2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题一第2讲　函数的概念、图象与性质

第2讲　函数的概念、图象与性质

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1．必记的概念与定理

(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

(2)单调性：利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．由几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减”的原则．

(3)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．

(4)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．

2．记住几个常用的公式与结论

图象变换规则

(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．

(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．

(3)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．

(4)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．

(5)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．

(6)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．

(7)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．

(8)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0．

(9)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．

3．需要关注的易错易混点

(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集．

(2)从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

(3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

(4)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

函数及其表示

[典型例题]

(1)(2019·高考江苏卷)函数y＝的定义域是________．

(2)函数f(x)＝的值域为________．

【解析】　(1)要使函数有意义，则7＋6x－x2≥0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是[－1，7]．

(2)当x≤0时，函数f(x)＝2x单调递增，此时函数f(x)的值域为(0，1]；当x>0时，函数f(x)＝－x2＋1单调递减，此时函数f(x)的值域为(－∞，1)．故函数f(x)的值域为(－∞，1]．

【答案】　(1)[－1，7]　(2)(－∞，1]

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．

[对点训练]

1．(2018·高考江苏卷)函数f(x)＝的定义域为________．

[解析] 要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞)．

[答案] [2，＋∞)

2．(2019·南京四校第一学期联考)函数f(x)＝的定义域为________．

[解析] 要使f(x)有意义，必须，所以，所以函数f(x)的定义域为∪[3，＋∞)．

[答案] ∪[3，＋∞)

函数的图象及应用

[典型例题]

(1)函数f(x)＝的图象大致为________．

(2)(2019·镇江市高三调研考试)已知函数y＝与函数y＝的图象共有k(k∈N*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，则(xi＋yi)＝________．

【解析】　(1)由f(x)＝，可得f′(x)＝＝，

则当x∈(－∞，0)和x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．又当x<0时，f(x)<0，故②正确．

(2)函数y＝f(x)＝满足f(x)＋f(－x)＝2，则函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，且f(x)在R上单调递增，所以f(x)∈(0，2)．又函数y＝的图象也关于点(0，1)对称，且在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，画出两函数的大致图象如图所示，所以两个函数的图象共有2个公共点，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，且这两个交点关于点(0，1)对称，则(xi＋yi)＝x1＋x2＋y1＋y2＝2．

【答案】　(1)②　(2)2

(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性．

(2)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数问题；利用此法也可由解的个数求参数值．

[对点训练]

3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于________．

[解析] 因为由图象知f(3)＝1，所以＝1．所以f＝f(1)＝2．

[答案] 2

函数的性质

[典型例题]

(1)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于________．

(2)(2019·泰州模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－|x|．当k＝时，函数fk(x)的单调递增区间为______．

【解析】　(1)f(x)＝＝2＋，

设g(x)＝，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0．

因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，

所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4．

(2)由f(x)>，得－1<x<1．由f(x)≤，得x≤－1或x≥1．所以f(x)＝

故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．

【答案】　(1)4　(2)(－∞，－1)

(1)求函数的单调区间的常用方法

①利用已知初等函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

②定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．

③图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

④导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．

(2)函数奇偶性与单调性分别是函数整体与局部的性质，它们往往在研究函数中“并驾”而行，解题时往往先通过函数奇偶性进行变形，再利用单调性求解．

[对点训练]

4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0．若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．

[解析] 因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3．

[答案] (－1，3)

分段函数

[典型例题]

(2018·高考江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．

【解析】　因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4．因为在区间(－2，2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos＝．

【答案】　

求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

[对点训练]

5． (2019·江苏省高考名校联考(三))已知函数f(x)＝当x∈时，恒有f(x＋a)＜f(x)，则实数a的取值范围是________．

[解析] 显然a≠0，故考虑a＞0和a＜0两种情形．①当a＞0时，画图知，函数f(x)在R上单调递增，故f(x＋a)＞f(x)，不符合题意；②当a＜0时，此时f(x)的图象如图所示，由于不等式f(x＋a)＜f(x)中两个函数值对应的自变量相差为－a，因此用弦长为－a的线段“削峰填谷”，可得⊆，即－＜－，即2a2－a－2＜0，解得＜a＜0．

[答案]

6．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R．若f＝f，则f(5a)的值是________．

[解析] 由题意可得f＝f＝－＋a，f＝f＝＝，则－＋a＝，a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－．

[答案] －

1．已知函数f(x)＝若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________．

[解析] 由题意知，f(0)＝20＋1＝2，则f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a，即4＋2a＝4a，所以a＝2．

[答案] 2

2．(2019·江苏省六市高三调研)函数f(x)＝的定义域是________．

[解析] 由题意得解得－2≤x≤2，所以所求函数的定义域为[－2，2]．

[答案] [－2，2]

3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．

[解析] 因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，

所以a－1＋2a＝0，所以a＝．又f(－x)＝f(x)，

所以b＝0，所以a＋b＝．

[答案]

4．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝________．

[解析] 由题意知2f(x)－f(－x)＝3x＋1．①

将①中x换为－x，则有2f(－x)－f(x)＝－3x＋1．②

①×2＋②得3f(x)＝3x＋3，即f(x)＝x＋1．

[答案] x＋1

5．(2019·江苏省高考名校联考信息(八))已知a∈R，函数f(x)＝a－的图象经过点A，则关于x的不等式f(x2＋x)＋f(x－8)<0的解集为______．

[解析] 因为函数f(x)＝a－的图象经过点A(，)，所以f()＝a－＝，解得a＝1，所以f(x)＝1－＝，易知函数f(x)是R上的增函数．又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数，所以关于x的不等式f(x2＋x)＋f(x－8)<0可转化为f(x2＋x)<f(8－x)，所以x2＋x<8－x，即x2＋2x－8<0，解得－4<x<2．

[答案] －4<x<2

6．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝x2＋1，则log2 f(8)＝______．

[解析] 由题意得f(x＋2)＝2f(x)，所以f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝16，所以log2f(8)＝log216＝4．

[答案] 4

7．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于________．

[解析] 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，

当1<x≤2时，f(x)＝x3－2．

因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．

所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6．

[答案] 6

8．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知函数f(x)＝则不等式f(－x2－1)≤f(－x2＋5x)的解集为________．

[解析] 因为－x2－1≤－1＜0，所以f(－x2－1)＝2，当－x2＋5x≤0时，f(－x2－1)＝f(－x2＋5x)＝2，原不等式成立，此时，x≥5或x≤0；当－x2＋5x＞0时，则需f(－x2＋5x)≥2，即(－x2＋5x)2－(－x2＋5x)＋2≥2，－x2＋5x≥4，得1≤x≤4．故原不等式的解集为(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)．

[答案] (－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)

9．(2019·江苏省高考名校联考(五))已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－mx(m∈R)．若函数y＝f(x)在区间(－2，1)上单调递减，则实数m的最小值为________．

[解析] 当x＞0时，f(x)＝x2－mx＝－，所以当m≤0时，函数y＝f(x)在区间(－2，1)上不可能单调递减，所以不满足条件；当m＞0时，根据函数的图象可知，函数y＝f(x)在上单调递减，所以即m≥4，所以实数m的最小值为4．

[答案] 4

10．如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为________(填序号)．

[解析] 当x∈[0，]时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除①，③．

当x∈[，]时，f()＝f()＝1＋，f()＝2．因为2＜1＋，

所以f()＜f()＝f()，从而排除④．

[答案] ②

11．若函数f(x)＝(a≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．

[解] 由f(2)＝1得＝1，

即2a＋b＝2；

由f(x)＝x得＝x，变形得x＝0，

解此方程得x＝0或x＝，

又因方程有唯一解，故＝0，

解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，

所以f(x)＝．

12．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．

(1)若f(x)的图象如图(1)所示，求a，b的值；

(2)若f(x)的图象如图(2)所示，求a、b的取值范围；

(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的范围．

[解] (1)f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，

所以a2＋b＝0，a0＋b＝－2，

解得a＝，b＝－3．

(2)由题图(2)知，f(x)单调递减，所以0<a<1，

又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1．

(3)画出y＝|f(x)|的草图，如图所示，知当m＝0或m≥3时，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解．

13．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；

(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

[解] (1)因为f(x)＝ex－e－x，且y＝ex是增函数，

y＝－e－x是增函数，所以f(x)是增函数．

由于f(x)的定义域为R，

且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(2)由(1)知f(x)是增函数且是奇函数，所以f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立，f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立，x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立，t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立，t2＋t≤(x2＋x)min对一切x∈R恒成立，即t2＋t≤－，(2t＋1)2≤0，所以t＝－．

即存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．

14．(2019·扬州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)．

(1)求f(2 016)的值；

(2)求证：函数f(x)的图象关于直线x＝2对称；

(3)若f(x)在区间[0，2]上是增函数，试比较f(－25)，f(11)，f(80)的大小．

[解] (1)因为f(x－4)＝－f(x)，

所以f(x)＝－f(x－4)＝－{－f[(x－4)－4]}

＝f(x－8)，

知函数f(x)的周期为T＝8．

所以f(2 016)＝f(252×8)＝f(0)．

又f(x)为定义在R上的奇函数．

所以f(0)＝0，故f(2 016)＝0．

(2)证明：因为f(x)＝－f(x－4)，

所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，即f(2＋x)＝f(2－x)成立．

故函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．

(3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，

所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，

f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，

f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．

又f(x)在[0，2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2，2]上为增函数，

则有f(－1)<f(0)<f(1)，

即f(－25)<f(80)<f(11)．