初中数学沪科版七年级上册第1章 有理数1.5 有理数的乘除教案及反思

这是一份初中数学沪科版七年级上册第1章 有理数1.5 有理数的乘除教案及反思，共9页。教案主要包含了复习旧知，导入新知，自主合作，感受新知，师生互动，理解新知，应用迁移，运用新知，尝试练习，掌握新知，课堂小结，梳理新知，深化练习，巩固新知等内容，欢迎下载使用。

第1课时 有理数的乘法(一)——两数相乘





1．经历探索有理数乘法法则的过程，发展归纳、猜测等能力．


2．能运用法则进行有理数乘法运算．


3．理解有理数倒数的意义．


4．能用乘法解决简单的实际问题．





重点


能按有理数乘法法则进行简单的有理数乘法运算．


难点


有理数乘法法则的推导．





一、复习旧知，导入新知


前面学习了有理数的加减法，同学们先看下面的问题：


5＋5＋5等于多少？改写成乘法算式是：5×3＝15.


(－5)＋(－5)＋(－5)＝？写成乘法算式是什么？


思考：5×3是小学学过的乘法，那么(－5)×3，3×(－5)，(－5)×(－3)如何计算呢？


这就是我们今天将要学习的“有理数的乘法”．


二、自主合作，感受新知


回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．


三、师生互动，理解新知


探究点一：有理数的乘法法则


问题1：在实验室中，用冷却的方法可将某种生物标本的温度稳定地下降，每1 min下降2℃.假设现在生物标本的温度是0℃，问3 min后它的温度是多少？


若把温度下降记为负，由课本图1－12可得，3 min后生物标本的温度是－6℃.你会列出算式吗？


(－2)×3＝(－2)＋(－2)＋(－2)＝－6.


类似地，(－2)×2＝(－2)＋(－2)＝－4，


(－2)×1＝－2，


(－2)×0＝0.


思考：根据上面的计算，你对一个负数乘一个正数有什么发现？一个负数乘0呢？


一般地，异号两数相乘(正数乘负数或负数乘正数)，只要把它们的绝对值相乘，符号取“－”．负数与0相乘得0.


问题2：在问题1的情况下，问1 min前、2 min前该种生物标本的温度各是多少？


这里，以“现在”为基准，把以后时间记作“＋”，以前时间记作“－”，那么1 min前记作－1，观察课本图1－13可得，


1 min前生物标本的温度是2℃，用算式表示(－2)×(－1)＝2.


2 min前(记作－2)生物标本的温度是1 min前温度的2倍，用算式表示(－2)×(－2)＝4.


类似地，(－2)×(－3)＝6.


思考：根据上面的计算，你对两个负数相乘有什么发现？


一般地，两个负数相乘，只要把它们的绝对值相乘，符号取“＋”．


总结归纳出有理数乘法法则：


(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；


(2)任何数与零相乘仍得零．


特别提醒：两个有理数相乘，一要确定积的符号，二要确定积的绝对值．


探究点二：倒数


问题： eq \f(3,4)与eq \f(4,3)这两数有何关系？－eq \f(1,3)与－3呢？类比小学学过的有关倒数的定义．


在小学我们学过，两个正有理数乘积为1时，称这两个正有理数互为倒数．同样，这个规定在负数中仍然适用．


若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数．如－eq \f(5,3)是－eq \f(3,5)的倒数，－eq \f(3,5)是－eq \f(5,3)的倒数，也就是说，－eq \f(3,5)与－eq \f(5,3)互为倒数，0没有倒数．


四、应用迁移，运用新知


1．有理数的乘法法则


例1 见课本P30例1.


方法总结：两数相乘，积的符号由两个乘数的符号决定：同号得正，异号得负；任何数乘以0，结果为0.


2．直接求某一个数的倒数


例2 求下列各数的倒数：


(1)－eq \f(3,4)；(2)2eq \f(2,3)；(3)－1.25；(4)5.


解析：根据倒数的定义依次解答．


解：(1)－eq \f(3,4)的倒数是－eq \f(4,3)；


(2)2eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，故2eq \f(2,3)的倒数是eq \f(3,8)；


(3)－1.25＝－eq \f(5,4)，故－1.25的倒数是－eq \f(4,5)；


(4)5的倒数是eq \f(1,5).


方法总结：乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数时，先把小数化为分数再求解．


3．与相反数、倒数、绝对值有关的求值问题


例3 已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求eq \f(a＋b,m)－cd＋|m|的值．


解析：根据相反数的概念和倒数概念，可得a、b；c、d的等量关系，再由m的绝对值为6，可求m的值，把所得的等量关系整体代入可求出代数式的值．


解：由题意得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝6，m＝±6.所以当m＝6时，原式＝eq \f(0,6)－1＋6＝5；当m＝－6时，原式＝eq \f(0,－6)－1＋6＝5.故eq \f(a＋b,m)－cd＋|m|的值为5.


方法总结：解答此题的关键是先根据题意得出a＋b＝0，cd＝1及m＝±6，再代入所求代数式进行计算．


五、尝试练习，掌握新知


课本P31练习第1～3题．


《探究在线·高效课堂》“随堂演练”部分．


六、课堂小结，梳理新知


通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？


本节课学习了有理数的乘法法则和倒数的概念，会进行有理数的乘法计算，能说出一个数的倒数．应用有理数乘法法则计算时，要同时确定“积”的符号、计算“积”的绝对值．


七、深化练习，巩固新知


课本P37习题1.5第1题．


第2课时 有理数的乘法(二)——多数相乘








1．会确定多个因数相乘时，积的符号，并会用法则进行多个因数的乘积运算．


2．会利用计算器进行多个因数的乘积运算．





重点


会用法则进行多个因数的乘积运算．


难点


积的符号的确定．





一、复习旧知，导入新知


计算：(1)(－6)×(－eq \f(5,6))；(2)1eq \f(2,3)×(－1eq \f(1,5))．


你能说出各题的解答根据吗？叙述有理数的乘法运算的法则是什么？


有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘．任何数与0相乘，积为0.


二、自主合作，感受新知


回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．


三、师生互动，理解新知


探究点：多个因数的乘法


探索：


1．下列各式的积为什么是负的？


(1)－2×3×4×5×6；


(2)2×(－3)×4×(－5)×6×7×8×9×(－10)．


2．下列各式的积为什么是正的？


(1)(－2)×(－3)×4×5×6×7；


(2)－2×3×4×5×(－6)×7×8×(－9)×(－10)．


思考：几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？


与两个有理数相乘一样，几个不等于0的有理数相乘，要先确定积的符号，再确定积的绝对值．


结合课本P31问题3，引导学生观察上面各题的计算结果，当多个有理数相乘，且有一个因数为零时，积是多少？因数都不为零时，找一找积的符号与什么有关？并归纳出几个有理数相乘时积的符号法则：


几个数相乘，有一个因数为零，积为零．


几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．


四、应用迁移，运用新知


多个因数的乘法


例 计算：


(1)－2×3×(－4)；


(2)－6×(－5)×(－7)；


(3)0.1×(－0.001)×(－1)；


(4)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.


解析：先确定结果的符号，然后再将它们的绝对值相乘即可．


解：(1)原式＝－6×(－4)＝24；


(2)原式＝30×(－7)＝－210；


(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；


(4)原式＝0.


方法总结：两数相乘，积的符号是由两个乘数的符号决定：同号得正，异号得负；任何数乘以0，结果为0.


五、尝试练习，掌握新知


课本P32练习第1～3题．


《探究在线·高效课堂》“合作探究”部分．


六、课堂小结，梳理新知


通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？


本节课学习了有理数多个因数的乘法法则：(1)几个数相乘，有一个因数为零，积为零；(2)几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．


七、深化练习，巩固新知


课本P37习题1.5第2题．





第3课时 有理数的除法








1．理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算．


2．通过将除法运算转化为乘法运算，培养学生转化的思想．


3．通过有理数的除法运算，培养学生的运算能力．





重点


除法法则的灵活运用．


难点


有理数除法确定商的符号后，怎样根据不同的情况采取适当的方法求商的绝对值．





一、复习旧知，导入新知


1．求下列各数的倒数：


(1)－eq \f(2,5)；(2)－0.125；(3)－1eq \f(3,7).


2．小学里除法的意义是什么？小学算术中除法怎么计算？引入负数后，又如何计算有理数的除法呢？今天，我们来学习有理数的除法运算．


二、自主合作，感受新知


回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．


三、师生互动，理解新知


探究点：有理数的除法法则


问题1：已知3x＝15，则x＝____；－3x＝15，则x＝______．


问题2：4×______＝－20；－8×______＝40.你是如何计算的？


问题3：根据乘除互逆运算关系，你能求下列两数的商吗？


乘法


2×3＝6 －2×3＝－6 －2×(－3)＝6


除法


6÷2＝______ －6÷(－2)＝______


－6÷2＝______ 6÷3＝______


－6÷3＝______ －6÷(－3)＝______


你能发现有理数除法又是如何计算的吗？


交流：(1)两数相除，商的符号与被除数、除数符号有何关系？


(2)商的绝对值与被除数、除数符号有何关系？


(3)零除以一个不为零的数，商为多少？


有理数除法法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．


观察一下式子，你能得出什么结论？


0×(＋5)＝0 0÷(＋5)＝___0__


0×(－5)＝0 0÷(－5)＝___0___


结论：0除以任何一个不为0的数仍得0.0不能做除数．


做一做：比较下列各组数的计算结果，你能得到什么结论？


(1)1÷5与1×eq \f(1,5)；(2)2÷(－eq \f(2,5))与2×(－eq \f(5,2))．


计算出结果后，请同学们比较每一组小题中两个结果，从中发现了什么特点？由此你联想到你们所学的什么知识呢？并试着用语言叙述其中的规律：


除以一个非零数等于乘以这个数的倒数，用字母表示为：a÷b＝a×eq \f(1,b)(b≠0)．


四、应用迁移，运用新知


1．直接判断商的符号和绝对值进行除法运算


例1 计算：


(1)(－15)÷(－3)；(2)12÷(－eq \f(1,4))；


(3)(－0.75)÷(0.25)．


解析：采用“有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”来解答．


解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；


(2)12÷(－eq \f(1,4))＝－(12÷eq \f(1,4))＝－48；


(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.


方法总结：注意先确定运算的符号，再根据“同号得正，异号得负”的法则进行计算．


2．将除法转化为乘法进行计算


例3 见课本P33例2.


方法总结：有理数的除法运算通常利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算来求．


3．根据，a＋b的符号，判断a和b的符号


例4 如果a＋b＜0，eq \f(a,b)＞0，那么这两个数( )


A．都是正数 B．符号无法确定


C．一正一负 D．都是负数


解析：因为eq \f(a,b)＞0，根据“两数相除，同号得正”可知a、b同号，又因为a＋b＜0，所以可以判断a、b均为负数．


方法总结：此题考查了有理数除法和加法法则，解题时要灵活运用法则．


五、尝试练习，掌握新知


课本P33练习、P34练习第1～3题．


《探究在线·高效课堂》“随堂演练”部分．


六、课堂小结，梳理新知


通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？


本节课学习了有理数除法法则：


(1)任何数除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b＝a×eq \f(1,b) (b≠0)；


(2)两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；


(3)0除以任何一个不为0的数，都得0.0不能做除数．


七、深化练习，巩固新知


课本P37习题1.5第4题．








第4课时 乘、除混合运算


第5课时 乘法的运算律





1．会用有理数的乘、除运算法则进行混合运算．


2．理解加、减、乘、除混合运算的步骤．


3．会用运算律进行简便计算．





重点


如何按有理数的运算顺序，正确而合理地进行有理数的混合运算．


难点


灵活运用运算律及符号的确定．





一、复习旧知，导入新知


1．回顾：(1)有理数乘法运算的法则是什么？


两个有理数相乘，同号得____，异号得____，并把绝对值相乘．


(2)有理数的除法运算法则是什么？


(两个有理数相除，同号得____，异号得____，并把绝对值相除．除以一个数等于乘以这个数的____．)


(3)什么叫互为倒数？(如果两个数的积等于____，那么这两个数互为倒数．如－5的倒数是____，－0.25的倒数是____．)


2．在非负数的范围内，你是怎样进行有理数的乘除混合运算的？


3．怎样计算(－8)×(－2)÷(－eq \f(1,2))＝？这节课我们来探究有理数的乘除混合运算．


二、自主合作，感受新知


回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线·高效课堂》“预习导学”部分．


三、师生互动，理解新知


探究点一：有理数乘、除混合运算


问题1：计算：eq \f(11,5)×(－eq \f(1,2))×eq \f(3,11)÷eq \f(5,4).


让学生尝试，给学生一个展示自己的机会，这时，有的学生可能是按从左到右的顺序运算，有的同学可能是把除法统一成乘法简化运算……这样在不同的方法中，学生自己就会寻找到简单的、一般性的方法．


解：eq \f(11,5)×(－eq \f(1,2))×eq \f(3,11)÷eq \f(5,4)


＝eq \f(11,5)×(－eq \f(1,2))×eq \f(3,11)×eq \f(4,5)(统一为乘法运算)


＝－eq \f(6,25).


规律总结：只含有有理数乘、除的混合运算，可统一化为乘法运算．


探究点二：有理数的加、减、乘、除混合运算


问题2：计算：


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\f(2,3)×（－\f(5,14)）＋（－0.4）÷（－\f(4,25)）))×1eq \f(1,5).


学生活动：两位同学板演，其他同学在练习本上完成(教师纠正)．


解：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\f(2,3)×（－\f(5,14)）＋（－0.4）÷（－\f(4,25)）))×1eq \f(1,5)


＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)＋（－\f(2,5)）×（－\f(25,4)）))×1eq \f(1,5)


＝(－eq \f(5,3)＋eq \f(5,2))×1eq \f(1,5)＝eq \f(5,6)×1eq \f(1,5)＝1.


教师根据学生所做的方法，及时指出最具代表性的方法来给学生指明方向，总结出含加、减、乘、除的算式，如没有括号，应先做乘除运算，后做加减运算；如有括号，应先做括号里的运算．


探究点三：乘法的运算律


问题3：小学学习的乘法的三条运算律：


(1)乘法交换律：ab＝ba.


(2)乘法结合律：(ab)c＝a(bc)．


(3)乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.


特别指出：引入负数以后，这三条运算律也同样适用，即这里的a，b，c可以表示任何有理数．


四、应用迁移，运用新知


1．有理数乘、除混合运算


例1 见课本P34例3.


方法总结：把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后进行计算即可．


2．有理数加、减、乘、除混合运算


例2 见课本P35例4.


方法总结：在进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，若能应用运算律进行简化运算，就先简化运算．


3．有理数乘法的运算律


例3 见课本P36例5.


方法总结：若一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算．


4．有理数混合运算的应用


例4 已知海拔高度每升高1000 m，气温下降6℃.某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是－1℃，热气球的高度为________m.


解析：此类问题考查有理数的混合运算，解题时要正确理解题意，列出式子求解，由题意可得[8－(－1)]×(1000÷6)＝1500(m)，故填1500.


方法总结：本题的考点是有理数的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键．


五、尝试练习，掌握新知


课本P36～37练习第1～3题．


《探究在线·高效课堂》“随堂演练”部分．


六、课堂小结，梳理新知


通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？


本节课学习了有理数加、减、乘、除的混合运算，进行有理数的混合运算的关键是熟练掌握其混合运算的运算法则、运算律及运算顺序．


七、深化练习，巩固新知


课本P37习题1.5第3、5、6题．