2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题二　1第1讲　三角函数的图象与性质


第1讲　三角函数的图象与性质

三角函数的定义、诱导公式及基本关系
[核心提炼]
1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
[典型例题]
(1)(2019·湖州市高三期末)点P从点A(1，0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2019·长春一模)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin β的值为________．
(3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
①求sin的值；
②若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
【解】　(1)选A.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx＝，
所以Q，
即Q点的坐标为.故选A.
(2)2tan(π－α)－3cos＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化简为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝.故填.
(3)①由角α的终边过点P得sin α＝－，
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
②由角α的终边过点P得cos α＝－，
由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.

应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．
(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．　
[对点训练]
1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4，3)，则的值为________．
解析：原式＝＝tan α.
根据三角函数的定义，得tan α＝＝－，
所以原式＝－.
答案：－
2．已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan
＝________．
解析：法一：因为sin ＝，所以cos＝sin＝sin＝，因为θ为第四象限角，
所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，
所以tan＝＝－.
法二：因为θ是第四象限角，且sin＝，所以θ＋为第一象限角，所以cos＝，所以tan＝＝＝－＝－.
答案：－

三角函数的图象及应用
[核心提炼]
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．
(2)图象变换
y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
[典型例题]
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
(2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为(　　)
A.　　　　B. C．0　　　　D．－
(3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1)　　　B．[1，2] C．(0，1]　　　D．(1，2)
【解析】　(1)由题图易知A＝2，因为周期T满足＝－，所以T＝π，ω＝＝2.由x＝时，y＝2可知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，结合选项可知函数解析式为y＝2sin.
(2)令y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，
则f＝sin＝sin，
因为f为偶函数，
所以＋φ＝kπ＋，
所以φ＝kπ＋，k∈Z，
所以当k＝0时，φ＝.
故φ的一个可能的值为.
故选B.
(3)画出函数f(x)在[0，2π]的图象，如图所示：

若函数g(x)＝f(x)－m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，
即y＝f(x)和y＝m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，
结合图象，知0＜m＜1.
【答案】　(1)A　(2)B　(3)A

解决三角函数图象问题的方法及注意事项
(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．　
[对点训练]
1．(2019·兰州市诊断考试)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)

A. B.
C. D．1
解析：选C.由图知，＝，即T＝π，则ω＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)，
因为点在函数f(x)的图象上，
所以sin＝0，
即＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝sin，
因为x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，
所以＝，
所以x1＋x2＝，
所以f(x1＋x2)＝sin＝.
2．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D.易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，故选D.

三角函数的性质
[核心提炼]
1．三角函数的单调区间
y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，
单调递减区间是(k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tan x的递增区间是(k∈Z)．
2．y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝(k∈Z)时为奇函数．
[典型例题]
已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【解】　(1)由sin ＝，cos ＝－，f＝－－2××，得f＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin x·cos x得
f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以，f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)．

三角函数的单调性、周期性及最值的求法
(1)三角函数单调性的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求解．
(2)三角函数周期性的求法
函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝.
(3)三角函数最值(或值域)的求法
在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值．　
[对点训练]
1．(2019·杭州市高三期末检测)设A，B是函数f(x)＝sin|ωx|与y＝－1的图象的相邻两个交点，若|AB|min＝2π，则正实数ω＝(　　)
A. B．1　　　　C.　　　　D．2
解析：选B.函数f(x)＝sin|ωx|＝，ω为正数，所以f(x)的最小值是－1，如图所示：

设A，B是函数f(x)＝sin|ωx|与y＝－1的图象的相邻两个交点，
且|AB|min＝T＝＝2π，
解得ω＝1.故选B.
2．(2019·台州调研)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
解析：由于对任意的实数x都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，所以ωmin＝.
答案：
3．(2019·高考浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝＋的值域．
解：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有
sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，
所以cos θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
因此，函数的值域是.

三角函数与其他知识的交汇
[核心提炼]
三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．
[典型例题]
(1)(2019·台州市高考一模)已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1，0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x＞0恒成立，则实数θ的取值范围是(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
(2)(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象过点，若f(x)≤f对x∈R恒成立，则ω的值为________；当ω最小时，函数g(x)＝f－在区间[0，22]的零点个数为________．
【解析】　(1)设f(x)＝x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x＝(1＋sin θ＋cos θ)x2＋(2sin θ＋1)x＋sin θ，
因为θ∈[0，π)，
所以1＋cos θ＋sin θ≠0，且其对称轴为x＝－.
因为f(x)在[－1，0]的最小值为f(0)或f(1)或f，
所以，即，
所以.所以＜θ＜.
(2)由题意得φ＝，且当x＝时，函数f(x)取到最大值，故ω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝1＋12k，k∈N，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g(x)＝f－＝sin x－的零点个数是8个．
【答案】　(1)A　(2)1＋12k(k∈N)　8

解决三角函数与其他知识的交汇问题，可利用数形结合思想．利用“数形结合”思想还可以解决以下问题：
(1)讨论含有参数的方程的解的个数问题．　
(2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题．
(3)求一些特殊函数的周期．
(4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等．
[对点训练]
1．(2019·湖州市高三期末考试)若α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则必有(　　)
A．α2＜β2 B．α2＞β2
C．α＜β D．α＞β
解析：选B.α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y＝xsin x为偶函数，且在上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选B.
2．(2019·合肥市第二次教学质量检测)已知关于x的方程(t＋1)cos x－tsin x＝t＋2在(0，π)上有实根，则实数t的最大值是________．
解析：由题意可得，－＝＝1－，
令P(cos x，sin x)，A(2，1)，
则kPA＝，因为x∈(0，π)，所以－1
答案：－1
专题强化训练
1．(2019·嵊州模拟)已知sin(π＋α)＝－，则cos的值为(　　)
A. B．－　　　　C.　　　　D．－
解析：选B.因为sin(π＋α)＝－＝－sin α，
所以cos＝－sin α＝－.
2．(2019·湖州市高三期末考试)为了得到函数y＝sin的图象，只需将y＝cos 2x的图象上每一点(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选B.因为y＝cos 2x＝sin＝sin，所以y＝sin＝sin
＝sin，
所以为了得到函数y＝sin的图象，只需将y＝cos 2x的图象上每一点向右平移个单位长度即可．故选B.
3．已知tan＝3，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
解析：选B.因为tan＝＝3，所以tan α＝.
所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.
4．(2019·金华模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　)

A．－ B．－ C．－ D．－1
解析：选D.由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故选D.
5．(2019·宁波市高考模拟)已知函数f(x)＝sin xcos 2x，则下列关于函数f(x)的结论中，错误的是(　　)
A．最大值为1
B．图象关于直线x＝－对称
C．既是奇函数又是周期函数
D．图象关于点中心对称
解析：选D.因为函数f(x)＝sin xcos 2x，当x＝时，f(x)取得最大值为1，故A正确；当x＝－时，函数f(x)＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x＝－对称；故B正确；函数f(x)满足f(－x)＝sin(－x)·cos(－2x)＝－sin xcos 2x＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，再根据f(x＋2π)＝sin(x＋2π)cos[－2(x＋2π)]＝sin xcos 2x，故f(x)的周期为2π，故C正确；由于f＋f(x)＝－cos x·cos(3π－2x)＋sin xcos 2x＝cos xcos 2x＋sin xcos 2x＝cos 2x(sin x＋cos x)＝0不一定成立，故f(x)图象不一定关于点中心对称，故D不正确，故选D.
6．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.由T＝＝，又f(x)的最大值为2，所以＝2，
即ω＝，
所以f(x)＝2sin.
当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，
即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时函数f(x)单调递增，
则f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为.
7．(2019·温州调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为x∈，所以ωx＋∈，因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，
所以
又ω>0，所以0<ω≤，选B.
8．(2019·宁波市高三调研)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是(　　)
A．[－1，1] B.
C. D.
解析：选C.f(x)＝
作出[0，2π]区间内f(x)的图象，如图所示，
由f(x)的图象，可得f(x)的值域为.

9．(2019·宁波市高考模拟)已知函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，则函数f(x)的最小正周期为______，振幅的最小值为________．
解析：函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，
化简可得：f(x)＝sin(2x＋θ)＝·sin(2x＋θ)，其tan θ＝.
函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
振幅为 ，
当a＝－时，可得振幅的最小值.
答案：π　
10．已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则sin α－cos α＝________．
解析：sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝，即2sin α·cos α＝－，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，又－<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，
所以sin α－cos α＝－.
答案：－
11．已知f(x)＝sin 2x－cos 2x，若对任意实数x∈，都有|f(x)| 解析：因为f(x)＝sin 2x－cos 2x＝
2sin，x∈，所以∈，所以2sin∈(－，1]，所以|f(x)|＝<，所以m≥.
答案：[，＋∞)
12．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．
解析：因为 f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝＋sin 2x＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
答案：π　(k∈Z)
13．(2019·太原市模拟试题)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝2sin，方程2sin＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin＝－在(0，π)上有且只有四个实数根．设t＝ωx－，因为0 答案：
14．(2019·温州市高考数学模拟)设奇函数f(x)＝，则a＋c的值为________，不等式f(x)＞f(－x)在x∈[－π，π]上的解集为________．
解析：因为f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，
即f(0)＝acos 0－sin 0＋c＝a＋c＝0，
即a＋c＝0，
则f(x)＝，
若x＜0，则－x＞0，
则f(－x)＝acos x＋sin x－a
＝－cos x－bsin x－a，
则a＝－1，b＝－，c＝1.
则f(x)＝，
若0≤x≤π，
则由f(x)＞f(－x)得－cos x－sin x＋1＞cos x＋sin x－1，
即cos x＋sin x＜1，即cos＜，
因为0≤x≤π，所以－≤x－≤，
则＜x－≤，即＜x≤π.
若－π≤x＜0，
则由f(x)＞f(－x)得cos x－sin x－1＞
－cos x＋sin x＋1，
即cos x－sin x＞1，即cos＞，
因为－π≤x＜0，所以－≤x＋＜，
则－＜x＋＜，即－＜x＜0，
综上不等式的解集为∪.
答案：0　∪
15．(2019·台州市高三期末评估)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且x＝为f(x)图象的一条对称轴．
(1)求ω和φ的值；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的单调递减区间．
解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，
由T＝＝π，所以ω＝2，
由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的图象的对称轴为x＝＋－，k∈Z.
由＝＋－，得φ＝kπ＋.又|φ|≤，则φ＝.
(2)函数g(x)＝f(x)＋f＝sin＋sin 2x＝
sin 2x＋cos 2x＋sin 2x＝sin.
所以g(x)的单调递减区间为，k∈Z.
16．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点，且|PQ|＝.

(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，2]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的最大值．
解：(1)过P作x轴的垂线PM，过Q作y轴的垂线QM，则由已知得|PM|＝2，|PQ|＝，由勾股定理得|QM|＝3，所以T＝6，
又T＝，所以ω＝，
所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝sin.
(2)将函数y＝f(x)图象向右平移1个单位后得到函数y＝g(x)的图象，
所以g(x)＝sinx.
函数h(x)＝f(x)·g(x)＝sinsin x
＝sin2x＋sinxcos x
＝＋sin x
＝sin＋.
当x∈[0，2]时，x－∈，
所以当x－＝，
即x＝1时，h(x)max＝.
17．(2019·“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)＝sin x·(cos x＋sin x)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，等价于y＝f(x)与y＝t的图象在区间内有两个不同的交点．因为x∈，所以2x－∈.
因为y＝sin x在上是增函数，在上是减函数，
所以f(x)在上是增函数，在上是减函数．
又因为f(0)＝0，f＝1＋，
f＝，
所以≤t＜1＋，故实数t的取值范围为.
18．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝－sin x.
(1)作出y＝f(x)的图象；

(2)求y＝f(x)的解析式；
(3)若关于x的方程f(x)＝a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能的值及相应的a的取值范围．
解：(1)y＝f(x)的图象如图所示．

(2)任取x∈，
则－x∈，
因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，
则f(x)＝f，又当x≥时，f(x)＝－sin x，
则f(x)＝f＝－sin＝－cos x，
即f(x)＝
(3)当a＝－1时，f(x)＝a的两根为0，，则Ma＝；当a∈时，f(x)＝a的四根满足x1 f(x)＝a的三根满足x1 综上，当a∈时，Ma＝π；
当a＝－时，Ma＝；
当a∈∪{－1}时，Ma＝.