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2020浙江高考数学二轮讲义：特色专题 高考新元素
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一 创新型问题
新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．
创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小，求解此类问题，要求学生有临场阅读，提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．
“新定义”问题
新定义问题是指在特定情景下，用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．
[典型例题]
(1)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
(2)设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是( )
A．(－ ∞，0] B.
C. D.
【解析】 (1)法一：不妨设a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．
法二：设a1，a2，a3，…，ak中0的个数为t，则1的个数为k－t，
由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0，则.
当t＝1时，k＝1，2，当t＝2时，k＝2，3，4，
当t＝3时，k＝3，4，5，6，当t＝4时，k＝4，5，6，7，8，
所以“规范01数列”共有2＋3＋4＋5＝14(个)．
法三：前同法二．
问题即是表示的区域内的整点(格点)的个数，
如图整点(格点)为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范01数列”共有14个．
(2)方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1，4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间(1，4]上有解，即求函数a＝在区间(1，4]上的值域，
令t＝4x－5，则t∈(－1，11]，a＝，当t∈(－1，0]时，a≤0；
当t∈(0，11]时，0
【答案】 (1)C (2)C
[对点训练]
1．定义“上升数”是一个数中右边的数字比左边的数字大的自然数(如123，568，2479等)，任取一个两位数，这个两位数为“上升数”的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B.两位数10，11，12，…，99共90个，其中十位数为1的“上升数”为12，13，…，19共8个，十位数为2的“上升数”为23，24，…，29共7个，…十位数为8的“上升数”为89，只有1个，则所有两位数中的“上升数”共8＋7＋6＋…＋1＝＝36个，则两位数为“上升数”的概率P＝＝，选B.
2．(经典考题)定义“函数y＝f(x)是D上的a级类周期函数”如下：函数y＝f(x)，x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有af(x)＝f(x＋T)恒成立，此时T为f(x)的周期．若y＝f(x)是[1，＋∞)上的a级类周期函数，且T＝1，当x∈[1，2)时，f(x)＝2x(2x＋1)，且y＝f(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A. B．[2，＋∞)
C. D．[10，＋∞)
解析：选C.因为x∈[1，2)时，f(x)＝2x(2x＋1)，
所以当x∈[2，3)时，f(x)＝af(x－1)＝a·2x－1(2x－1)，当x∈[n，n＋1)时，f(x)＝af(x－1)＝a2f(x－2)＝…＝an－1f(x－n＋1)＝an－1·2x－n＋1(2x－2n＋3)，即x∈[n，n＋1)时，f(x)＝an－1·2x－n＋1(2x－2n＋3)，n∈N*，同理，当x∈[n－1，n)时，f(x)＝an－2·2x－n＋2(2x－2n＋5)，n∈N*.因为f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以a>0且an－1·2n－n＋1(2n－2n＋3)≥an－2·2n－n＋2·(2n－2n＋5)，解得a≥.故选C.
3．(经典考题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于整数a1，b1，a2，b2，有a1＋b1＋a2＋b2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈S，a1＋b1－(a2＋b2)＝(a1－a2)＋(b1－b2)∈S，(a1＋b1)·(a2＋b2)＝(a1a2＋3b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，所以①正确．
若S为封闭集，且存在元素x∈S，那么必有x－x＝0∈S，即一定有0∈S，所以②正确．
当S＝{0}时，S为封闭集，所以③错误．
取S＝{0}，T＝{0，1，2，3}时，显然2×3＝6∉T，所以④错误．
答案：①②
“新运算”问题
新运算问题是在原有运算的基础上定义了一种新运算，在准确把握信息本质的基础上，将这种新运算转化为早已熟悉的运算，从而进一步运用已有的知识去分析、解决问题．
[典型例题]
(经典考题)当x≠1且x≠0时，数列{nxn－1}的前n项和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxx－1(n∈N*)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x＋x2＋x3＋…＋xn(n∈N*)按等比数列的求和公式，先求得x＋x2＋x3＋…＋xn＝，两边都是关于x的函数，两边同时求导，(x＋x2＋x3＋…＋xn)′＝′，从而得到Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝，按照同样的方法，请从二项展开式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn出发，可以求得，Sn＝1×2×C＋2×3×C＋3×4×C＋…＋n(n＋1)×C(n≥4)的值为________．(请填写最简结果)．
【解析】 依题意，对(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cxn两边同时求导，得n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋3Cx2＋…＋nCxn－1，①
取x＝1，得C＋2C＋3C＋…＋nC＝n×2n－1，②
②×2得，2C＋2×2C＋2×3C＋…＋2nC＝n×2n，③
再对①式两边同时求导， 得n(n－1)(1＋x)n－2＝1×2C＋2×3Cx＋…＋n(n－1)Cxn－2，取x＝1，得1×2C＋2×3C＋…＋n(n－1)C＝n(n－1)×2n－2，④
③＋④得1×2C＋2×3C＋3×4C＋…＋n(n＋1)C＝n×2n＋n(n－1)×2n－2＝n(n＋3)×2n－2.
【答案】 n(n＋3)×2n－2
[对点训练]
1．(经典考题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
解析：选B.若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．
2．(经典考题)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．
(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；
(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值．
解：(1)证明：由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.
于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.
所以{an}是“H数列”．
(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.
因为{an}是“H数列”，
所以存在正整数m，使得S2＝am，
即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.
因为d<0，所以m－2<0，故m＝1.从而d＝－1.
当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝是小于2的整数，n∈N*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”．因此d的值为－1.
二 古代算术与现代高考
我国是有着五千年文明的古国，具有丰富的文化基础，在数学领域里具有深厚的数学渊源，其中《九章算术》中的一些理论推动着当今科学和数学的发展，随着我国经济建设蓬勃发展，现今部分高考数学试题也在古代算术的基础上，结合现代高考元素应运而生，这些试题是古代算术与现代高考结合的经典范例，是传统文化与现代科学的有机融合．
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝______，y＝______．
(2)(经典考题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________．
【解析】 (1)因为z＝81，所以解得
(2)如图，单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成，所以，正六边形的面积S6＝6××1×＝.
【答案】 (1)8 11 (2)
[对点训练]
1．(名师原创)《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道 “竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设从最下节往上的容量构成等差数列{an}， 公差为d.则，
即，
解得a1＝，d＝－.
中间为第五节，
即a5＝a1＋4d＝＋4×(－)＝.故选C.
2．(名师原创)《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )
(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈)
A．600立方寸 B．610立方寸
C．620立方寸 D．633立方寸
解析：选D.连接OA、OB，OD，
设⊙Ο的半径为R，
则(R－1)2＋52＝R2，
所以R＝13.
sin∠AOD＝＝.
所以∠AOD＝22.5°，
即 ∠AOB＝45°.
所以S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝－×10×12≈6.33平方寸．
所以该木材镶嵌在墙中的体积为
V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.
3．(名师原创)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)
若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为________．
解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·()2x＝12.6，解得x＝1.6.
答案： 1.6
三 学科间的渗透
数学是自然科学的皇后，这是德国大数学家高斯提出的，说明了数学与自然科学的关系十分密切，数学知识经常渗透到各学科领域，彰显出数学学科应用于人们生活生产中的伟大魅力．
[典型例题]
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( )
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2太贝克 D．150太贝克
【解析】 因为M′(t)＝－ln 2×M02－，
所以M′(30)＝－ln 2×M02－＝－10ln 2，
解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－，
所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×2－＝600×＝150(太贝克)，故选D.
【答案】 D
[对点训练]
1．(名师原创)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由四种不同的碱基A，C，G，U占据，各种碱基能够以任意次序出现，若有一类RNA分子由100个碱基组成，则共有多少种不同的RNA分子( )
A．400种 B．1004种 C．4100种 D．A种
解析：选C.100个碱基组成的长链共有100个位置，每个位置从A、C、G、U中任选一个填入，有4种方法．
所以共有不同的RNA分子的个数为＝4100.故选C.
2．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为( )
A．8 B．6 C．4 D．3
解析：选B.利用图形进行求解．因为反弹时反射角等于入射角，所以∠1＝∠2.
又因为tan∠1＝＝2，
所以tan∠2＝2.
又tan∠2＝，所以HC＝，所以DG＝.从此以后，小球的反射线必与EF或FG平行，由图可知，P与正方形的边碰撞的次数为6.
3．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍．
解析：当A0＝0.001，A＝1 000时，
M＝lg A－lg A0＝lg 1 000－lg 0.001＝lg＝lg 106＝6；
设9级地震的最大振幅是A9，5级地震的最大振幅是A5，则9＝lg A9－lg A0，5＝lg A5－lg A0，所以lg A9－lg A5＝4，即lg＝4，所以＝104＝10 000.
答案：6 10 000
一 创新型问题
新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．
创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小，求解此类问题，要求学生有临场阅读，提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．
“新定义”问题
新定义问题是指在特定情景下，用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．
[典型例题]
(1)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
(2)设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是( )
A．(－ ∞，0] B.
C. D.
【解析】 (1)法一：不妨设a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．
法二：设a1，a2，a3，…，ak中0的个数为t，则1的个数为k－t，
由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0，则.
当t＝1时，k＝1，2，当t＝2时，k＝2，3，4，
当t＝3时，k＝3，4，5，6，当t＝4时，k＝4，5，6，7，8，
所以“规范01数列”共有2＋3＋4＋5＝14(个)．
法三：前同法二．
问题即是表示的区域内的整点(格点)的个数，
如图整点(格点)为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范01数列”共有14个．
(2)方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1，4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间(1，4]上有解，即求函数a＝在区间(1，4]上的值域，
令t＝4x－5，则t∈(－1，11]，a＝，当t∈(－1，0]时，a≤0；
当t∈(0，11]时，0
【答案】 (1)C (2)C
[对点训练]
1．定义“上升数”是一个数中右边的数字比左边的数字大的自然数(如123，568，2479等)，任取一个两位数，这个两位数为“上升数”的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B.两位数10，11，12，…，99共90个，其中十位数为1的“上升数”为12，13，…，19共8个，十位数为2的“上升数”为23，24，…，29共7个，…十位数为8的“上升数”为89，只有1个，则所有两位数中的“上升数”共8＋7＋6＋…＋1＝＝36个，则两位数为“上升数”的概率P＝＝，选B.
2．(经典考题)定义“函数y＝f(x)是D上的a级类周期函数”如下：函数y＝f(x)，x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有af(x)＝f(x＋T)恒成立，此时T为f(x)的周期．若y＝f(x)是[1，＋∞)上的a级类周期函数，且T＝1，当x∈[1，2)时，f(x)＝2x(2x＋1)，且y＝f(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A. B．[2，＋∞)
C. D．[10，＋∞)
解析：选C.因为x∈[1，2)时，f(x)＝2x(2x＋1)，
所以当x∈[2，3)时，f(x)＝af(x－1)＝a·2x－1(2x－1)，当x∈[n，n＋1)时，f(x)＝af(x－1)＝a2f(x－2)＝…＝an－1f(x－n＋1)＝an－1·2x－n＋1(2x－2n＋3)，即x∈[n，n＋1)时，f(x)＝an－1·2x－n＋1(2x－2n＋3)，n∈N*，同理，当x∈[n－1，n)时，f(x)＝an－2·2x－n＋2(2x－2n＋5)，n∈N*.因为f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以a>0且an－1·2n－n＋1(2n－2n＋3)≥an－2·2n－n＋2·(2n－2n＋5)，解得a≥.故选C.
3．(经典考题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于整数a1，b1，a2，b2，有a1＋b1＋a2＋b2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈S，a1＋b1－(a2＋b2)＝(a1－a2)＋(b1－b2)∈S，(a1＋b1)·(a2＋b2)＝(a1a2＋3b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，所以①正确．
若S为封闭集，且存在元素x∈S，那么必有x－x＝0∈S，即一定有0∈S，所以②正确．
当S＝{0}时，S为封闭集，所以③错误．
取S＝{0}，T＝{0，1，2，3}时，显然2×3＝6∉T，所以④错误．
答案：①②
“新运算”问题
新运算问题是在原有运算的基础上定义了一种新运算，在准确把握信息本质的基础上，将这种新运算转化为早已熟悉的运算，从而进一步运用已有的知识去分析、解决问题．
[典型例题]
(经典考题)当x≠1且x≠0时，数列{nxn－1}的前n项和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxx－1(n∈N*)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x＋x2＋x3＋…＋xn(n∈N*)按等比数列的求和公式，先求得x＋x2＋x3＋…＋xn＝，两边都是关于x的函数，两边同时求导，(x＋x2＋x3＋…＋xn)′＝′，从而得到Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝，按照同样的方法，请从二项展开式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn出发，可以求得，Sn＝1×2×C＋2×3×C＋3×4×C＋…＋n(n＋1)×C(n≥4)的值为________．(请填写最简结果)．
【解析】 依题意，对(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cxn两边同时求导，得n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋3Cx2＋…＋nCxn－1，①
取x＝1，得C＋2C＋3C＋…＋nC＝n×2n－1，②
②×2得，2C＋2×2C＋2×3C＋…＋2nC＝n×2n，③
再对①式两边同时求导， 得n(n－1)(1＋x)n－2＝1×2C＋2×3Cx＋…＋n(n－1)Cxn－2，取x＝1，得1×2C＋2×3C＋…＋n(n－1)C＝n(n－1)×2n－2，④
③＋④得1×2C＋2×3C＋3×4C＋…＋n(n＋1)C＝n×2n＋n(n－1)×2n－2＝n(n＋3)×2n－2.
【答案】 n(n＋3)×2n－2
[对点训练]
1．(经典考题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
解析：选B.若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．
2．(经典考题)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．
(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；
(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值．
解：(1)证明：由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.
于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.
所以{an}是“H数列”．
(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.
因为{an}是“H数列”，
所以存在正整数m，使得S2＝am，
即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.
因为d<0，所以m－2<0，故m＝1.从而d＝－1.
当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝是小于2的整数，n∈N*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”．因此d的值为－1.
二 古代算术与现代高考
我国是有着五千年文明的古国，具有丰富的文化基础，在数学领域里具有深厚的数学渊源，其中《九章算术》中的一些理论推动着当今科学和数学的发展，随着我国经济建设蓬勃发展，现今部分高考数学试题也在古代算术的基础上，结合现代高考元素应运而生，这些试题是古代算术与现代高考结合的经典范例，是传统文化与现代科学的有机融合．
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝______，y＝______．
(2)(经典考题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________．
【解析】 (1)因为z＝81，所以解得
(2)如图，单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成，所以，正六边形的面积S6＝6××1×＝.
【答案】 (1)8 11 (2)
[对点训练]
1．(名师原创)《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道 “竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设从最下节往上的容量构成等差数列{an}， 公差为d.则，
即，
解得a1＝，d＝－.
中间为第五节，
即a5＝a1＋4d＝＋4×(－)＝.故选C.
2．(名师原创)《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )
(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈)
A．600立方寸 B．610立方寸
C．620立方寸 D．633立方寸
解析：选D.连接OA、OB，OD，
设⊙Ο的半径为R，
则(R－1)2＋52＝R2，
所以R＝13.
sin∠AOD＝＝.
所以∠AOD＝22.5°，
即 ∠AOB＝45°.
所以S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝－×10×12≈6.33平方寸．
所以该木材镶嵌在墙中的体积为
V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.
3．(名师原创)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)
若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为________．
解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·()2x＝12.6，解得x＝1.6.
答案： 1.6
三 学科间的渗透
数学是自然科学的皇后，这是德国大数学家高斯提出的，说明了数学与自然科学的关系十分密切，数学知识经常渗透到各学科领域，彰显出数学学科应用于人们生活生产中的伟大魅力．
[典型例题]
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( )
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2太贝克 D．150太贝克
【解析】 因为M′(t)＝－ln 2×M02－，
所以M′(30)＝－ln 2×M02－＝－10ln 2，
解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－，
所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×2－＝600×＝150(太贝克)，故选D.
【答案】 D
[对点训练]
1．(名师原创)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由四种不同的碱基A，C，G，U占据，各种碱基能够以任意次序出现，若有一类RNA分子由100个碱基组成，则共有多少种不同的RNA分子( )
A．400种 B．1004种 C．4100种 D．A种
解析：选C.100个碱基组成的长链共有100个位置，每个位置从A、C、G、U中任选一个填入，有4种方法．
所以共有不同的RNA分子的个数为＝4100.故选C.
2．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为( )
A．8 B．6 C．4 D．3
解析：选B.利用图形进行求解．因为反弹时反射角等于入射角，所以∠1＝∠2.
又因为tan∠1＝＝2，
所以tan∠2＝2.
又tan∠2＝，所以HC＝，所以DG＝.从此以后，小球的反射线必与EF或FG平行，由图可知，P与正方形的边碰撞的次数为6.
3．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍．
解析：当A0＝0.001，A＝1 000时，
M＝lg A－lg A0＝lg 1 000－lg 0.001＝lg＝lg 106＝6；
设9级地震的最大振幅是A9，5级地震的最大振幅是A5，则9＝lg A9－lg A0，5＝lg A5－lg A0，所以lg A9－lg A5＝4，即lg＝4，所以＝104＝10 000.
答案：6 10 000
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