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2019-2020学年四川省成都市郫都区八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年四川省成都市郫都区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．450°
3．（3分）如果a＜b，那么下列不等式中错误的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．a﹣1＜b﹣1 C．2a＜2b D．﹣3a＜﹣3b
4．（3分）观察图中的函数图象，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
6．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．4a+4b+3＝4（a+b）+3 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（ ）
A．31° B．62° C．87° D．93°
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．2＜OA＜10 B．1＜OA＜5 C．4＜OA＜6 D．2＜OA＜8
9．（3分）若关于x的方程＝+2有增根，则m的值是（ ）
A．7 B．3 C．4 D．0
10．（3分）如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若＝，则分式的值为 ．
12．（4分）因式分解：ax2﹣10ax+25a＝ ．
13．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，如果∠AOB＝15°，那么∠AOD的度数为 ．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＞AD，以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的一半长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若AD＝2，则DH＝ ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：＝．
16．（6分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，边BC＝12cm，把△ABC向下平移至△DEF后，AD＝5cm，GC＝4cm，请求出图中阴影部分的面积．
17．（8分）先化简再求值：÷（﹣1），其中x＝．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）若∠OBC＝30°，求∠AOB的大小．
19．（10分）某口罩加工厂有A、B两组工人共150人，A组工人每人每小时可加工口罩70只，B组工人每人每小时可加工口罩50只，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9300只．
（1）求A、B两组工人各多少人；
（2）由于疫情加重，A、B两组工人均提高了工作效率，一名A组工人和一名B组工人每小时共同可生产口罩200只，若A、B两组工人每小时至少加工15000只口罩，那么A组工人每人每小时至少加工多少只口罩？
20．（10分）如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）若关于x的不等式2x﹣a≥3的解集如图所示，则常数a＝ ．
22．（4分）若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则三角形的面积为 ．
23．（4分）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为 ．
24．（4分）若关于x的分式方程＝的根为负数，则k的取值范围为 ．
25．（4分）AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）某商店五月份销售A型电脑的总利润为4320元，销售B型电脑的总利润为3060元，且销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍，已知销售一台B型电脑比销售一台A型电脑多获利50元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
28．（12分）分层探究
（1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转 度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌ （ ），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空．
（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？
（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．
2019-2020学年四川省成都市郫都区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．（3分）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．450°
【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．
【解答】解：过点D作DF∥AE，交AB于点F，
∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，
故选：C．
3．（3分）如果a＜b，那么下列不等式中错误的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．a﹣1＜b﹣1 C．2a＜2b D．﹣3a＜﹣3b
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、由a＜b移项得到：a﹣b＜0，故本选项不符合题意．
B、由a＜b的两边同时减去1得到：a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意．
C、由a＜b的两边同时乘以2得到：2a＜2b，故本选项不符合题意．
D、由a＜b的两边同时乘以﹣3得到：﹣3a＞﹣3b，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）观察图中的函数图象，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是（1，2）和当x＜1时，ax＜bx+c，推出x＜1时，ax＜bx+c，即可得到答案．
【解答】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2），
当x＞1时，ax＞bx+c，
∴关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为x＞1．
故选：D．
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，解得x＝1．
故选：B．
6．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．4a+4b+3＝4（a+b）+3 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
【分析】判断一个式子是否是因式分解的条件是①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
【解答】解：A.4a+4b+3＝4（a+b）+3，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意；
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，为乘法运算，故本选项不合题意；
C.10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1），属于因式分解，故本选项符合题意；
D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（ ）
A．31° B．62° C．87° D．93°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠C＝31°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝31°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝31°，
∴∠A＝180°﹣31°×3＝87°，
故选：C．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．2＜OA＜10 B．1＜OA＜5 C．4＜OA＜6 D．2＜OA＜8
【分析】由AB＝4，BC＝6，利用三角形的三边关系，即可求得2＜AC＜10，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得OA的取值范围．
【解答】解：∵AB＝4，BC＝6，
∴2＜AC＜10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，
∴1＜OA＜5，
故选：B．
9．（3分）若关于x的方程＝+2有增根，则m的值是（ ）
A．7 B．3 C．4 D．0
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：分式方程去分母得：x+4＝m+2x﹣6，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：m＝7，
故选：A．
10．（3分）如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得∠B＝∠A，进而可得其为等腰三角形．
【解答】解：如图，
DC平分∠ACE，且AB∥CD，
∴∠ACD＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE
∴∠B＝∠A，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若＝，则分式的值为 ．
【分析】可根据＝设a＝7k，b＝8k（k≠0），然后代入分式计算即可．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝7k，b＝8k（k≠0），则有：
＝＝．
故答案为：．
12．（4分）因式分解：ax2﹣10ax+25a＝ a（x﹣5）2 ．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：ax2﹣10ax+25a
＝a（x2﹣10x+25）﹣﹣（提取公因式）
＝a（x﹣5）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为：a（x﹣5）2．
13．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，如果∠AOB＝15°，那么∠AOD的度数为 65° ．
【分析】首先根据旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB＝15°，即可解决问题．
【解答】解：由题意及旋转变换的性质得：
∠AOC＝∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝50°+15°＝65°，
故答案为：65°．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＞AD，以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的一半长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若AD＝2，则DH＝ 2 ．
【分析】依据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到∠DAH＝∠DHA，进而得到DA＝DH．
【解答】解：由作图可得，AH平分∠BAD，
∴∠BAH＝∠DAH，
∵平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠BAH＝∠DHA，
∴∠DAH＝∠DHA，
∴DA＝DH，
又∵AD＝2，
∴DH＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：＝．
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
则不等式组的解集为1≤x≤5；
（2）去分母得：3（x+5）+4（x﹣5）＝2，
去括号得：3x+15+4x﹣20＝2，
移项得：3x+4x＝2﹣15+20，
合并得：7x＝7，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
16．（6分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，边BC＝12cm，把△ABC向下平移至△DEF后，AD＝5cm，GC＝4cm，请求出图中阴影部分的面积．
【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得AB＝DE，△ABC≌△DEF，然后求出BG，再求出梯形BGEF的面积即为阴影部分的面积．
【解答】解：∵把△ABC向下平移至△DEF，
∴BC＝EF＝12cm，△ABC≌△DEF，
∴阴影部分面积＝梯形BGEF的面积，
∵GC＝4cm，
∴BG＝12﹣4＝8cm，
∴阴影部分面积＝×（8+12）×5＝50cm2．
17．（8分）先化简再求值：÷（﹣1），其中x＝．
【分析】先对分子分母进行因式分解，然后化简求值即可．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝，
当x＝时，原式＝＝．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）若∠OBC＝30°，求∠AOB的大小．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DBC＝30°，即可求解．
【解答】证明：（1）∵BA⊥CA，CD⊥BD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
（2）∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC＝30°，
∴∠AOB＝∠DBC+∠ACB＝60°．
19．（10分）某口罩加工厂有A、B两组工人共150人，A组工人每人每小时可加工口罩70只，B组工人每人每小时可加工口罩50只，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9300只．
（1）求A、B两组工人各多少人；
（2）由于疫情加重，A、B两组工人均提高了工作效率，一名A组工人和一名B组工人每小时共同可生产口罩200只，若A、B两组工人每小时至少加工15000只口罩，那么A组工人每人每小时至少加工多少只口罩？
【分析】（1）设A组工人有x人、B组工人有（150﹣x）人，根据题意列方程健康得到结论；
（2）设A组工人每人每小时加工a只口罩，则B组工人每人每小时加工（200﹣a）只口罩；根据题意列不等式健康得到结论．
【解答】解：（1）设A组工人有x人、B组工人有（150﹣x）人，
根据题意得，70x+50（150﹣x）＝9300，
解得：x＝90，150﹣x＝60，
答：A组工人有90人、B组工人有60人；
（2）设A组工人每人每小时加工a只口罩，则B组工人每人每小时加工（200﹣a）只口罩；
根据题意得，90a+60（200﹣a）≥15000，
解得：a≥100，
答：A组工人每人每小时至少加工100只口罩．
20．（10分）如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．
【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【解答】明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝BC，
∴△BCE是直角三角形，
∴∠FEG＝90°，
∴EF⊥EG．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）若关于x的不等式2x﹣a≥3的解集如图所示，则常数a＝ ﹣5 ．
【分析】先根据数轴上不等式解集的表示方法求出此不等式的解集，再求出所给不等式的解集与已知解集相比较即可求出a的值．
【解答】解：由数轴上关于x的不等式的解集可知x≥﹣1，
解不等式2x﹣a≥3得x≥，
故＝﹣1，
解得a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
22．（4分）若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则三角形的面积为 6 ．
【分析】利用配方法得到（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，根据非负数的性质解得a＝3，b＝4，c＝5，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，c为斜边，然后计算△ABC的面积．
【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16c2﹣10c+25＝0，
即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
即a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝52，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，c为斜边，
∴△ABC的面积＝ab＝×3×4＝6．
故答案为6．
23．（4分）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为 200m ．
【分析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M．
由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，
∵∠A＝∠B＝60°，
△ABC是等边三角形，
∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH，
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m．
故答案为：200m．
24．（4分）若关于x的分式方程＝的根为负数，则k的取值范围为 k＞2且k≠3 ．
【分析】解分式方程得出x＝6﹣3k，根据解为负数且分式方程有意义得出6﹣3k＜0且6﹣3k≠﹣3，6﹣3k≠﹣k，解之可得答案．
【解答】解：解分式方程得x＝6﹣3k，
∵方程的解为负数，
∴6﹣3k＜0且6﹣3k≠﹣3，6﹣3k≠﹣k，
解得k＞2且k≠3，
故答案为：k＞2且k≠3．
25．（4分）AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为 4 ．
【分析】如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，首先证明a2+b2＝16，再证明a＝b时，a+b的值最大即可．
【解答】解：如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，
∵∠DCB＝30°，
∴∠3＝60°，
∵BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠2＝60°，
∴∠ABD+∠1＝∠2+∠1，
即∠DBE＝∠ABC，
∵在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝ED，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2，
∴a2+b2＝16，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+2ab，
∵以a，b，4为边的三角形是直角三角形，a，b是直角边，
∴S△＝ab，
易知当a＝b时，三角形的面积最大，此时a＝b＝2，
ab＝8，
∴（a+b）2的最大值为32，
∴a+b的最大值为4．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）某商店五月份销售A型电脑的总利润为4320元，销售B型电脑的总利润为3060元，且销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍，已知销售一台B型电脑比销售一台A型电脑多获利50元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为（x+50）元，然后根据销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍列出方程，然后求解即可；
（2）设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为y元．根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出a的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为（x+50）元，
根据题意得＝×2，
解得x＝120．
经检验，x＝120是原方程的解，
则x+50＝170．
答：每台A型电脑的利润为120元，每台B型电脑的利润为170元；
（2）设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为y元，
据题意得，y＝120a+170（100﹣a），
即y＝﹣50a+17000，
100﹣a≤2a，
解得a≥33，
∵y＝﹣50a+17000，
∴y随a的增大而减小，
∵a为正整数，
∴当a＝34时，y取最大值，此时y＝﹣50×34+17000＝15300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）由四边形OABC是平行四边形，得到OA＝BC，OA∥BC，于是得到OA＝10，OE＝AF＝2，可求出点B的坐标；
（2）根据四边形PCDA是平行四边形，得到PC＝AD，即10﹣2t＝5，解方程即可得到结论；
（3）如图2，可分三种情况：①当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于E，则PE＝4，得到DE＝3，求出P1（8，4），点P与点C重合时，PD＝OD＝5，②当PD＝OP时，过P作PF⊥OA于F，则PF＝4，OF＝，得到P3（，4）；③当PO＝OD＝5时，过P作PG⊥OA于G，则PG＝4，得到P2（3，4）．
【解答】解：如图1，过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC，OA∥BC，
∵A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），
∴OA＝10，OE＝AF＝2，
∴BC＝10，
∴B（12，4）；
（2）设点P运动t秒时，四边形PCDA是平行四边形，
由题意得：PC＝10﹣2t，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝BC＝AD＝OA＝5，
∵四边形PCDA是平行四边形，
∴PC＝AD，即10﹣2t＝5，
∴t＝，
∴当t＝秒时，四边形PCDA是平行四边形；
（3）如图2，①当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于E，
则PE＝4，
∴DE＝3，
∴P1（8，4），
当点P与点C重合时，PD＝OD＝5；
②当PD＝OP时，过P作PF⊥OA于F，
则PF＝4，OF＝，
∴P3（，4）；
③当PO＝OD＝5时，过P作PG⊥OA于G，
则PG＝4，
∴OG＝3，
∴P2（3，4），
综上所述：当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（8，4），（，4），（3，4），（2，4）．
28．（12分）分层探究
（1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转 90 度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌ △AFE （ SAS ），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空．
（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？
（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF；
（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，与（1）的证法类同；
（3）把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△AEE′，连接EE′，根据旋转的性质，可知△AFD≌△ABE′得到BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，在Rt△ABD中的，AB＝AD，可求得∠E′BD＝90°，所以E′B2+BE2＝E′E2，证△AE′E≌△AE′F，利用FE＝EE′得到EF2＝BE2+FD2．
【解答】解：（1）∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，
∴点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝FG，
即EF＝BE+DF，
故答案为：90，△AFE，SAS；
（2）当∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，如图2
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，
∴点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即EF＝BE+DF，
故答案为：∠B+∠D＝180°；
（3）猜想：EF2＝BE2+FD2，
证明：把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△AEE′，连接EE′，如图3，
∴△AFD≌△ABE′，
∴BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ABD+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BE2＝E′E2，
又∵∠FAE＝45°，
∴∠BAE+∠EAD＝45°，
∴∠E′AB+∠BAE＝45°，即∠E′AE＝45°，
在△AEE′和△AEF中，
，
∴△AEE′≌△AEF（SAS），
∴EE′＝FE，
∴EF2＝BE2+DF2．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．450°
3．（3分）如果a＜b，那么下列不等式中错误的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．a﹣1＜b﹣1 C．2a＜2b D．﹣3a＜﹣3b
4．（3分）观察图中的函数图象，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
6．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．4a+4b+3＝4（a+b）+3 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（ ）
A．31° B．62° C．87° D．93°
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．2＜OA＜10 B．1＜OA＜5 C．4＜OA＜6 D．2＜OA＜8
9．（3分）若关于x的方程＝+2有增根，则m的值是（ ）
A．7 B．3 C．4 D．0
10．（3分）如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若＝，则分式的值为 ．
12．（4分）因式分解：ax2﹣10ax+25a＝ ．
13．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，如果∠AOB＝15°，那么∠AOD的度数为 ．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＞AD，以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的一半长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若AD＝2，则DH＝ ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：＝．
16．（6分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，边BC＝12cm，把△ABC向下平移至△DEF后，AD＝5cm，GC＝4cm，请求出图中阴影部分的面积．
17．（8分）先化简再求值：÷（﹣1），其中x＝．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）若∠OBC＝30°，求∠AOB的大小．
19．（10分）某口罩加工厂有A、B两组工人共150人，A组工人每人每小时可加工口罩70只，B组工人每人每小时可加工口罩50只，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9300只．
（1）求A、B两组工人各多少人；
（2）由于疫情加重，A、B两组工人均提高了工作效率，一名A组工人和一名B组工人每小时共同可生产口罩200只，若A、B两组工人每小时至少加工15000只口罩，那么A组工人每人每小时至少加工多少只口罩？
20．（10分）如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）若关于x的不等式2x﹣a≥3的解集如图所示，则常数a＝ ．
22．（4分）若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则三角形的面积为 ．
23．（4分）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为 ．
24．（4分）若关于x的分式方程＝的根为负数，则k的取值范围为 ．
25．（4分）AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）某商店五月份销售A型电脑的总利润为4320元，销售B型电脑的总利润为3060元，且销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍，已知销售一台B型电脑比销售一台A型电脑多获利50元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
28．（12分）分层探究
（1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转 度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌ （ ），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空．
（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？
（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．
2019-2020学年四川省成都市郫都区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．（3分）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．450°
【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．
【解答】解：过点D作DF∥AE，交AB于点F，
∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，
故选：C．
3．（3分）如果a＜b，那么下列不等式中错误的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．a﹣1＜b﹣1 C．2a＜2b D．﹣3a＜﹣3b
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、由a＜b移项得到：a﹣b＜0，故本选项不符合题意．
B、由a＜b的两边同时减去1得到：a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意．
C、由a＜b的两边同时乘以2得到：2a＜2b，故本选项不符合题意．
D、由a＜b的两边同时乘以﹣3得到：﹣3a＞﹣3b，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）观察图中的函数图象，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是（1，2）和当x＜1时，ax＜bx+c，推出x＜1时，ax＜bx+c，即可得到答案．
【解答】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2），
当x＞1时，ax＞bx+c，
∴关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为x＞1．
故选：D．
5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，解得x＝1．
故选：B．
6．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．4a+4b+3＝4（a+b）+3 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
【分析】判断一个式子是否是因式分解的条件是①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
【解答】解：A.4a+4b+3＝4（a+b）+3，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意；
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，为乘法运算，故本选项不合题意；
C.10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1），属于因式分解，故本选项符合题意；
D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（ ）
A．31° B．62° C．87° D．93°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠C＝31°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝31°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝31°，
∴∠A＝180°﹣31°×3＝87°，
故选：C．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．2＜OA＜10 B．1＜OA＜5 C．4＜OA＜6 D．2＜OA＜8
【分析】由AB＝4，BC＝6，利用三角形的三边关系，即可求得2＜AC＜10，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得OA的取值范围．
【解答】解：∵AB＝4，BC＝6，
∴2＜AC＜10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，
∴1＜OA＜5，
故选：B．
9．（3分）若关于x的方程＝+2有增根，则m的值是（ ）
A．7 B．3 C．4 D．0
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：分式方程去分母得：x+4＝m+2x﹣6，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：m＝7，
故选：A．
10．（3分）如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得∠B＝∠A，进而可得其为等腰三角形．
【解答】解：如图，
DC平分∠ACE，且AB∥CD，
∴∠ACD＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE
∴∠B＝∠A，
∴△ABC为等腰三角形．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若＝，则分式的值为 ．
【分析】可根据＝设a＝7k，b＝8k（k≠0），然后代入分式计算即可．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝7k，b＝8k（k≠0），则有：
＝＝．
故答案为：．
12．（4分）因式分解：ax2﹣10ax+25a＝ a（x﹣5）2 ．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：ax2﹣10ax+25a
＝a（x2﹣10x+25）﹣﹣（提取公因式）
＝a（x﹣5）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为：a（x﹣5）2．
13．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，如果∠AOB＝15°，那么∠AOD的度数为 65° ．
【分析】首先根据旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB＝15°，即可解决问题．
【解答】解：由题意及旋转变换的性质得：
∠AOC＝∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝50°+15°＝65°，
故答案为：65°．
14．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＞AD，以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的一半长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若AD＝2，则DH＝ 2 ．
【分析】依据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到∠DAH＝∠DHA，进而得到DA＝DH．
【解答】解：由作图可得，AH平分∠BAD，
∴∠BAH＝∠DAH，
∵平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠BAH＝∠DHA，
∴∠DAH＝∠DHA，
∴DA＝DH，
又∵AD＝2，
∴DH＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：＝．
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
则不等式组的解集为1≤x≤5；
（2）去分母得：3（x+5）+4（x﹣5）＝2，
去括号得：3x+15+4x﹣20＝2，
移项得：3x+4x＝2﹣15+20，
合并得：7x＝7，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
16．（6分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，边BC＝12cm，把△ABC向下平移至△DEF后，AD＝5cm，GC＝4cm，请求出图中阴影部分的面积．
【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得AB＝DE，△ABC≌△DEF，然后求出BG，再求出梯形BGEF的面积即为阴影部分的面积．
【解答】解：∵把△ABC向下平移至△DEF，
∴BC＝EF＝12cm，△ABC≌△DEF，
∴阴影部分面积＝梯形BGEF的面积，
∵GC＝4cm，
∴BG＝12﹣4＝8cm，
∴阴影部分面积＝×（8+12）×5＝50cm2．
17．（8分）先化简再求值：÷（﹣1），其中x＝．
【分析】先对分子分母进行因式分解，然后化简求值即可．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝，
当x＝时，原式＝＝．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）若∠OBC＝30°，求∠AOB的大小．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DBC＝30°，即可求解．
【解答】证明：（1）∵BA⊥CA，CD⊥BD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
（2）∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC＝30°，
∴∠AOB＝∠DBC+∠ACB＝60°．
19．（10分）某口罩加工厂有A、B两组工人共150人，A组工人每人每小时可加工口罩70只，B组工人每人每小时可加工口罩50只，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9300只．
（1）求A、B两组工人各多少人；
（2）由于疫情加重，A、B两组工人均提高了工作效率，一名A组工人和一名B组工人每小时共同可生产口罩200只，若A、B两组工人每小时至少加工15000只口罩，那么A组工人每人每小时至少加工多少只口罩？
【分析】（1）设A组工人有x人、B组工人有（150﹣x）人，根据题意列方程健康得到结论；
（2）设A组工人每人每小时加工a只口罩，则B组工人每人每小时加工（200﹣a）只口罩；根据题意列不等式健康得到结论．
【解答】解：（1）设A组工人有x人、B组工人有（150﹣x）人，
根据题意得，70x+50（150﹣x）＝9300，
解得：x＝90，150﹣x＝60，
答：A组工人有90人、B组工人有60人；
（2）设A组工人每人每小时加工a只口罩，则B组工人每人每小时加工（200﹣a）只口罩；
根据题意得，90a+60（200﹣a）≥15000，
解得：a≥100，
答：A组工人每人每小时至少加工100只口罩．
20．（10分）如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．
【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【解答】明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝BC，
∴△BCE是直角三角形，
∴∠FEG＝90°，
∴EF⊥EG．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）若关于x的不等式2x﹣a≥3的解集如图所示，则常数a＝ ﹣5 ．
【分析】先根据数轴上不等式解集的表示方法求出此不等式的解集，再求出所给不等式的解集与已知解集相比较即可求出a的值．
【解答】解：由数轴上关于x的不等式的解集可知x≥﹣1，
解不等式2x﹣a≥3得x≥，
故＝﹣1，
解得a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
22．（4分）若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则三角形的面积为 6 ．
【分析】利用配方法得到（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，根据非负数的性质解得a＝3，b＝4，c＝5，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，c为斜边，然后计算△ABC的面积．
【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16c2﹣10c+25＝0，
即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
即a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝52，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，c为斜边，
∴△ABC的面积＝ab＝×3×4＝6．
故答案为6．
23．（4分）如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为 200m ．
【分析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M．
由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，
∵∠A＝∠B＝60°，
△ABC是等边三角形，
∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH，
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m．
故答案为：200m．
24．（4分）若关于x的分式方程＝的根为负数，则k的取值范围为 k＞2且k≠3 ．
【分析】解分式方程得出x＝6﹣3k，根据解为负数且分式方程有意义得出6﹣3k＜0且6﹣3k≠﹣3，6﹣3k≠﹣k，解之可得答案．
【解答】解：解分式方程得x＝6﹣3k，
∵方程的解为负数，
∴6﹣3k＜0且6﹣3k≠﹣3，6﹣3k≠﹣k，
解得k＞2且k≠3，
故答案为：k＞2且k≠3．
25．（4分）AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为 4 ．
【分析】如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，首先证明a2+b2＝16，再证明a＝b时，a+b的值最大即可．
【解答】解：如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，
∵∠DCB＝30°，
∴∠3＝60°，
∵BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠2＝60°，
∴∠ABD+∠1＝∠2+∠1，
即∠DBE＝∠ABC，
∵在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝ED，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2，
∴a2+b2＝16，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+2ab，
∵以a，b，4为边的三角形是直角三角形，a，b是直角边，
∴S△＝ab，
易知当a＝b时，三角形的面积最大，此时a＝b＝2，
ab＝8，
∴（a+b）2的最大值为32，
∴a+b的最大值为4．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）某商店五月份销售A型电脑的总利润为4320元，销售B型电脑的总利润为3060元，且销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍，已知销售一台B型电脑比销售一台A型电脑多获利50元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为（x+50）元，然后根据销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍列出方程，然后求解即可；
（2）设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为y元．根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出a的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为（x+50）元，
根据题意得＝×2，
解得x＝120．
经检验，x＝120是原方程的解，
则x+50＝170．
答：每台A型电脑的利润为120元，每台B型电脑的利润为170元；
（2）设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为y元，
据题意得，y＝120a+170（100﹣a），
即y＝﹣50a+17000，
100﹣a≤2a，
解得a≥33，
∵y＝﹣50a+17000，
∴y随a的增大而减小，
∵a为正整数，
∴当a＝34时，y取最大值，此时y＝﹣50×34+17000＝15300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）由四边形OABC是平行四边形，得到OA＝BC，OA∥BC，于是得到OA＝10，OE＝AF＝2，可求出点B的坐标；
（2）根据四边形PCDA是平行四边形，得到PC＝AD，即10﹣2t＝5，解方程即可得到结论；
（3）如图2，可分三种情况：①当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于E，则PE＝4，得到DE＝3，求出P1（8，4），点P与点C重合时，PD＝OD＝5，②当PD＝OP时，过P作PF⊥OA于F，则PF＝4，OF＝，得到P3（，4）；③当PO＝OD＝5时，过P作PG⊥OA于G，则PG＝4，得到P2（3，4）．
【解答】解：如图1，过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC，OA∥BC，
∵A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），
∴OA＝10，OE＝AF＝2，
∴BC＝10，
∴B（12，4）；
（2）设点P运动t秒时，四边形PCDA是平行四边形，
由题意得：PC＝10﹣2t，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝BC＝AD＝OA＝5，
∵四边形PCDA是平行四边形，
∴PC＝AD，即10﹣2t＝5，
∴t＝，
∴当t＝秒时，四边形PCDA是平行四边形；
（3）如图2，①当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于E，
则PE＝4，
∴DE＝3，
∴P1（8，4），
当点P与点C重合时，PD＝OD＝5；
②当PD＝OP时，过P作PF⊥OA于F，
则PF＝4，OF＝，
∴P3（，4）；
③当PO＝OD＝5时，过P作PG⊥OA于G，
则PG＝4，
∴OG＝3，
∴P2（3，4），
综上所述：当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（8，4），（，4），（3，4），（2，4）．
28．（12分）分层探究
（1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转 90 度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌ △AFE （ SAS ），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空．
（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？
（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF；
（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，与（1）的证法类同；
（3）把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△AEE′，连接EE′，根据旋转的性质，可知△AFD≌△ABE′得到BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，在Rt△ABD中的，AB＝AD，可求得∠E′BD＝90°，所以E′B2+BE2＝E′E2，证△AE′E≌△AE′F，利用FE＝EE′得到EF2＝BE2+FD2．
【解答】解：（1）∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，
∴点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝FG，
即EF＝BE+DF，
故答案为：90，△AFE，SAS；
（2）当∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，如图2
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，
∴点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即EF＝BE+DF，
故答案为：∠B+∠D＝180°；
（3）猜想：EF2＝BE2+FD2，
证明：把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△AEE′，连接EE′，如图3，
∴△AFD≌△ABE′，
∴BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ABD+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BE2＝E′E2，
又∵∠FAE＝45°，
∴∠BAE+∠EAD＝45°，
∴∠E′AB+∠BAE＝45°，即∠E′AE＝45°，
在△AEE′和△AEF中，
，
∴△AEE′≌△AEF（SAS），
∴EE′＝FE，
∴EF2＝BE2+DF2．
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