数学七年级上册3.1 一元一次方程及其解法教学设计

这是一份数学七年级上册3.1 一元一次方程及其解法教学设计，共11页。教案主要包含了创设情境，导入新知，自主合作，感受新知，师生互动，理解新知，应用迁移，运用新知，尝试练习，掌握新知，课堂小结，梳理新知，深化练习，巩固新知，8题．等内容，欢迎下载使用。

3．1 一元一次方程及其解法


第1课时 一元一次方程





1．理解一元一次方程的概念．


2．掌握等式的基本性质，并会灵活运用等式的性质解一元一次方程．


3．体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系．





重点


对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程．


难点


对等式基本性质的理解与运用．





一、创设情境，导入新知


问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地，A，B两地间的路程是多少？





1．若用算术方法解决应怎样列算式？


2．如果设A，B两地相距x km，那么客车从A地到B地的行驶时间为______，货车从A地到B地的行驶时间为______．


3．客车与货车行驶时间的关系是________．


4．根据上述关系，可列方程为________．


5．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？


二、自主合作，感受新知


阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．


三、师生互动，理解新知


问题1：在参加2008年北京奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人．参加奥运会的跳水运动员有多少人？


解析：此题可能有学生在小学的基础上列出算式得出，如(19＋1)÷2.当然上述学生比较少，因为这个算式的建立是不容易的．这样大部分学生的方法是用在小学学过的简易方程，他们也会设出x，建立方程．


解：设跳水运动员有x人，则依据题意，得


2x－1＝19.


注意：此处为了不分散主题，暂不分析这个方程得来的思路．


问题2：王玲今年12岁，王玲的爸爸今年36岁，问再过几年，她爸爸的年龄是她年龄的2倍？


解析：一般情况下，我们是问什么设什么，我们这儿设过x年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍．这样用这儿的两倍关系建立等式，即x年后她爸爸的年龄＝x年后王玲的年龄×2.


解：设过x年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍，则依题意，得


36＋x＝2(12＋x)．


此处可引导学生将父女两人x年后的年龄表示出来，以加强互动．


探究点一：一元一次方程的有关概念


观察以上两个方程，找出其特点：


(1)有几个未知数？


(2)未知数的次数是几？


教师在学生回答的基础上，归纳一元一次方程的概念：只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．


回顾一元一次方程的解：


使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可叫做方程的根．


探究点二：等式的基本性质


为了能对方程进行求解，我们必须有依据，什么是依据呢？这就是等式的性质．(方程是一个等式)


等式的性质：


(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．即


如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.


(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．即


如果a＝b，那么ac＝bc，eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)(c≠0)．


(3)(对称性)如果a＝b，那么b＝a.


(4)(传递性)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.


四、应用迁移，运用新知


1．一元一次方程的辨别


例1 下列方程中是一元一次方程的是( )


A．x＋3＝y＋2


B．1－3(1－2x)＝－2(5－3x)


C．x－1＝eq \f(1,x)


D.eq \f(y,3)－2＝2y－7


解析：A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数的项可以消去，不是方程，错误；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确．


方法总结：判断一元一次方程需满足三个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)是整式方程．


2．利用一元一次方程的概念求字母次数的值


例2 方程(m＋1)x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则( )


A．m＝±1 B．m＝1


C．m＝－1 D．m≠－1


解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|m|＝1，,m＋1≠0，))解得m＝1.


方法总结：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．


3．一元一次方程的解


例3 检验下列各数是不是方程5x－2＝7＋2x的解，并写出检验过程．


(1)x＝2; (2)x＝3.


解析：将未知数的值代入方程，看左边是否等于右边，即可判断是不是方程5x－2＝7＋2x的解．


解：(1)将x＝2代入方程，左边＝8，右边＝11，左边≠右边，故x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解；


(2)将x＝3代入方程，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，故x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解．


方法总结：检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等．


4．等式的基本性质


例4 已知mx＝my，下列结论错误的是( )


A．x＝y B．a＋mx＝a＋my


C．mx－y＝my－y D．amx＝amy


解析：A.等式的两边都除以m，依据是等式的基本性质2，而A选项没有说明m≠0，故A错误；B.符合等式的基本性质1，正确；C.符合等式的基本性质1，正确；D.符合等式的基本性质2，正确．


方法总结：在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，这里的数或字母没有条件限制，但是在等式的两边同时除以同一个数或字母时，这里的数或字母必须不为0.


5．利用等式的基本性质解方程


例5 见课本P86例1.


方法总结：解方程时，一般先将方程变形为ax＝b的形式，然后再变形为x＝c的形式．


五、尝试练习，掌握新知


课本P87练习第1、2题．


《·》“随堂演练”部分．


六、课堂小结，梳理新知


引导学生回答如下问题：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学思想方法？应注意什么问题？


本节课我们学习了一元一次方程的概念，知道了什么是一元一次方程，它需要两个基本条件：一是只含一个未知数，二是未知数的次数只能是一次．同时我们学习了解方程的依据，即等式性质，这个性质中，我们要特别注意第二条，同除的数不可以是0，三是我们学会了利用等式性质对方程进行求解．


七、深化练习，巩固新知


课本P90习题3.1第1、2题．


《·》“课时作业”部分．





第2课时 移项解一元一次方程








1．理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则．


2．会利用移项解一元一次方程．





重点


理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．


难点


理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．





一、复习旧知，导入新知


上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：一边是含有未知数的项，一边是常数项．这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答．


问题引入：


(1)解方程：2x－eq \f(5,2)x＝6－8.


(2)观察下列一元一次方程，与上题的类型有什么区别？


2x＋7＝32－2x


怎样才能使它向x＝a(a为常数)的形式转化呢？


二、自主合作，感受新知


回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．


三、师生互动，理解新知


探究点：移项解一元一次方程


观察P86例1解答过程中的第1步：


2x－1＝19 ①


2x＝19＋1 ②


由方程①到方程②，这个变形相当于把①中的“－1”这一项从方程的左边移到了方程的右边．


“－1”这项移动后，发生了什么变化？(改变了符号)


总结：根据等式性质1的变形，其实就是把方程的一项改变符号，从一边移到另一边，这种变形我们把它叫做移项．


一般地，把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“x ＝a”的形式．


移项，一般都习惯把含未知数的项移到等式左边．


四、应用迁移，运用新知


1．移项


例1 通过移项将下列方程变形，正确的是( )


A．由5x－7＝2，得5x＝2－7


B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋x


C．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8


D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9


解析：A.由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故错误；B.由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故错误；C.正确；D.由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故错误．


方法总结：(1)所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置；(2)移项时要变号，不变号不能移项．


2．用移项解一元一次方程


例2 见课本P87例2.


例3 解下列方程：


(1)－x－4＝3x； (2)5x－1＝9；


(3)－4x－8＝4； (4)0.5x－0.7＝6.5－1.3x.


解析：通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可．


解：(1)移项得－x－3x＝4，合并同类项得－4x＝4，系数化成1得x＝－1；


(2)移项得5x＝9＋1，合并同类项得5x＝10，系数化成1得x＝2；


(3)移项得－4x＝4＋8，合并同类项得－4x＝12，系数化成1得x＝－3；


(4)移项得1.3x＋0.5x＝0.7＋6.5，合并同类项得1.8x＝7.2，系数化成1得x＝4.


方法总结：将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1.特别注意移项要变号．


五、尝试练习，掌握新知


课本P88练习第1、2题．


《·》“随堂演练”部分．


六、课堂小结，梳理新知


通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？


本节课学习掌握了移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．


七、深化练习，巩固新知


课本P91习题3.1第3、4(1)(2)、8题．


《·》“课时作业”部分．





第3课时 去括号解一元一次方程








1．会用分配律去括号解含括号的一元一次方程．


2．经历探索用去括号的方法解方程的过程，进一步熟悉方程的变形，弄清楚每步变形的依据．





重点


运用去括号法则解带有括号的方程．


难点


解一元一次方程的步骤，去括号注意事项．





一、创设情境，导入新知


一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度．


(1)题目中的等量关系是__________．


(2)根据题意可列方程为__________．


你能解这个方程吗？


二、自主合作，感受新知


回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．


三、师生互动，理解新知


探究点：去括号解一元一次方程


问题：小明家来客人了，爸爸给了小明10元钱，让他买1听果奶饮料和4听可乐．从商店回来后，小明交给爸爸3元钱．如果我们知道1听可乐比1听果奶饮料多0.5元，能不能求出1听果奶饮料是多少钱呢？


设置问题串：


(1)小明买东西共用去多少元？


(2)如何用未知数x表示1听果奶饮料或者1听可乐的价钱？


(3)这个问题中有怎样的等量关系？


小组充分讨论交流后回答：


(1)买东西用去10－3＝7(元)．


(2)若设1听果奶饮料为x元时，则1听可乐为(x＋0.5)元；若设1听可乐为x元时，则1听果奶饮料为(x－0.5)元．


(3)如：买可乐的钱＋买果奶饮料的钱＝用去的钱．(学生的思路很广泛，也可列成其他形式，只要合理即可)


教师在学生回答的基础上，确定出一个方程：


设1听果奶饮料x元，则方程为4(x＋0.5)＋x＝10－3.


问题串：


(1)这个方程与上节课解过的方程在形式上有什么不同？它们有什么联系？


(2)它的主要特点是什么？怎样解这个方程？


学生可以讨论出以下结论：


方程中含有括号，如果去掉括号，就可以利用移项法则进行解方程了，关键步骤就是去括号．


回顾去括号法则：⑴括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号．⑵括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．


学生自主学习课本P88例3，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过程的认识．


注意：(1)方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简．


(2)去括号时不要漏乘括号内的任何一项．


(3)若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号．


(4)－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解方程的过程．


四、应用迁移，运用新知


1．用去括号的方法解方程


例1 解下列方程：


(1)4x－3(5－x)＝6；


(2)5(x＋8)－5＝6(2x－7)．


解析：先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求得答案．


解：(1)4x－3(5－x)＝6，去括号得4x－15＋3x＝6，移项合并同类项得7x＝21，系数化为1得x＝3；


(2)去括号得5x＋40－5＝12x－42，移项、合并同类项得－7x＝－77，系数化为1得x＝11.


方法总结：解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1.


2．根据已知方程的解求字母系数的值


例2 已知关于x的方程3(a－eq \f(x,3))＝eq \f(x,2)＋3的解为2，求代数式(－a)2－2a＋1的值．


解析：此题可将x＝2代入方程，得出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值，再把a的值代入所求代数式计算即可．


解：因为x＝2是方程3(a－eq \f(x,3))＝eq \f(x,2)＋3的解，


所以3(a－eq \f(2,3))＝1＋3，解得a＝2，


所以原式＝a2－2a＋1＝22－2×2＋1＝1.


方法总结：此题考查方程解的意义及代数式的求值．将未知数x的值代入方程，求出a的值，然后将a的值代入整式即可解决此类问题．


3．应用方程思想求值


例3 当x为何值时，代数式2(x2－1)－x2的值比代数式x2＋3x－2的值大6?


解析：先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．


解：依题意得2(x2－1)－x2－(x2＋3x－2)＝6，


去括号得2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6，


移项、合并同类项得－3x＝6，


系数化为1得x＝－2.


方法总结：先按要求列出方程，然后去括号，移项(把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边)，合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．


五、尝试练习，掌握新知


课本P89练习第1、2题．


《·》“随堂演练”部分．


六、课堂小结，梳理新知


通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？


本节课学习了解了去括号解一元一次方程的步骤：(1)去括号；(2)移项；(3)合并同类项；(4)系数化为1.


七、深化练习，巩固新知


课本P91习题3.1第4(3)(4)、6、9、10题．


《·》“课时作业”部分．








第4课时 去分母解一元一次方程








1．掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法．


2．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的一般步骤．





重点


用去分母的方法解方程．


难点


去分母时，不漏乘不含分母的项(即整数项)；正确理解分数线的作用，去分母后注意给分子添加括号．





一、复习旧知，导入新知


1．等式的基本性质2是怎样叙述的呢？


2．求下列几组数的最小公倍数：


(1)2，3； (2)2，4，5.


3．通过上几节课的探讨，总结一下解一元一次方程的一般步骤是什么？


4．如果未知数的系数是分数时，怎样来解这种类型的方程呢？那么这一节课我们来共同解决这样的问题．


二、自主合作，感受新知


回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．


三、师生互动，理解新知


探究点：去分母解一元一次方程


1．探索去分母解方程的方法


问题：刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成，现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣，问再合绣多少天可以完成这件作品？


学生活动：观察问题情境，弄清题意，分析问题中的等量关系．


教师活动：(1)指定一名学生说出问题中的等量关系；(2)引导学生分析，建立方程模型．


师生共同分析：(1)题中的等量关系是：甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝工作总量．


(2)设工作总量为1，剩下的工作两人合做需x天完成，则eq \f(1,15)(x＋1)＋eq \f(1,12)(x＋4)＝1.


提出问题：如何解方程 eq \f(1,15)(x＋1)＋eq \f(1,12)(x＋4)＝1?


(1)鼓励学生尝试解这个方程，指定两名学生到黑板演示．


(2)巡视学生，对不同的解法，只要合理，都给予肯定．


(3)给出两种不同的解法．


解法一：去括号，得eq \f(1,15)x＋eq \f(1,15)＋eq \f(1,12)x＋eq \f(4,12)＝1.


移项，得：eq \f(1,15)x＋eq \f(1,12)x＝1－eq \f(1,15)－eq \f(4,12).


化简，得：eq \f(3,20)x＝eq \f(3,5).


两边同除以eq \f(3,20)，得x＝4.


教师：该方程与前面解过的方程有什么不同？


学生：以前学过的方程的系数都为整数，而这一题出现了分数．


教师：能否把分数系数化为整数？


学生：我们可以根据等式性质2，在方程两边同时乘上一个既是15又是12的倍数60，就可以去掉分母，把分数化为整数．这样使解方程避免计算“分数”的复杂性，使解方程过程简单．


解法二：去分母，得4(x＋1)＋5(x＋4)＝60.


去括号，得4x＋4＋5x＋20＝60.


移项，得标准形式：9x＝36.


方程两边同除以9，得x＝4.


教师：去分母，方程两边同乘以一个什么数合适呢？


学生分组讨论，合作交流得出结论：方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母．于是，解方程的基本程序又多了一步“去分母”．


(4)引导学生比较两种解法，得出解法二更简便．


2．探索解一元一次方程的具体步骤


学生自主学习课本P89例4，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过程的认识．


问题：你能总结一下解一元一次方程都有哪些步骤吗？


(学生回顾总结，小组可以讨论交流．)


归纳：(1)去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数．注意不可漏乘某一项，特别是不含分母的项，分子是代数式要加括号．


(2)去括号——应用分配律、去括号法则，注意不漏乘括号内各项，括号前“－”号，括号内各项要变号．


(3)移项——一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，注意移项要变号．


(4)化简——一类代数式的加减，要注意只是系数相加减，字母及其指数不变．


(5)标准形式的化简——同除以未知数前面的系数，即ax＝b⇒x＝eq \f(b,a).


四、应用迁移，运用新知


利用去分母解一元一次方程


例1 解方程：(1)x－eq \f(x－2,5)＝eq \f(2x－5,3)－3；


(2)eq \f(x－3,2)－eq \f(x＋1,3)＝eq \f(1,6).


解析：(1)首先方程两边同时乘以分母的最小公倍数15去分母，方程变为15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程；(2)先方程两边同时乘以分母的最小公倍数6去分母，方程变为3(x－3)－2(x＋1)＝6，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程．


解：(1)去分母得15x－3(x－2)＝5(2x－5)－45，


去括号得15x－3x＋6＝10x－25－45，


移项得15x－3x－10x＝－25－45－6，


合并同类项得2x＝－76，


把x的系数化为1得x＝－38；


(2)去分母得3(x－3)－2(x＋1)＝1，


去括号得3x－9－2x－2＝1，


移项得3x－2x＝1＋9＋2，


合并同类项得x＝12.


方法总结：解方程应注意以下两点：①去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个整体加上括号．②去括号，移项时要注意符号的变化．


例2 (1)当k取何值时，代数式eq \f(k＋1,3)的值比eq \f(3k＋1,2)的值小1?


(2)当k取何值时，代数式eq \f(k＋1,3)与eq \f(3k＋1,2)的值互为相反数？


解析：根据题意列出方程，然后解方程即可．


解：(1)根据题意可得eq \f(3k＋1,2)－eq \f(k＋1,3)＝1，


去分母得3(3k＋1)－2(k＋1)＝6，


去括号得9k＋3－2k－2＝6，


移项得9k－2k＝6＋2－3，


合并得7k＝5，


系数化为1得k＝eq \f(5,7)；


(2)根据题意可得eq \f(k＋1,3)＋eq \f(3k＋1,2)＝0，


去分母得2(k＋1)＋3(3k＋1)＝0，


去括号得2k＋2＋9k＋3＝0，


移项得2k＋9k＝－3－2，


合并得11k＝－5，


系数化为1得k＝－eq \f(5,11).


方法总结：先按要求列出方程，然后按照去分母解一元一次方程的步骤解题．


五、尝试练习，掌握新知


课本P90练习第1～3题．


《·》“随堂演练”部分．


六、课堂小结，梳理新知


通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？


本节课学习了解含有分母的一元一次方程的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项，合并同类项；(4)系数化为1.注意去分母时，不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时，去掉分母要加括号．


七、深化练习，巩固新知


课本P91习题3.1第5、7题．


《·》“课时作业”部分．