2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题七第7讲　矩阵与变换

第7讲　矩阵与变换

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1．矩阵的乘法与逆矩阵

(1) ＝．

(2)若二阶矩阵A，B满足AB＝BA＝E(E为二阶单位矩阵)，则称A是可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为B＝A－1．

2．矩阵对应的变换

矩阵M＝对应的变换T：(x，y)→(x′，y′)满足→＝ ＝．

3．二阶矩阵的特征值和特征向量

(1)设λ是二阶矩阵M＝的一个特征值，它的一个特征向量为α＝，则有M＝λ．

(2)f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc为矩阵M＝的特征多项式．

(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入

可得到一组非零解，它即为M的属于λ的一个特征向量．

矩阵变换

[典型例题]

(2019·姜堰中学期中检测)在平面直角坐标系xOy中，设曲线C：xy＝1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，且F的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，求θ和a的值．

【解】　设P(x0，y0)是曲线C上任意一点，P(x0，y0)在矩阵对应的变换下变为：P′(x′0，y′0)；

则有＝，

所以，代入到x2－y2＝a2中，

有：(x0cos θ＋y0sin θ)2－(－x0sin θ＋y0cos θ)2＝a2，且x0y0＝1，

化简得：(x－y)(cos2θ－sin2θ)＋4x0y0sin θcos θ＝a2即

(x－y)(cos2θ－sin2θ)＋4sin θcos θ＝a2；

所以cos2θ－sin2θ＝0且a2＝4sin θcos θ，而θ∈，a＞0；所以θ＝，a＝．

解决这类问题一般是设变换T：→，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．

[对点训练]

1．变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝．

(1)求点P(2，1)在T1作用下的点P′的坐标；

(2)求函数y＝x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．

[解] (1)M1＝，M1＝ ＝，所以点P(2，1)在T1作用下的P′点的坐标是P′(－1，2)．

(2)M＝M2M1＝，设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则M＝，也就是，即，

所以所求曲线的方程是y－x＝y2．

逆矩阵与矩阵运算

[典型例题]

(2018·高考江苏卷)已知矩阵A＝．

(1)求A的逆矩阵A－1；

(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3，1)，求点P的坐标．

【解】　(1)因为A＝，

det(A)＝2×2－1×3＝1≠0，

所以A可逆，从而A－1＝．

(2)设P(x，y)，则＝，

所以＝A－1＝，

因此，点P的坐标为(3，－1)．

正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序，记住求逆矩阵的过程是解题的关键．

[对点训练]

2．已知矩阵A＝，B＝．

(1) 求AB；

(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ，求C2的方程．

[解] (1)因为A＝，B＝，

所以AB＝ ＝．

(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点，

它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y)，

则 ＝，即

所以

因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则＋＝1，

从而＋＝1，即x2＋y2＝8．

因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8．

矩阵的特征值与特征向量

[典型例题]

(2019·高考江苏卷)已知矩阵 A＝．

(1)求A2；

(2)求矩阵A的特征值．

【解】　(1)因为A＝．

所以A2＝

＝＝．

(2)矩阵A的特征多项式为

f(λ)＝＝λ2－5λ＋4．

令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝4．

在求矩阵变换的特征值与特征向量时，要利用定义建立关系．

[对点训练]

3．(2019·镇江市高三调研)求矩阵的特征值及对应的特征向量．

[解] 由题意得矩阵的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)2－1＝λ2－6λ＋8，

由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝4．

设α1＝为λ1＝2对应的特征向量，则，即x1＋y1＝0，故可取为属于特征值λ1＝2的一个特征向量．

同理，设α2＝为λ2＝4对应的特征向量，则，即x2－y2＝0，故可取为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．

综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝2，λ2＝4，属于λ1＝2的一个特征向量为，属于λ2＝4的一个特征向量为．

1．(2019·南师附中、淮阴、海门、天一开学联考)二阶矩阵A有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e＝，并且矩阵A对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A．

[解] 设所求二阶矩阵A＝，则，

所以，

所以，

解方程组得A＝．

2．(2019·南京、盐城模拟)已知矩阵A＝，A的逆矩阵A－1＝．

(1)求a，b的值；

(2)求A的特征值．

 [解] (1)因为AA－1＝＝

＝．

所以

解得a＝1，b＝－．

(2)由(1)得A＝，

则A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)( λ－1)．

令f(λ)＝0，

解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3．

3．(2019·南通市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点A(－1，2)在矩阵M＝对应的变换作用下得到点A′，将点B(3，4)绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．

[解] 设B′(x，y)，

依题意，由 ＝，

得A′(1，2)．

则＝(2，2)，＝(x－1，y－2)．

记旋转矩阵N＝，

则 ＝，

即＝，得

所以点B′的坐标为(－1，4)．

4．(2019·江苏四星级学校联考)设矩阵A＝，已知矩阵A的特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝，特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝，求ad－bc的值．

[解] 由特征值、特征向量的定义可知Aα1＝λ1α1，即 ＝－1×＝，

可得，①

同理可得 ＝4×＝，

即，②

由①②解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1，

因此ad－bc＝2－6＝－4．