2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题六　2第2讲　古典概率与离散型随机变量的分布列、均值和方差

第2讲　古典概率与离散型随机变量的分布列、均值和方差

古典概型中事件的概率
[核心提炼]
1．古典概型的概率
P(A)＝＝.
2．互斥事件与对立事件
(1)互斥事件：A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)⇔事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
(2)互斥事件的概率加法公式：
①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)；
②P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．
(3)对立事件：A∩B为不可能事件，且A∪B为必然事件⇔事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．
(4)对立事件的概率公式：P(A)＝1－P(A)．
[典型例题]
(1)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
(2)(2019·台州高三教学质量评估)袋子里装有编号分别为“1，2，2，3，4，5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　(1)开机密码的所有可能结果有：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C.
(2)由题设取三个球的所有可能有n＝C＝＝20，其中编号之和小于或等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)共6种，其概率P＝＝，
所以3个球编号之和大于7的概率为P′＝1－＝，
应选答案B.
【答案】　(1)C　(2)B

解答古典概型、随机事件概率问题时的注意点
(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．
(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．
(3)求随机事件概率的步骤
第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，利用古典概型计算公式计算这些彼此互斥的事件的概率；第三步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率．
[注]　当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率．　
[对点训练]
1．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)
A. .
C. D．1
解析：选B.从15个球中任取2个球共有C种取法，其中有1个红球，1个白球的情况有C·C＝50(种)，
所以P＝＝.
2．将一枚硬币连掷5次，则至少出现一次正面向上的概率为________．
解析：因为将一枚硬币连掷5次，没有出现正面向上的概率为，所以至少出现一次正面向上的概率为1－＝.
答案：
3．从20名男生、10名女生中任选3名参加体能测试，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为________．
解析：选到的学生中有男生1名、女生2名的选法有CC种，选到的学生中有男生2名、女生1名的选法有CC种，则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为P＝＝.
答案：

离散型随机变量的分布列
[核心提炼]
离散型随机变量的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝p1，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②i＝1.
[典型例题]
(1)(2019·宁波市十校联考模拟)将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中(每个盒子容纳的小球的个数没有限制)，则1号盒子中小球的个数ξ的分布列为________．
(2)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
则2X＋1的分布列为________，P(1