α|α=120°＋k·360°，k∈Z} {315°，－45°}


{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}


解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α=120°＋k·360°，k∈Z}.


终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α=315°＋k·360°，k∈Z}，


取k=0，－1得α=315°，－45°.故终边落在OB的位置上，


且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}.


终边落在阴影部分的角的集合是


{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2∶3；


解析：设扇形内切圆的半径为r，


∵扇形的圆心角为eq \f(π,3)，半径为R，∴S扇形=eq \f(1,2)×eq \f(π,3)R2=eq \f(π,6)R2.


∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，


∴R=r＋2r=3r，∴r=eq \f(R,3).∵S内切圆=πr2=eq \f(π,9)R2，


∴S内切圆∶S扇形=eq \f(π,9)R2∶eq \f(π,6)R2=2∶3.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，


则－eq \f(13,3)

又∵k∈Z，


∴k=－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，


∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，


分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.


(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，


∴β=120°＋k·360°，k∈Z.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1={α|α=60°＋k·360°，k∈Z}.


(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2={α|α=30°＋k·180°，k∈Z}.


(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为


S3={α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，


则由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(l＋2r＝40，,\f(1,2)lr＝100，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(l＝20，,r＝10，))则α=eq \f(l,r)=2(rad)．


故扇形的圆心角为2 rad.


(2)由l＋2r=40得l=40－2r，


故S=eq \f(1,2)lr=eq \f(1,2)(40－2r)·r=20r－r2=－(r－10)2＋100，


故r=10时，扇形面积S取最大值100.














LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：由题意可知，α＋β=－280°＋k·360°，k∈Z.


∵α，β都是锐角，


∴0°<α＋β<180°.


取k=1，得α＋β=80°.①


∵α－β=670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，


∴－90°<α－β<90°.


取k=－2，得α－β=－50°.②


由①②，得α=15°，β=65°.