2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题七第9讲　不等式选讲

第9讲　不等式选讲

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1．基本不等式与简单的柯西不等式

(1)若a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等号成立．

(2)若a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等号成立．

(3)若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当＝时等号成立．

2．不等式证明的基本方法

比较法，综合法与分析法，反证法与放缩法，数学归纳法都是证明不等式的基本方法，但其中最重要的方法是直接应用基本不等式．

3．含绝对值的不等式

(1)含有绝对值的不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的解，可以用分类讨论法求解．

(2)含绝对值的三角不等式：若a，b∈R，则||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|．

不等式证明

[典型例题]

已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8．

【证明】　由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．

因为a2＋b2＝4，

c2＋d2＝16，

所以(ac＋bd)2≤64，

因此ac＋bd≤8．

(1)对于不等式的证明问题，一般难度不大，只需综合运用不等式的性质和基本不等式等基本知识，以及灵活运用比较法、综合法和分析法即可．一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明，“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法．如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出，则考虑用反证法．

(2)在不等式的证明过程中，至少有一步是放大或缩小的．在放大或缩小时应注意：若从小的一边入手，则只能放大．若从大的一边入手，则只能缩小，放大或缩小要适当．

[对点训练]

1．设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a．

[证明] 因为|x－1|<，|y－2|<，

所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×＋＝a．

用平均不等式或柯西不等式求最值

[典型例题]

(2018·高考江苏卷)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．

【解】　由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2．

因为x＋2y＋2z＝6，

所以x2＋y2＋z2≥4，

当且仅当＝＝时，不等式取等号，

此时x＝，y＝，z＝，

所以x2＋y2＋z2的最小值为4．

运用平均不等式或柯西不等式求最值，关键要对所求的式子或所给条件正确变形，构造使用平均不等式或柯西不等式的条件．

[对点训练]

2．(2019·苏锡常镇四市模拟)求函数y＝＋的最大值．

[解] 因为(＋)2

＝

≤(3－3x＋3x＋2)＝，

所以y＝＋≤．

当且仅当＝，

即x＝时等号成立．

所以y的最大值为．

解绝对值不等式

[典型例题]

(1)(2019·高考江苏卷)设x∈R，解不等式|x|＋|2x－1|>2．

(2)(2019·南京市四校高三模拟)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|．若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．

【解】　(1)当x<0时，原不等式可化为－x＋1－2x>2，解得x<－；

当0≤x≤时，原不等式可化为x＋1－2x>2，即x<－1，无解；

当x>时，原不等式可化为x＋2x－1>2，解得x>1．

综上，原不等式的解集为{x|x<－或x>1}．

(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)，且a≠0，得≥f(x)．

又≥＝2，

则2≥f(x)，

解不等式|x－1|＋|x－2|≤2，

得≤x≤，

即实数x的取值范围为．

解绝对值不等式主要方法是依据绝对值的意义去掉绝对值符号再求解．解题本质是分类讨论思想．

[对点训练]

3．(2019·南京、盐城模拟)解不等式|x＋1|＋|x－2|＜4．

[解] 当x＜－1时，不等式化为－x－1＋2－x＜4，

解得－＜x＜－1；

当－1≤x≤2时，

不等式化为x＋1＋2－x＜4，

解得－1≤x≤2；

当x＞2时，

不等式化为x＋1＋x－2＜4，

解得2＜x＜；  

所以原不等式的解集为．

1．(2019·盐城中学开学考试)解不等式|2x－4|<4－|x|．

[解] 当x＞2时，原不等式同解于2x－4＜4－x，

解得x＜，

所以2＜x＜；

当0≤x≤2时，

原不等式同解于4－2x＜4－x，

解得x＞0，所以0＜x≤2；

当x＜0时，

原不等式同解于4－2x＜4＋x解得x＞0，

所以x∈∅．

综上所述，原不等式的解集为．

2．(2019·江苏四星级学校高三联考)已知a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3．

[证明] 因为|m|＋|n|≥|m－n|，

所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|

＝|2a－1|．

又a≥2，

故|2a－1|≥3．

所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3．

3．(2019·南通模拟)已知a，b，c∈R，4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．

[解] 由柯西不等式，

得[(2a)2＋b2＋(c)2]·≥(2a＋b＋c)2．

因为4a2＋b2＋2c2＝4，

所以(2a＋b＋c)2≤10．

所以－≤2a＋b＋c≤，

所以2a＋b＋c的最大值为，

当且仅当a＝，b＝，c＝时等号成立．

4．(2019·苏北四市高三模拟)设x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3．

[证明] 因为x>0，y>0，x－y>0，

2x＋－2y

＝2(x－y)＋

＝(x－y)＋(x－y)＋

≥3

＝3(当且仅当x－y＝1时等号成立)，

所以2x＋≥2y＋3．