初中数学3.4 二元一次方程组的应用教案设计

这是一份初中数学3.4 二元一次方程组的应用教案设计，共8页。教案主要包含了复习旧知，导入新知，自主合作，感受新知，师生互动，理解新知，应用迁移，运用新知，尝试练习，掌握新知，课堂小结，梳理新知，深化练习，巩固新知等内容，欢迎下载使用。
第1课时 简单实际问题和行程问题





1．能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．


2．学会利用二元一次方程组解决行程问题．





重点


理解列二元一次方程组解应用题的一般步骤．


难点


会灵活运用列方程组解决实际问题．





一、复习旧知，导入新知


我们学习了列一元一次方程解应用题的一般步骤，那么列方程分为哪几个基本步骤？学生积极回答：


(1)审题设未知数；


(2)找相等关系；


(3)列方程；


(4)解方程；


(5)检验，写出答案．


这一节我们来学习用二元一次方程组解决实际问题(板书课题)．


二、自主合作，感受新知


回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．


三、师生互动，理解新知


探究点一：列方程组解决简单实际问题


问题1：某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分．一球队共比赛11场，没输过一场，一共得27分．问该队胜几场，平几场？


分析题意(方法一)：


(1)该队共进行比赛多少场，有没有输？(没有)


(2)若假设胜了x场，则平多少场？(11－x)


(3)胜一场得3分，胜x场得了多少分？(3x)


(4)平一场得1分，平局共得多少分？(11－x)


(5)该队共得27分．


(6)你找到等量关系了吗？(胜场得分＋平局得分＝总分)


通过以上分析列出方程．


解：设该队胜x场，则平了(11－x)场．


由题意可得


3x＋(11－x)＝27.


解得x＝8.


11－x＝11－8＝3.


答：该队胜8场，平3场．


分析题意(方法二)：


(1)若假设胜了x场，平局为y场，共进行11场比赛．你能找到它们三者之间的等量关系吗？(胜局场数＋平局场数＝总场数)


(2)胜一场得3分，胜x场共得了3x分，平一场得1分，平局y场共得y分，一共得27分，这3个得分间有什么等量关系呢？(胜场得分＋平局得分＝总分)


设两个未知数，就需要列二元一次方程组来解决，你能列出这个方程组吗？


解：设胜了x场，平局为y场，得方程组


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝11，,3x＋y＝27.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝3.))


答：该队胜8场，平3场．


由例题可知，有些题目既可以引入一个未知数，建立一元一次方程，也可以引入两个未知数，建立二元一次方程组．讨论交流这两种方法各有什么特点？


探究点二：列方程组解决行程问题


行程问题：


(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行．这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析．其等量关系式是：两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；速度＝eq \f(路程,时间)；时间＝eq \f(路程,速度).


(2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行．这类问题也比较直观，因而也可画线段图帮助理解与分析．这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程．


(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；


②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；


③顺水速度－逆水速度＝2×水速．


注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似．


问题2：一列火车长300米，某人和火车同向而行，则整列火车经过人身边需20秒．若相向而行，则整列火车经过人身边需15秒．求火车和人的速度．


解析：(1)同向时，火车所行路程比人要多出多少？(多出一个车身的长度)


(2)相向时，火车与人共同行了多少？(一个车身的长度)


小组讨论：题目中的相等关系：


同向时：火车行的路程－人行的路程＝车长


相向时：火车行的路程＋人行的路程＝车长


解：设火车行驶的速度为x米/秒，人行走的速度为y米/秒，根据题意，得


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(20x－20y＝300，,15x＋15y＝300，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝17.5，,y＝2.5.))


答：火车行驶的速度为17.5米/秒，人行走的速度为2.5米/秒．


问题3：甲、乙两地相距4 km，以各自的速度同时出发．如果同向而行，甲2 h追上乙；如果相向而行，两人0.5 h后相遇．试问两人的速度各是多少？


解析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观地找到等量关系．


(1) 同时出发，同向而行





eq \x(甲2 h行程＝4 km＋乙2 h行程)


(2) 同时出发，相向而行





eq \x(甲0.5 h行程＋乙0.5 h行程＝4 km)


解：设甲、乙的速度分别为x km/h，y km/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系，得


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－2y＝4，,\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝4.))解方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3.))


答：甲的速度为5 km/h，乙的速度为3 km/h.


四、应用迁移，运用新知


1．列方程组解决简单实际问题


例1 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？


解：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝300，,6x＋2y＝1200，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝150，,y＝150.))


答：甲、乙两种货物各装150吨．


方法总结：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找等量关系；设未知数时，一般是求什么，设什么；并且所列方程的个数与未知数的个数相等．


2．列方程组解决行程问题——相遇问题


例2 某体育场的一条环形跑道长400 m．甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不变的速度练习长跑和骑自行车．如果背向而行，每隔eq \f(1,2) min他们相遇一次；如果同向而行，每隔eq \f(4,3) min乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？


解析：题中的两个相等关系为：①乙骑车的路程＋甲跑步的路程＝400 m(背向)；②乙骑车的路程－甲跑步的路程＝400 m(同向)．


解：设乙骑车每分钟行x m，甲每分钟跑y m，由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝400，,\f(4,3)x－\f(4,3)y＝400.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝550，,y＝250.))


答：甲每分钟跑250 m，乙每分钟骑550 m.


方法总结：环行道路上的等量关系：若同时同地出发，背向而行时，则第一次相遇时，二者路程之和＝一周长；若同时同地出发，同向而行，则第一次相遇时，快者的路程－慢者的路程＝一周长．


3．列方程组解决行程问题——航行问题


例3 A、B两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．


解析：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，列表如下：





解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7（x＋y）＝140，,10（x－y）＝140.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝17，,y＝3.))


答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.


方法总结：本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．


五、尝试练习，掌握新知


课本P109练习第1～3题．


《·》“随堂演练”部分．


六、课堂小结，梳理新知


通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？


本节课学习了能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题；能利用二元一次方程组解决行程问题．


七、深化练习，巩固新知


课本P112习题3.4第1、2、7题．


《·》“课时作业”部分．














第2课时 百分率和配套问题








1．学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题．


2．进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程．





重点


根据题中的各个量的关系，准确列出方程组．


难点


借助列表，数与数之间的关系，分析出问题中所蕴涵的数量关系．





一、复习旧知，导入新知


前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．


二、自主合作，感受新知


回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．


三、师生互动，理解新知


探究点一：列方程组解决百分率问题


问题1：浓度问题：浓度＝溶质质量÷溶液质量；溶质质量＝溶液质量×浓度．


玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%.根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2吨原料中，石英砂和长石粉各多少吨？


解析：问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？引入未知数，填写下表：





解：设需石英砂x t，长石粉y t.


根据题意可列出方程组：


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝3.2，,99%x＋67%y＝70%×3.2，))


解方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0.3，,y＝2.9.))


答：在3.2 t原料中，需石英砂0.3 t，长石粉2.9 t.


问题2：增长率问题：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量．


甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价．


解析：问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？引入未知数，填写下表：





解：设甲商品原单价为x 元，乙商品原单价为y 元．


根据题意可列出方程组：


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝100，,（1－10%）x＋（1＋40%）y＝100×（1＋20%），))


解方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝40，,y＝60.))


答：甲商品原单价为40元，乙商品原单价为60元．


探究点二：列方程组解决配套问题


问题3：配套问题基本等量关系：总量各部分之间的比例＝每一套各部分之间的比例


某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地．根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦．种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：





在现有情况下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都有工作，且资金正好够用？


解析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”？能用等式来表示它们吗？根据题意列表如下：





解：设蔬菜种植x hm2，荞麦种植y hm2，


根据题意列出方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x＋4y＝18，,1.5x＋y＝5，))


解方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))


故承包田地的面积为： x＋y＝4 (hm2)．


人员安排为：5x＝5×2＝10(人)；4y＝4×2＝8(人)．


答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种蔬菜，8人种荞麦，这样能使所有人都有工作且资金正好够用．


生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键．


四、应用迁移，运用新知


1．列方程组解决增长率问题


例1 为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．


(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？


(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？


解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．


解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝5000，,20%x＋30%y＝1160.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3400，,y＝1600.))


20%x＝680，30%y＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．


答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”；


(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．


答：一共需配备360名中小学教师．


方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原量)÷原量．


2．列方程组解决利润问题


例2 某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元．


解析：本题中所含的等量关系有：①甲商品的售价＋乙商品的售价＝538元；②甲商品的利润＋乙商品的利润＝88元．


解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意，得


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋88＝538，,x（1＋50%）×80%＋y（1＋40%）×85%＝538.))


化简，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝450，,1.2x＋1.19y＝538.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝250，,y＝200.))


答：甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元．


方法总结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣，售价＝进价＋利润等．


3．列方程组解决配套问题


例3 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？


解析：此题有两个未知量——制盒身、盒底的铁皮张数．问题中有两个等量关系：(1)制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝190；(2)制成盒身的个数的2倍＝制成盒底的个数．


解：设制盒身的铁皮数为x张，制盒底的铁皮数为y张，根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝190，,2×8x＝22y.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝110，,y＝80.))


答：110张铁皮制盒身，80张铁皮制盒底．


方法总结：找出本题中的两个等量关系是解题的关键，解决配套问题时，一定要抓住题目中的特定的数量关系，根据等量关系列出方程组求解．


五、尝试练习，掌握新知


课本P110练习第1、2题、P111练习第1、2题．


《·》“随堂演练”部分．


六、课堂小结，梳理新知


通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？


本节课学习了运用二元一次方程组解决百分率和配套问题，进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程．


七、深化练习，巩固新知


课本P112习题3.4第3～6题．


《·》“课时作业”部分．


路程
速度
时间
顺流
140 km
(x＋y) km/h
7 h
逆流
140 km
(x－y) km/h
10 h
石英砂/t
长石粉/t
总量/t
需要量
x
y
3.2
含二氧化硅
99%x
67%y
70%×3.2
甲/元
乙/元
合计/元
原单价
x
y
100
现单价
(1－10%)x
(1＋40%)y
100×(1＋20%)
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金/万元
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
作物


品种
种植面积S/hm2
需要人数
投入资金/万元
蔬菜
x
5x
1.5x
荞麦
y
4y
y
合计
18
5