数学必修第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀课时练习

展开

这是一份数学必修第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀课时练习，共7页。

《单调性与最值》

、选择题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列关系式中正确的是( )

A.sin 11°

B.sin 168°

C.sin 11°

D.sin 168°

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=1－2cs eq \f(π,2)x的最小值，最大值分别是( )

A.－1，3 B.－1，1 C.0，3 D.0，1

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的一个单调递减区间是( )

A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B.[－π，0] C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)π，\f(2,3)π)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2,3)π))

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )

A.(eq \f(π,2)，π) B.(π，2π) C.(π，eq \f(3π,2)) D.(0，π)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=3cs2x－4cs x＋1，x∈[eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)]的最小值是( )

A.－eq \f(1,3) B.eq \f(15,4) C.0 D.－eq \f(1,4)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=|sin x|＋sin x的值域为( )

A.[－1,1] B.[－2,2] C.[－2,0] D.[0,2]

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=－2sin2x＋2cs x的最小值和最大值分别是( )

A.－2，2 B.－2，eq \f(5,2) C.－eq \f(1,2)，2 D.－eq \f(5,2)，2

LISTNUM OutlineDefault \l 3 对于函数y=eq \f(sin x＋1,sin x)(0

A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.有最大值且有最小值

D.既无最大值也无最小值

、填空题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 若y=asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab=________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=2sin(x＋eq \f(π,3))，x∈[0，eq \f(π,3)]，则f(x)的值域是________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=2sin(2x＋eq \f(π,3))(－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,6))的值域是________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))(x∈[0，π])的单调递增区间为________.

、解答题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 求下列函数的单调递增区间：

(1)y=1＋2sin(eq \f(π,6)－x)；

(2)y=lg0.5cs x.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)=asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋b(a＞0).当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为eq \r(3)，最小值是－2，求a和b的值.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 求函数f(x)=－2cs2x＋2sin x＋3，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的最大值和最小值.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知：f(x)=2sin(2x＋eq \f(π,6))＋a＋1(a∈R，a为常数).

(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在[－eq \f(π,6)，eq \f(π,6)]上最大值与最小值之和为3，求a的值.

答案解析

LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：C；

解析：∵sin 168°=sin(180°－12°)=sin 12°，

cs 10°=sin(90°－10°)=sin 80°.

∴由正弦函数的单调性，得sin 11°

即sin 11°

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；

解析：∵cs eq \f(π,2)x∈[－1，1]，∴－2cs eq \f(π,2)x∈[－2，2]，

∴y=1－2cs eq \f(π,2)x∈[－1，3]，∴ymin=－1，ymax=3.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；

解析：由eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3,2)π，解得eq \f(π,3)≤x≤eq \f(4,3)π.故选D.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

解析：作出函数y=|sin x|的图象，如图，观察图象知C正确，故选C.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；

解析：令t=cs x，x∈[eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)]，

∴t∈[－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)]，y=3t2－4t＋1=3(t－eq \f(2,3))2－eq \f(1,3).

∵y=3(t－eq \f(2,3))2－eq \f(1,3)在t∈[－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)]上单调递减，

∴当t=eq \f(1,2)时，ymin=3×(eq \f(1,2))2－4×eq \f(1,2)＋1=－eq \f(1,4).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D;

解析：∵y=|sin x|＋sin x=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2sin x，sin x≥0，,0， sin x＜0.))

又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0,2]，即函数的值域为[0,2].

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.

解析：f(x)=－2sin2x＋2cs x=2cs2x＋2cs x－2=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(5,2).

∵－1≤cs x≤1，∴当cs x=－eq \f(1,2)时，f(x)min=－eq \f(5,2)，

当cs x=1时，f(x)max=2.故选D.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B.

解析：∵y=eq \f(sin x＋1,sin x)=1＋eq \f(1,sin x)，

又x∈(0，π)，∴sin x∈(0，1].∴y∈[2，＋∞)，故选B.

、填空题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：±2；

解析：当a>0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝3，,－a＋b＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))

当a<0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝1，,－a＋b＝3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝2.))

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：[eq \r(3)，2]；

解析：x∈[0，eq \f(π,3)]，x＋eq \f(π,3)∈[eq \f(π,3)，eq \f(2,3)π].

sin(x＋eq \f(π,3))∈[eq \f(\r(3),2)，1]，则2sin(x＋eq \f(π,3))∈[eq \r(3)，2].

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：[0，2]；

解析：∵－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,6)，∴0≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，

∴0≤sin(2x＋eq \f(π,3))≤1，∴y∈[0，2].

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))；

解析：y=－eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，∵x∈[0，π]，∴－eq \f(π,6)≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6).

要求函数的单调递增区间，则eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，

即eq \f(2π,3)≤x≤π.∴y=eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,6)－x))(x∈[0，π])的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)).

、解答题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)y=1＋2sin(eq \f(π,6)－x)=1－2sin(x－eq \f(π,6)).

令u=x－eq \f(π,6)，则根据复合函数的单调性知，

所给函数的单调递增区间就是y=sin u的单调递减区间，

即eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，

亦即eq \f(2,3)π＋2kπ≤x≤eq \f(5,3)π＋2kπ(k∈Z)，

故函数y=1＋2sin(eq \f(π,6)－x)的单调递增区间是

[eq \f(2,3)π＋2kπ，eq \f(5,3)π＋2kπ](k∈Z).

(2)由cs x>0，得－eq \f(π,2)＋2kπ

∵eq \f(1,2)<1，∴函数y=lgeq \s\d9(\f(1,2))cs x的单调递增区间即为

u=cs x，x∈(－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ)(k∈Z)的递减区间，

∴2kπ≤x

故函数y=lgeq \s\d9(\f(1,2))cs x的单调递增区间为[2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ)(k∈Z).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3)，

∴－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，∴f(x)max=a＋b=eq \r(3)，

f(x)min=－eq \f(\r(3),2)a＋b=－2.

由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\r(3)，,－\f(\r(3),2)a＋b＝－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2＋\r(3).))

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:f(x)=－2(1－sin2x)＋2sin x＋3=2sin2x＋2sin x＋1=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,2).

因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以eq \f(1,2)≤sin x≤1.

当sin x=1时，ymax=5；当sin x=eq \f(1,2)时，ymin=eq \f(5,2).

所以，f(x)在[eq \f(π,6)，eq \f(5π,6)]上的最大值和最小值分别为5，eq \f(5,2).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵2sin[2(x＋π)＋eq \f(π,6)]

=2sin[(2x＋eq \f(π,6))＋2π]

=2sin(2x＋eq \f(π,6))，

∴函数f(x)=2sin(2x＋eq \f(π,6))＋a＋1的最小正周期为π.

(2)x∈[－eq \f(π,6)，eq \f(π,6)]⇒2x∈[－eq \f(π,3)，eq \f(π,3)]⇒2x＋eq \f(π,6)∈[－eq \f(π,6)，eq \f(π,2)].

∴－eq \f(1,2)≤sin(2x＋eq \f(π,6))≤1.

即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）max＝2＋a＋1＝3＋a,f（x）min＝－1＋a＋1＝a))，

∴2a＋3=3⇒a=0.

相关试卷更多