2020新课标高考数学二轮讲义：第三部分回顾4数列与不等式


回顾4　数列与不等式
[必记知识]
1．等差数列
设Sn为等差数列{an}的前n项和，则
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.
(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．
(4)＝n＋是关于n的一次函数或常数函数，数列也是等差数列．
(5)Sn＝＝＝＝….
(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m(m∈N*)，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1为中间两项)，S偶－S奇＝md，＝.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1(m∈N*)，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am(am为中间项)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
(8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
2．等比数列
(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)．
(3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比数列(m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…成等比数列(n≥2，且n∈N*)．
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.
(6){an}，{bn}成等比数列，则{λan}，{}，{anbn}，{}成等比数列(λ≠0，n∈N*)．
(7)通项公式an＝a1qn－1＝·qn，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点．
(8)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．
(9)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为，x，xq；四个数成等比数列，通常设这四个数分别为，，xq，xq3.




[提醒]　(1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{A}（A总有意义）必成等比数列.
(2)如果数列{an}成等比数列，且an＞0，那么数列{logaan}（a＞0且a≠1）必成等差数列.
(3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数列；数列{an}是常数列仅是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件.
(4)如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数.
(5)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，从而分析构成什么样的新数列.

3．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．
4．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是
5．分式不等式
＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)；
≥0(≤0)⇔


[提醒]　(1)不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.
(2)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a＜0进行讨论.
(3)应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.

6．利用基本不等式求最值
(1)对于正数x，y，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，则有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
(4)已知a，b，x，y∈R＋，若＋＝1，则有x＋y＝(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.

[提醒]　利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相关项必须是正数.②求积xy的最大值时，要看和x＋y是否为定值，求和x＋y的最小值时，要看积xy是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧.③当且仅当对应项相等时，才能取等号.以上三点应特别注意，缺一不可.

[必会结论]
1．判断数列单调性的方法
(1)作差比较法：an＋1－an＞0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an＜0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
(2)作商比较法：①当an＞0时，则＞1⇔数列{an}是递增数列；0＜＜1⇔数列{an}是递减数列；＝1⇔数列{an}是常数列．②当an＜0时，则＞1⇔数列{an}是递减数列；0＜＜1⇔数列{an}是递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列．
(3)结合相应函数的图象直观判断．
2．数列中项的最值的求法
(1)借用构造法求解：根据数列与函数之间的对应关系，构造函数f(n)＝an(n∈N*)，利用求解函数最值的方法进行求解即可，但要注意自变量的取值必须是正整数．
(2)利用数列的单调性求解：利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而求出数列中项的最值．
(3)转化为关于n的不等式组求解：若求数列{an}的最大项，则可转化为求解若求数列{an}的最小项，则可转化为求解求出n的取值范围之后再确定取得最值的项．
3．求数列通项公式的常用方法
(1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式．
(2)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝
(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝
(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．
(5)已知＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．
(6)构造等比数列法：若已知数列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，设存在非零常数λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝，则数列{an＋}就是以a1＋为首项，p为公比的等比数列，先求出数列{an＋}的通项公式，再求出数列{an}的通项公式即可．
(7)倒数法：若an＝(mkb≠0，n≥2)，对an＝取倒数，得到＝·，即＝·＋.令bn＝，则{bn}可归纳为bn＋1＝pbn＋q(p≠0，q≠0)型．
4．数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.
(2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和．
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解．
(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有
①＝－；
②＝；
③＜＝，
－＝＜＜＝－；
④＝.
5．解不等式恒成立问题的常用方法
(1)若所求问题可以化为一元二次不等式，可以考虑使用判别式法求解，利用二次项系数的正负和判别式进行求解，若二次项系数含参数时，应对参数进行分类讨论．
(2)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于零的问题，一般的转化原理是：在闭区间D上，f(x)≥0恒成立⇔f(x)在区间D上的图象在x轴上方或x轴上；f(x)≤0⇔f(x)在区间D上的图象在x轴下方或x轴上．
(3)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于常数的问题，即“f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立问题，通常利用函数最值进行转化，其一般的转化原理是：f(x)≥a在闭区间D上恒成立⇔f(x)min≥a(x∈D)；f(x)≤a在闭区间D上恒成立⇔f(x)max≤a(x∈D)．
(4)分离参数法：将恒成立的不等式F(x，m)≥0(或≤0)(m为参数)中的参数m单独分离出来，不等号一侧是不含参数的函数，将问题转化为求函数最值的问题，该方法主要适用于参数与变量能分离和函数的最值易于求出的题目，其一般转化原理是：当m为参数时，g(m)＞f(x)⇔g(m)＞f(x)max；g(m)＜f(x)⇔g(m)＜f(x)min.
[必练习题]
1．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．
解析：选B.在等差数列{an}中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，又a3＝a1＋2d＝2＋2d＝6，解得d＝2，选B.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5等于(　　)
A．10 B．12
C．15 D．30
解析：选C.由等差数列的性质可得a2＋a4＝a1＋a5，所以S5＝＝15，故选C.
3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为(　　)
A．3 B．－3
C．－ D．
解析：选D.设数列{an}的公比为q，由a2·a6＝9a4，得a2·a2q4＝9a2q2，解得q2＝9，所以q＝3或q＝－3(舍)，所以a1＝＝.故选D.
4．已知数列{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析：选D.设数列{an}的公比为q.由题意，得
所以或解得或当时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；当时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝(－8)×＝－7.综上，a1＋a10＝－7.故选D.
5．下列三个不等式：①x＋≥2(x≠0)；②<(a>b>c>0)；③>(a，b，m>0且a A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B.当x<0时，①不成立；由a>b>c>0得<，所以<成立，所以②恒成立；－＝，由a，b，m>0且a0恒成立，故③恒成立，所以选B.
6．若数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)
A．0 B．3
C．8 D．11
解析：选B.依题意可设等差数列{bn}的公差为d，则b10＝b3＋7d＝－2＋7d＝12，解得d＝2，所以bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8，又bn＝an＋1－an，则b7＝a8－a7，b6＝a7－a6，…，b1＝a2－a1，采用累加法可得，b7＋b6＋…＋b1＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋…＋(a2－a1)＝a8－a1，又易知b1＋b2＋…＋b7＝0，则a8＝a1＝3，故选B.
7．在各项均不为零的数列{an}中，若a1＝1，a2＝，2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N*)，则a2 018＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C.因为2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N*)，所以＝＋，所以是等差数列，其公差d＝－＝2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，an＝，所以a2 018＝.
8．已知函数f(x)＝则不等式f(x－1)≤0的解集为________．
解析：由题意，得f(x－1)＝当x≥2时，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；当x＜2时，由22－x－2≤0，解得1≤x＜2.综上所述，不等式f(x－1)≤0的解集为{x|1≤x≤3}．
答案：[1，3]
9．已知数列{an}满足a1＝，an＝(n≥2，n∈N*)，则通项公式an＝________．
解析：由an＝⇒＝·＋，令＝bn，则bn＝·bn－1＋⇒bn－1＝·(bn－1－1)，由a1＝，得b1－1＝－，所以{bn－1}是以－为首项，
为公比的等比数列，所以bn－1＝－·，得an＝＝.
答案：
10．已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，anan＋1＝3n，则S2 017＝________．
解析：由anan＋1＝3n，得an－1an＝3n－1(n≥2)，所以＝3(n≥2)，则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又a1＝1，a1a2＝3，所以a2＝3，所以S2 017＝＋＝31 009－2.
答案：31 009－2