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2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题一 1第1讲 集合、常用逻辑用语
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第1讲 集合、常用逻辑用语
集合的概念及运算
[核心提炼]
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝( )
A．∅ B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则∩B＝( )
A．{－1} B．{0，1}
C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}
(3)(2019·金华模拟)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，则S∩(∁UT)＝________，集合S共有________个子集．
【解析】 (1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，
所以∁UA＝{2，4，5}，故选C.
(2)由题意可得∁UA＝{－1，3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A.
(3)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，
S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，
所以∁UT＝{1，4，5}，
所以S∩(∁UT)＝{1，5}，
S＝{1，2，5}的子集的个数为23＝8.
【答案】 (1)C (2)A (3){1，5} 8
集合的运算与不等式相结合问题求解策略
解决此类问题的思路主要有两个：一是直接法，即先化简后运算，也就是先解不等式求出对应集合，然后利用数轴表示，从而求得集合运算的结果；二是间接法，由于此类问题多以选择题的形式进行考查，故可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证，排除干扰项从而得到正确选项．
[对点训练]
1．(2019·宁波市高考模拟)已知全集U＝A∪B＝，A∩(∁UB)＝，则B＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C.因为U＝A∪B＝，
又因为A∩(∁UB)＝，
所以B＝，故选C.
2．(2019·温州二模)已知集合A＝{x||x－1|≤2}，B＝{x|0
解析：A＝，
B＝＝，
∁RA＝，
则A∪B＝＝[－2，2]；(∁RA)∩B＝{x|0＜x≤2}＝(0，2]．
答案：[－2，2] (0，2]
命题真假的判断
[核心提炼]
1．四种命题的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2．常见词语的否定
在四种命题的构造中，其中否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．
词语
词语的否定
等于
不等于
大于
不大于(或小于等于)
小于
不小于(或大于等于)
是
不是
一定是
不一定是
都是
不都是(至少有一个不是)
必有一个
一个也没有
任意的
某一个
且
或
或
且
至多有一个
至少有两个
至多有n个
至少有n＋1个
至少有一个
一个也没有
至少有n个
至多有n－1个
所有x成立
存在一个x不成立
存在
不存在
[典型例题]
(1)(2019·诸暨市高考二模)已知数列{an}的前n项和是Sn，则下列四个命题中，错误的是( )
A．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{}是公差为的等差数列
B．若数列{}是公差为d的等差数列，则数列{an}是公差为2d的等差数列
C．若数列{an}是等差数列，则该数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列
D．若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}是等差数列
(2)(2019·杭州市数学期末)若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l∥α，m∥α，则l∥m
B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
【解析】 (1)A项，若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列{}为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)，即数列{}是公差为的等差数列，故说法正确；B项，由题意得：＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋n(n－1)d，则an＝Sn－Sn－1＝a1＋2(n－1)d，即数列{an}是公差为2d的等差数列，故说法正确；C项，若数列{an}是等差数列的公差为d，则数列的奇数项，偶数项都是公差为2d的等差数列，说法正确；D项，若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选D.
(2)A项，若l∥α，m∥α，则l∥m或相交或为异面直线，因此不正确；B项，若l⊥m，m⊂α，则l与α相交或平行或在平面内，因此不正确；C项，若l∥α，m⊂α，则l∥m或为异面直线，因此不正确；D项，若l⊥α，l∥m，则由线面垂直的性质定理与判定定理可得：m⊥α，正确．故选D.
【答案】 (1)D (2)D
命题真假的判定方法
一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断，要判断一个命题是假命题，只需举出反例．
[对点训练]
1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)>49成立，则当k≥8时，均有f(k)
解析：选D.因为f(k)≥k2成立时f(k＋1)≥(k＋1)2成立，当k＝4时，f(4)＝25≥16＝42成立，所以当k≥4时，有f(k)≥k2成立．
2．(2019·浙江新高考数学冲刺)给出下列命题：
①函数f(x)＝sin(＋)的图象关于x＝π对称的图象的函数解析式为y＝sin(－)；
②函数f(x)＝＋在定义域上是增函数；
③函数f(x)＝|log2x|－()x在(0，＋∞)上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1.
其中真命题的个数有( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选D.①由f(x)＝sin(＋)，设其图象关于x＝π对称的图象的函数解析式为y＝g(x)，
设g(x)上一点(x，y)，它关于x＝π的对称点是(2π－x，y)，这个对称点必然在f(x)上，
所以y＝sin(＋)＝sin(－)，故①正确；
②函数f(x)＝＋＝(x－1)＋的定义域为[1，＋∞)，
且f′(x)＝(x－1)－－＝－，
因为(x－2)2≥0，所以x2≥4x－4，即x≥2，
又当x≥1时，x2≥x，所以x2≥2，所以
f′(x)＝(x－1)－－＝－≥0，
函数f(x)＝＋在定义域上是增函数，故②正确；
③画出函数g(x)＝|log2x|－()x在(0，＋∞)的图象：
上恰有两个零点x1，x2.
不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2.
－log2x1＝()x1，log2x2＝()x2.
所以log2(x1x2)＝()x2－()x1＜0，
所以x1·x2＜1，故③正确．
所以正确的命题的个数是3.
故选D.
充要条件的判断及证明
[核心提炼]
充分、必要条件的判断方法
利用定义判断
直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假
从集合的角度判断
若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件
利用等价转化法判断
条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
[典型例题]
(1)(2019·高考浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)通解：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
优解：在同一直角坐标系内作出函数b＝4－a，b＝的图象，如图所示，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.
(2)若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.
【答案】 (1)A (2)A
判断充分、必要条件时应关注的三点
(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
(3)要注意转化：¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件．
[对点训练]
1．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4 ＋ S6＞2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C.
2．(2019·高三“吴越联盟”)已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( )
A．|a|＋|b|≥4 B．|a|≥4
C．|a|≥2且|b|≥2 D．b<－4
解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.
3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：“＋＞＋”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．
证明：充分性：
因为＋＞＋，
则(＋)2＞(＋)2，
即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|.
必要性：
因为|a－b|＜|c－d|，
则(a－b)2＜(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，
所以(＋)2＞(＋)2，
即＋＞＋.
综上，“＋＞＋”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．
专题强化训练
[基础达标]
1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2，3] B．(－2，3]
C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁RQ＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁RQ)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.
2．(2019·金华模拟)已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{y|y＝，x＜1}，则A∩B＝( )
A．(1，＋∞) B.
C. D.
解析：选A.法一：因为A＝{y|y＝log2x，x＞2}＝{y|y＞1}，B＝{y|y＝，x＜1}＝{y|y＞}，所以A∩B＝{y|y＞1}，故选A.
法二：取2∈A∩B，则由2∈A，得log2x＝2，解得x＝4＞2，满足条件，同时由2∈B，得＝2，x＝－1，满足条件，排除选项B，D；取1∈A∩B，则由1∈A，得log2x＝1，解得x＝2，不满足x＞2，排除C，故选A.
3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：选B.当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，故a的值为2，选B.
4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a，b为两个非零向量，设命题p：|a·b|＝|a||b|，命题q：a与b共线，则命题p是命题q成立的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.|a·b|＝|a||b|⇔|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝±1⇔a∥b，故是充要条件，选C.
5．(2019·衢州质检)已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是( )
A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝R
C．(∁UA)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A
解析：选D.因为A＝{x|－44}，
所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.
6．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m＞ B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞1
解析：选C.若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0，故选C.
7．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由题意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件，故选C.
8．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题
解析：选B.对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题为“若x≠，则tan x≠”，易知当x＝时，tan x＝，故选项D为假命题．综上可知，选B.
9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题不正确的是( )
A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为π
D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是
解析：选D.A.因为AB1∥DC1，AC∥A1C1，
且AC∩AB1＝A，
所以平面ACB1∥平面A1C1D，
正方体的体对角线BD1＝，
设B到平面ACB1的距离为h，
则VBAB1C＝××1×1×1＝××××h，即h＝，
则平面ACB1与平面A1C1D的距离d＝－2h＝－2×＝，故A正确．
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，
C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C＝，则2R＝，R＝，则球的体积V＝πR3＝×π×()3＝π，故C正确．
D．设正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球的球心为O′，
则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球O′的一个小圆，
因为点M在正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，
所以线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径，
因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，
所以线段MN长度的最小值是－.故D错误．故选D.
10．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：选C.由36－x2>0可解得－6
11．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．
解析：法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2.故P*Q＝，该集合中共有3个元素．
法二：(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：
ba
－1
0
1
1
1
1
1
2
1
2
由上表可知P*Q＝，显然该集合中共有3个元素．
答案：3
12．(2019·温州瑞安高考数学模拟)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝______，(∁UA)∪B＝________．
解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，
∁UB＝{1，5，6}，∁UA＝{3，4，5，6}，
所以A∩(∁UB)＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，
(∁UA)∪B＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}．
答案：{1} {2，3，4，5，6}
13．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．
答案：1
14．一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充分必要条件是________．
解析：必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，
所以b＝0.
充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
答案：b＝0
15．A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是________．
解析：有序实数对(a，b)的取值情形共有9种，满足A∩B＝B的情形有：
①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B＝∅；
②(2，1)，此时B＝{1}；
③(3，2)，此时B＝{1，2}．
所以A∩B＝B的概率为P＝.
答案：
16．设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．
解析：因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：
(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得
解得a＝1.
(2)当B≠A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝
4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时B ＝{0}满足题意．
(3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
解得a＜－1.
综上所述，所求实数a的取值范围为(－∞，－1]∪{1}．
答案：(－∞，－1]∪{1}
17．函数g(x)＝其中P，M为实数集R的两个非空子集，规定f(P)＝{y|y＝g(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝g(x)，x∈M}．给出下列四个命题：
①若P∩M＝∅，则f(P)∩f(M)＝∅；
②若P∩M≠∅，则f(P)∩f(M)≠∅；
③若P∪M＝R，则f(P)∪f(M)＝R；
④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R.
其中命题不正确的有________．
解析：①若P＝{1}，M＝{－1}，则f(P)＝{1}，
f(M)＝{1}，则f(P)∩f(M)≠∅，故①错．
②若P＝{1，2}，M＝{1}，则f(P)＝{1，2}，
f(M)＝{－1}，则f(P)∩f(M)＝∅.故②错．
③若P＝{非负实数}，M＝{负实数}，
则f(P)＝{非负实数}，f(M)＝{正实数}，
则f(P)∪f(M)≠R，故③错．
④若P＝{非负实数}，M＝{正实数}，
则f(P)＝{非负实数}，f(M)＝{负实数}，
则f(P)∪f(M)＝R，故④错．
答案：①②③④
[能力提升]
1．已知集合P＝{y|y＝()x，x≥0}，Q＝{x|y＝lg(2x－x2)}，则P∩Q为( )
A．(0，1] B．∅ C．(0，2) D．{0}
解析：选A.由已知得，因为x≥0，且0＜()x≤()0＝1，所以P＝(0，1]，又因为2x－x2＞0⇒0＜x＜2，所以Q＝(0，2)，因此P∩Q＝(0，1]，故选A.
2．已知z＝m2－1＋(m2－3m＋2)i(m∈R，i为虚数单位)，则“m＝－1”是“z为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由题意，当m＝－1时，z的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z为纯虚数，即充分性成立；当z为纯虚数时，有⇒⇒m＝－1，即必要性成立，故选C.
3．集合A＝{x|y＝ln(1－x)}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，全集U＝A∪B，则∁U(A∩B)＝( )
A．{x|x＜－1或x≥1}
B．{x|1≤x≤3或x＜－1}
C．{x|x≤－1或x＞1}
D．{x|1＜x≤3或x≤－1}
解析：选B.集合A＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，
所以U＝A∪B＝{x|x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1≤x＜1}；
所以∁U(A∩B)＝{x|1≤x≤3或x＜－1}．
故选B.
4．若x∈R，则“x＞1”是“＜1”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
解析：选A.由x＞1，一定能得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1(如x＝－1时)，故“x＞1”是“＜1”的充分非必要条件．
5．下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是( )
A．a－1＞b B．a＋1＞b
C．|a|＞|b| D．a3＞b3
解析：选B.“a＞b”不能推出“a－1＞b”，故选项A不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“a＋1＞b”，但“a＋1＞b”不能推出“a＞b”，故满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“a3＞b3”，且“a3＞b3”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意．
6．(2019·绍兴质检)已知集合A＝{x|x＜－2或x＞1}，B＝{x|x＞2或x＜0}，则(∁RA)∩B＝( )
A．(－2，0) B．[－2，0)
C．∅ D．(－2，1)
解析：选B.因为集合A＝{x|x＜－2或x＞1}，
所以∁RA＝{x|－2≤x≤1}，
集合B＝{x|x＞2或x＜0}，
所以(∁RA)∩B＝{x|－2≤x＜0}＝[－2，0)，故选B.
7．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是( )
A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交
B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥β
C．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
解析：选C.A.α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C正确；D.若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选C.
8．已知f(x)＝ax2＋bx，其中－1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.因为f(x)＝ax2＋bx，所以a＋b＞1⇔f(1)＞1.
因为存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1，所以|f(x)|max＞1.
因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f(x)的对称轴x＝－＞0.
计算：f(0)＝0，f(1)＝a＋b，f(－)＝＞0.
f(1)＞1，所以f(－)＝＞1，
反之也成立，若b2＞－4a，则b＞－4a＞1－a.
所以“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的充要条件．
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)
C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]
解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.
10．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是( )
A．若任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列
B．若任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列
解析：选D.cn⊥bn⇒cn·bn＝nan＋(n＋1)an＋1＝0，即＝－；所以数列{an}既不是等比数列又不是等差数列；cn∥bn⇒(n＋1)an－nan＋1＝0，即＝；所以××…×＝××…×＝n(n≥2)，即an＝na1.所以数列{an}是等差数列．
11．已知A ＝{0，1，2}，B＝{－1，3}，记：A＋B＝{a＋b|a∈A，b∈B}，试用列举法表示A＋B＝________．
解析：因为a∈A，b∈B，
所以当a＝0时，a＋b＝－1或3，
当a＝1时，a＋b＝0或4，
当a＝2时，a＋b＝1或5，
所以A＋B＝{－1，0，1，3，4，5}．
答案：{－1，0，1，3，4，5}
12．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝________．
解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，又因它的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．
答案：{1，3}
13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．
解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5
答案：－1 1
14．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为________．
解析：若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；
当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；
当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；
当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，
所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.
答案：1
15．给出下列四个命题：
①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．
其中正确命题的序号是________．
解析：由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．
答案：①④
16．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|xm＋3}，Q＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|(x＋4)(x－1)<0}＝{x|－4
17．(2019·杭州市七校高三联考)下列命题中正确的有________．
①常数数列既是等差数列也是等比数列；
②在△ABC中，若sin2 A＋sin2 B＝sin2 C，则△ABC为直角三角形；
③若A，B为锐角三角形的两个内角，则tan Atan B>1；
④若Sn为数列{an}的前n项和，则此数列的通项公式an＝Sn－Sn－1(n>1)．
解析：命题①：由数列{an}是等差数列，设其公差为d，则an－an－1＝d(n≥2)(ⅰ)，又数列{an}是等比数列，设其公比为q，则an＝qan－1(n≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qan－1－an－1＝(q－1)an－1＝d(n≥2)，要使(q－1)·an－1＝d(n≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q－1＝d＝0，也就是q＝1，d＝0.
所以数列{an}为非零常数列，故不正确；
命题②：由正弦定理可把sin2A＋sin2B＝sin2C转化为a2＋b2＝c2，由余弦定理得
cos C＝＝0，所以三角形为直角三角形，故正确；
命题③：若A、B是锐角三角形的两内角，
则tan A>0，tan B>0，π>A＋B>，
则tan(A＋B)＝<0，
得tan A·tan B>1，故正确；
命题④：若Sn为数列{an}的前n项和，
则此数列的通项公式an＝，故不正确．
故正确的命题为：②③.
答案：②③
第1讲 集合、常用逻辑用语
集合的概念及运算
[核心提炼]
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝( )
A．∅ B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则∩B＝( )
A．{－1} B．{0，1}
C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}
(3)(2019·金华模拟)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，则S∩(∁UT)＝________，集合S共有________个子集．
【解析】 (1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，
所以∁UA＝{2，4，5}，故选C.
(2)由题意可得∁UA＝{－1，3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A.
(3)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，
S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，
所以∁UT＝{1，4，5}，
所以S∩(∁UT)＝{1，5}，
S＝{1，2，5}的子集的个数为23＝8.
【答案】 (1)C (2)A (3){1，5} 8
集合的运算与不等式相结合问题求解策略
解决此类问题的思路主要有两个：一是直接法，即先化简后运算，也就是先解不等式求出对应集合，然后利用数轴表示，从而求得集合运算的结果；二是间接法，由于此类问题多以选择题的形式进行考查，故可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证，排除干扰项从而得到正确选项．
[对点训练]
1．(2019·宁波市高考模拟)已知全集U＝A∪B＝，A∩(∁UB)＝，则B＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C.因为U＝A∪B＝，
又因为A∩(∁UB)＝，
所以B＝，故选C.
2．(2019·温州二模)已知集合A＝{x||x－1|≤2}，B＝{x|0
解析：A＝，
B＝＝，
∁RA＝，
则A∪B＝＝[－2，2]；(∁RA)∩B＝{x|0＜x≤2}＝(0，2]．
答案：[－2，2] (0，2]
命题真假的判断
[核心提炼]
1．四种命题的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2．常见词语的否定
在四种命题的构造中，其中否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．
词语
词语的否定
等于
不等于
大于
不大于(或小于等于)
小于
不小于(或大于等于)
是
不是
一定是
不一定是
都是
不都是(至少有一个不是)
必有一个
一个也没有
任意的
某一个
且
或
或
且
至多有一个
至少有两个
至多有n个
至少有n＋1个
至少有一个
一个也没有
至少有n个
至多有n－1个
所有x成立
存在一个x不成立
存在
不存在
[典型例题]
(1)(2019·诸暨市高考二模)已知数列{an}的前n项和是Sn，则下列四个命题中，错误的是( )
A．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{}是公差为的等差数列
B．若数列{}是公差为d的等差数列，则数列{an}是公差为2d的等差数列
C．若数列{an}是等差数列，则该数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列
D．若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}是等差数列
(2)(2019·杭州市数学期末)若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l∥α，m∥α，则l∥m
B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
【解析】 (1)A项，若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列{}为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)，即数列{}是公差为的等差数列，故说法正确；B项，由题意得：＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋n(n－1)d，则an＝Sn－Sn－1＝a1＋2(n－1)d，即数列{an}是公差为2d的等差数列，故说法正确；C项，若数列{an}是等差数列的公差为d，则数列的奇数项，偶数项都是公差为2d的等差数列，说法正确；D项，若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选D.
(2)A项，若l∥α，m∥α，则l∥m或相交或为异面直线，因此不正确；B项，若l⊥m，m⊂α，则l与α相交或平行或在平面内，因此不正确；C项，若l∥α，m⊂α，则l∥m或为异面直线，因此不正确；D项，若l⊥α，l∥m，则由线面垂直的性质定理与判定定理可得：m⊥α，正确．故选D.
【答案】 (1)D (2)D
命题真假的判定方法
一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断，要判断一个命题是假命题，只需举出反例．
[对点训练]
1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)>49成立，则当k≥8时，均有f(k)
解析：选D.因为f(k)≥k2成立时f(k＋1)≥(k＋1)2成立，当k＝4时，f(4)＝25≥16＝42成立，所以当k≥4时，有f(k)≥k2成立．
2．(2019·浙江新高考数学冲刺)给出下列命题：
①函数f(x)＝sin(＋)的图象关于x＝π对称的图象的函数解析式为y＝sin(－)；
②函数f(x)＝＋在定义域上是增函数；
③函数f(x)＝|log2x|－()x在(0，＋∞)上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1.
其中真命题的个数有( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选D.①由f(x)＝sin(＋)，设其图象关于x＝π对称的图象的函数解析式为y＝g(x)，
设g(x)上一点(x，y)，它关于x＝π的对称点是(2π－x，y)，这个对称点必然在f(x)上，
所以y＝sin(＋)＝sin(－)，故①正确；
②函数f(x)＝＋＝(x－1)＋的定义域为[1，＋∞)，
且f′(x)＝(x－1)－－＝－，
因为(x－2)2≥0，所以x2≥4x－4，即x≥2，
又当x≥1时，x2≥x，所以x2≥2，所以
f′(x)＝(x－1)－－＝－≥0，
函数f(x)＝＋在定义域上是增函数，故②正确；
③画出函数g(x)＝|log2x|－()x在(0，＋∞)的图象：
上恰有两个零点x1，x2.
不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2.
－log2x1＝()x1，log2x2＝()x2.
所以log2(x1x2)＝()x2－()x1＜0，
所以x1·x2＜1，故③正确．
所以正确的命题的个数是3.
故选D.
充要条件的判断及证明
[核心提炼]
充分、必要条件的判断方法
利用定义判断
直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假
从集合的角度判断
若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件
利用等价转化法判断
条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假
[典型例题]
(1)(2019·高考浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)通解：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
优解：在同一直角坐标系内作出函数b＝4－a，b＝的图象，如图所示，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.
(2)若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.
【答案】 (1)A (2)A
判断充分、必要条件时应关注的三点
(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
(3)要注意转化：¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件．
[对点训练]
1．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4 ＋ S6＞2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C.
2．(2019·高三“吴越联盟”)已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( )
A．|a|＋|b|≥4 B．|a|≥4
C．|a|≥2且|b|≥2 D．b<－4
解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.
3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：“＋＞＋”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．
证明：充分性：
因为＋＞＋，
则(＋)2＞(＋)2，
即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|.
必要性：
因为|a－b|＜|c－d|，
则(a－b)2＜(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，
所以(＋)2＞(＋)2，
即＋＞＋.
综上，“＋＞＋”是“|a－b|＜|c－d|”的充要条件．
专题强化训练
[基础达标]
1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2，3] B．(－2，3]
C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁RQ＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁RQ)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.
2．(2019·金华模拟)已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{y|y＝，x＜1}，则A∩B＝( )
A．(1，＋∞) B.
C. D.
解析：选A.法一：因为A＝{y|y＝log2x，x＞2}＝{y|y＞1}，B＝{y|y＝，x＜1}＝{y|y＞}，所以A∩B＝{y|y＞1}，故选A.
法二：取2∈A∩B，则由2∈A，得log2x＝2，解得x＝4＞2，满足条件，同时由2∈B，得＝2，x＝－1，满足条件，排除选项B，D；取1∈A∩B，则由1∈A，得log2x＝1，解得x＝2，不满足x＞2，排除C，故选A.
3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：选B.当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，故a的值为2，选B.
4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a，b为两个非零向量，设命题p：|a·b|＝|a||b|，命题q：a与b共线，则命题p是命题q成立的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.|a·b|＝|a||b|⇔|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝±1⇔a∥b，故是充要条件，选C.
5．(2019·衢州质检)已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是( )
A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝R
C．(∁UA)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A
解析：选D.因为A＝{x|－4
所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.
6．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m＞ B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞1
解析：选C.若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0，故选C.
7．设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由题意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件，故选C.
8．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题
解析：选B.对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题为“若x≠，则tan x≠”，易知当x＝时，tan x＝，故选项D为假命题．综上可知，选B.
9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题不正确的是( )
A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为π
D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是
解析：选D.A.因为AB1∥DC1，AC∥A1C1，
且AC∩AB1＝A，
所以平面ACB1∥平面A1C1D，
正方体的体对角线BD1＝，
设B到平面ACB1的距离为h，
则VBAB1C＝××1×1×1＝××××h，即h＝，
则平面ACB1与平面A1C1D的距离d＝－2h＝－2×＝，故A正确．
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，
C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C＝，则2R＝，R＝，则球的体积V＝πR3＝×π×()3＝π，故C正确．
D．设正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球的球心为O′，
则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球O′的一个小圆，
因为点M在正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，
所以线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径，
因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，
所以线段MN长度的最小值是－.故D错误．故选D.
10．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：选C.由36－x2>0可解得－6
11．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．
解析：法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2.故P*Q＝，该集合中共有3个元素．
法二：(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：
ba
－1
0
1
1
1
1
1
2
1
2
由上表可知P*Q＝，显然该集合中共有3个元素．
答案：3
12．(2019·温州瑞安高考数学模拟)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝______，(∁UA)∪B＝________．
解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，
∁UB＝{1，5，6}，∁UA＝{3，4，5，6}，
所以A∩(∁UB)＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，
(∁UA)∪B＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}．
答案：{1} {2，3，4，5，6}
13．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．
答案：1
14．一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充分必要条件是________．
解析：必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，
所以b＝0.
充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
答案：b＝0
15．A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是________．
解析：有序实数对(a，b)的取值情形共有9种，满足A∩B＝B的情形有：
①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B＝∅；
②(2，1)，此时B＝{1}；
③(3，2)，此时B＝{1，2}．
所以A∩B＝B的概率为P＝.
答案：
16．设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．
解析：因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：
(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得
解得a＝1.
(2)当B≠A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝
4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时B ＝{0}满足题意．
(3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
解得a＜－1.
综上所述，所求实数a的取值范围为(－∞，－1]∪{1}．
答案：(－∞，－1]∪{1}
17．函数g(x)＝其中P，M为实数集R的两个非空子集，规定f(P)＝{y|y＝g(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝g(x)，x∈M}．给出下列四个命题：
①若P∩M＝∅，则f(P)∩f(M)＝∅；
②若P∩M≠∅，则f(P)∩f(M)≠∅；
③若P∪M＝R，则f(P)∪f(M)＝R；
④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R.
其中命题不正确的有________．
解析：①若P＝{1}，M＝{－1}，则f(P)＝{1}，
f(M)＝{1}，则f(P)∩f(M)≠∅，故①错．
②若P＝{1，2}，M＝{1}，则f(P)＝{1，2}，
f(M)＝{－1}，则f(P)∩f(M)＝∅.故②错．
③若P＝{非负实数}，M＝{负实数}，
则f(P)＝{非负实数}，f(M)＝{正实数}，
则f(P)∪f(M)≠R，故③错．
④若P＝{非负实数}，M＝{正实数}，
则f(P)＝{非负实数}，f(M)＝{负实数}，
则f(P)∪f(M)＝R，故④错．
答案：①②③④
[能力提升]
1．已知集合P＝{y|y＝()x，x≥0}，Q＝{x|y＝lg(2x－x2)}，则P∩Q为( )
A．(0，1] B．∅ C．(0，2) D．{0}
解析：选A.由已知得，因为x≥0，且0＜()x≤()0＝1，所以P＝(0，1]，又因为2x－x2＞0⇒0＜x＜2，所以Q＝(0，2)，因此P∩Q＝(0，1]，故选A.
2．已知z＝m2－1＋(m2－3m＋2)i(m∈R，i为虚数单位)，则“m＝－1”是“z为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由题意，当m＝－1时，z的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z为纯虚数，即充分性成立；当z为纯虚数时，有⇒⇒m＝－1，即必要性成立，故选C.
3．集合A＝{x|y＝ln(1－x)}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，全集U＝A∪B，则∁U(A∩B)＝( )
A．{x|x＜－1或x≥1}
B．{x|1≤x≤3或x＜－1}
C．{x|x≤－1或x＞1}
D．{x|1＜x≤3或x≤－1}
解析：选B.集合A＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，
所以U＝A∪B＝{x|x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1≤x＜1}；
所以∁U(A∩B)＝{x|1≤x≤3或x＜－1}．
故选B.
4．若x∈R，则“x＞1”是“＜1”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
解析：选A.由x＞1，一定能得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1(如x＝－1时)，故“x＞1”是“＜1”的充分非必要条件．
5．下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是( )
A．a－1＞b B．a＋1＞b
C．|a|＞|b| D．a3＞b3
解析：选B.“a＞b”不能推出“a－1＞b”，故选项A不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“a＋1＞b”，但“a＋1＞b”不能推出“a＞b”，故满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“a3＞b3”，且“a3＞b3”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意．
6．(2019·绍兴质检)已知集合A＝{x|x＜－2或x＞1}，B＝{x|x＞2或x＜0}，则(∁RA)∩B＝( )
A．(－2，0) B．[－2，0)
C．∅ D．(－2，1)
解析：选B.因为集合A＝{x|x＜－2或x＞1}，
所以∁RA＝{x|－2≤x≤1}，
集合B＝{x|x＞2或x＜0}，
所以(∁RA)∩B＝{x|－2≤x＜0}＝[－2，0)，故选B.
7．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是( )
A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交
B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥β
C．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
解析：选C.A.α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C正确；D.若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选C.
8．已知f(x)＝ax2＋bx，其中－1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.因为f(x)＝ax2＋bx，所以a＋b＞1⇔f(1)＞1.
因为存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1，所以|f(x)|max＞1.
因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f(x)的对称轴x＝－＞0.
计算：f(0)＝0，f(1)＝a＋b，f(－)＝＞0.
f(1)＞1，所以f(－)＝＞1，
反之也成立，若b2＞－4a，则b＞－4a＞1－a.
所以“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的充要条件．
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)
C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]
解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.
10．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是( )
A．若任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列
B．若任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列
解析：选D.cn⊥bn⇒cn·bn＝nan＋(n＋1)an＋1＝0，即＝－；所以数列{an}既不是等比数列又不是等差数列；cn∥bn⇒(n＋1)an－nan＋1＝0，即＝；所以××…×＝××…×＝n(n≥2)，即an＝na1.所以数列{an}是等差数列．
11．已知A ＝{0，1，2}，B＝{－1，3}，记：A＋B＝{a＋b|a∈A，b∈B}，试用列举法表示A＋B＝________．
解析：因为a∈A，b∈B，
所以当a＝0时，a＋b＝－1或3，
当a＝1时，a＋b＝0或4，
当a＝2时，a＋b＝1或5，
所以A＋B＝{－1，0，1，3，4，5}．
答案：{－1，0，1，3，4，5}
12．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝________．
解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，又因它的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．
答案：{1，3}
13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．
解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5
答案：－1 1
14．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为________．
解析：若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；
当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；
当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；
当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，
所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.
答案：1
15．给出下列四个命题：
①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．
其中正确命题的序号是________．
解析：由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．
答案：①④
16．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|x
17．(2019·杭州市七校高三联考)下列命题中正确的有________．
①常数数列既是等差数列也是等比数列；
②在△ABC中，若sin2 A＋sin2 B＝sin2 C，则△ABC为直角三角形；
③若A，B为锐角三角形的两个内角，则tan Atan B>1；
④若Sn为数列{an}的前n项和，则此数列的通项公式an＝Sn－Sn－1(n>1)．
解析：命题①：由数列{an}是等差数列，设其公差为d，则an－an－1＝d(n≥2)(ⅰ)，又数列{an}是等比数列，设其公比为q，则an＝qan－1(n≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qan－1－an－1＝(q－1)an－1＝d(n≥2)，要使(q－1)·an－1＝d(n≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q－1＝d＝0，也就是q＝1，d＝0.
所以数列{an}为非零常数列，故不正确；
命题②：由正弦定理可把sin2A＋sin2B＝sin2C转化为a2＋b2＝c2，由余弦定理得
cos C＝＝0，所以三角形为直角三角形，故正确；
命题③：若A、B是锐角三角形的两内角，
则tan A>0，tan B>0，π>A＋B>，
则tan(A＋B)＝<0，
得tan A·tan B>1，故正确；
命题④：若Sn为数列{an}的前n项和，
则此数列的通项公式an＝，故不正确．
故正确的命题为：②③.
答案：②③
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