2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题一第1讲　集合与常用逻辑用语

第1讲　集合与常用逻辑用语

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1．必记的概念与定理

(1)四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．

(2)充分条件与必要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

若p⇔q，则p，q互为充要条件．

2．记住几个常用的公式与结论

(1)(A∩B)⊆(A∪B)；

(2)A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B；

(3)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2；

(4)集合的运算：

∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(∁UA)＝A．

3．需要关注的易错易混点

(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．

(2)有些全称命题并不含有全称量词，这时我们要根据命题涉及的意义去判断．对命题的否定，首先弄清楚是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定．

(3)“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者不同，前者是“p⇒q但qp”而后者是“q⇒p，p q”．

集合间的关系及运算

[典型例题]

(1)(2019·高考江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝________．

(2)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．

(3)(2019·苏州第二次质量预测)已知集合P＝{x|y＝，x∈N}，Q＝{x|ln x＜1}，则P∩Q＝________．

【解析】　(1)由交集定义可得A∩B＝{1，6}．

(2)因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为1．

(3)由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0，1，2}．因为ln x＜1，所以0＜x＜e，所以Q＝(0，e)，则P∩Q＝{1，2}．

【答案】　(1){1，6}　(2)1　(3){1，2}

解集合运算问题应注意以下两点

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．

(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．　

[对点训练]

1．(2018·高考江苏卷)已知集合A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，那么A∩B＝________．

[解析] 由集合的交运算可得A∩B＝{1，8}．

[答案] {1，8}

2．(2018·江苏省名校高三入学摸底)已知集合A＝{－1，3，m2}，集合B＝{3，－2m－1}，若B⊆A，则实数m＝________．

[解析] 因为B⊆A，所以m2＝－2m－1或－1＝－2m－1，解得m＝－1或m＝0，经检验均满足题意，

故m＝－1或0．

[答案] －1或0

四种命题及其真假判断

[典型例题]

(1)(2019·苏州第一次质量预测)下列说法正确的是________．

①“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”；

②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题；

③存在x0∈(0，＋∞)，使3x0＞4x0成立；

④“若sin α≠，则α≠”是真命题．

(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．

【解析】　(1)对于①，“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故①错误；对于②，“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，因为当m＝0时，am2＝bm2，所以其逆命题为假命题，故②错误；对于③，由指数函数的图象知，对任意的x∈(0，＋∞)，都有4x＞3x，故③错误；对于④，“若sin α≠，则α≠”的逆否命题为“若α＝，则sin α＝”，且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故④正确．

(2)易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．

【答案】　(1)④　(2)1

一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试　

题时要注意对于一些关键词的否定，等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”，“所有的”的否定是“某些”，“任意的”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，“任意两个”的否定是“某两个”．像这类否定同学们不妨探究一下．

[对点训练]

3．已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．(只填序号)

①否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题　②逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题　③逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题　④逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题

[解析] 命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．

[答案] ④

4．命题“面积相等的三角形是全等三角形”的否定为________，否命题为________．

[答案] 面积相等的三角形不是全等三角形

面积不相等的三角形不是全等三角形

充分条件与必要条件

[典型例题]

(1)若a，b∈R，则“a(a－b)<0”是“>1”的____________．(填写“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中的一个)

(2)已知条件p：－1≤x＋2≤1，q：x≥a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

【解析】　(1)因为>1⇔－1>0⇔>0⇔a(a－b)<0，所以“a(a－b)<0”是“>1”的充要条件．

(2)因为p是q的充分不必要条件，故p⇒q，但qp，即不等式－1≤x＋2≤1的解集是{x|x≥a}的真子集，从而a≤－3．

【答案】　(1)充要条件　(2)(－∞，－3]

判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．　

[对点训练]

5．(2019·湖南湘东五校联考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是________．

①m＞；②0＜m＜1；③m＞0；④m＞1．

[解析] 若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0．

[答案] ③

6．(2019·徐州模拟)若a＝2x，b＝logx，则“a>b”是“x>1”的________条件．

[解析] 如图所示，

当x＝x0时，a＝b．

若a＞b，则得到x＞x0，

且x0＜1，

所以由a＞b不一定得到x＞1，

所以“a＞b”不是“x＞1”的充分条件；

若x＞1，则由图象得到a＞b，

所以“a＞b”是“x＞1”的必要条件．

故“a＞b”是“x＞1”的必要不充分条件．

[答案] 必要不充分

逻辑联结词、全称量词和存在量词

[典型例题]

(1)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定，下列正确的是________．

①∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1

②∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1

③∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

④∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1

(2)已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥2x；命题q：∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0．若命题“p∨q”是真命题，“﹁p∧q”是假命题，则实数a的取值范围为________．

【解析】　(1)改变原命题中的两个地方即可得其否定，∃改为∀，否定结论，即ln x≠x－1．

(2)命题p为真，则a≥2x(x∈[0，1])恒成立，

因为y＝2x在[0，1]上单调递增，所以2x≤21＝2，

故a≥2，即命题p为真时，实数a的取值集合为P＝{a|a≥2}．

若命题q为真，则方程x2＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a≥0，解得a≤4．

故命题q为真时，实数a的取值集合为Q＝{a|a≤4}．

若命题“p∨q”是真命题，那么命题p，q至少有一个是真命题；

﹁由“﹁p∧q”是假命题，可得﹁p与q至少有一个是假命题．

①若p为真命题，则﹁p为假命题，q可真可假，

此时实数a的取值范围为[2，＋∞)；

②若p为假命题，则q必为真命题，此时，“﹁p∧q”为真命题，不合题意．

综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)．

【答案】　(1)③　(2)[2，＋∞)

全称命题(存在性命题)的否定是其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则是直接否定结论．

[对点训练]

7．(2019·无锡市高三上学期期末考试)命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是“________，x2＜4”．

[解析] 由全称命题的否定是存在性命题得，命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是“∃x≥2，x2＜4”，故填∃x≥2．

[答案] ∃x≥2

8．下列四个命题：

①∃x∈R，使sin x＋cos x＝2；

②对∀x∈R，sin x＋≥2；

③对∀x∈，tan x＋≥2；

④∃x∈R，使sin x＋cos x＝．

其中正确命题的序号为________．

[解析] 因为sin x＋cos x＝sin∈[－， ]；

故①∃x∈R，使sin x＋cos x＝2错误；

④∃x∈R，使sin x＋cos x＝正确；

因为sin x＋≥2或sin x＋≤－2，

故②对∀x∈R，sin x＋≥2错误；

③对∀x∈，tan x>0，>0，由基本不等式可得tan x＋≥2正确．

[答案] ③④　

1．(2019·江苏名校高三入学摸底)设集合A＝{－2，2}，B＝{x|x2－3x－4≥0}，则A∩(∁RB)＝______．

[解析] 由B＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，得∁RB＝{x|－1<x<4}，又A＝{－2，2}，所以A∩(∁RB)＝{2}．

[答案] {2}

2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____________．

[答案] 任意一个无理数，它的平方不是有理数

3．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________．

[解析] 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．

[答案] 若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

4．(2019·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________．

①∃x∈R，x＋＝2；

②∃x∈R，sin x＝－1；

③∀x∈R，x2>0；

④∀x∈R，2x>0．

[解析] 对于①x＝1成立，对于②x＝成立，对于③x＝0时显然不成立，对于④，根据指数函数性质显然成立．

[答案] ①②④

5．已知U＝R，A＝{1，a}，B＝{a2－2a＋2}，a∈R，若(∁UA)∩B＝∅，则a＝______．

[解析] 由题意知B⊆A，所以a2－2a＋2＝1或a2－2a＋2＝a．当a2－2a＋2＝1时，解得a＝1；当a2－2a＋2＝a时，解得a＝1或a＝2．当a＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a＝2时，满足题意．所以a＝2．

[答案] 2

6．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

[解析] ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得－3≤a<0；

所以－3≤a≤0．

[答案] －3≤a≤0

7．(2019·南京调研)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为________．

[解析] 因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}＝(－1，1)，∁RA＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则u＝1－x2∈(0，1]，

所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}＝(－∞，0]，∁RB＝(0，＋∞)，

所以题图阴影部分表示的集合为(A∩∁RB)∪(B∩∁RA)＝(0，1)∪(－∞，－1]．

[答案] (0，1)∪(－∞，－1]

8．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知集合P＝{x|x≤a}，Q＝，若P∩Q＝Q，则实数a的取值范围是________．

[解析] 由Q＝，得Q＝{1，2}，又P∩Q＝Q，所以a≥2，即实数a的取值范围是[2，＋∞)．

[答案] [2，＋∞)

9．若∃θ∈R，使sin θ≥1成立，则cos的值为________．

[解析] 由题意得sin θ－1≥0．又－1≤sin θ≤1，

所以sin θ＝1．

所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．故cos＝．

[答案]

10．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知x≠0，x∈R，则“<1”是“3x>9”的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)

[解析] 由<1得x>2或x<0．由3x>9得x>2，所以由“3x>9”可以得“<1”，反之却无法得到，所以“<1”是“3x>9”的必要不充分条件．

[答案] 必要不充分

11．给出以下三个命题：

①若ab≤0，则a≤0或b≤0；

②在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；

③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．

其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)

[解析] 在△ABC中，由正弦定理得sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B．故填②．

[答案] ②

12．(2019·南京高三模拟)下列说法正确的序号是________．

①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；

②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；

③命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题；

④命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”．

[解析] 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以①不正确．由x＝－1，能够得到x2－5x－6＝0，反之，由x2－5x－6＝0，得到x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，所以②不正确．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③正确．命题“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，所以④不正确．

[答案] ③

13．若命题“∀x∈[－1，1]，1＋2x＋a·4x<0”是假命题，则实数a的最小值为 __________．

[解析] 变形得a<－＝－＋，

令t＝，则a<－＋，

因为x∈[－1，1]，所以t∈，

所以f(t)＝－＋在上是减函数，

所以[f(t)]min＝f(2)＝－＋＝－6，

又因为该命题为假命题，

所以a≥－6，

故实数a的最小值为－6．

[答案] －6

14．(2019·江苏四星级学校高三联考)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，则集合P*Q中元素的个数为________．

[解析] 法一(列举法)：当b＝0时，无论a取何值，z＝ab＝1；当a＝1时，无论b取何值，ab＝1；当a＝2，b＝－1时，z＝2－1＝；当a＝2，b＝1时，z＝21＝2．故P*Q＝，该集合中共有3个元素．

法二(列表法)：因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1，2；b的取值只能为－1，0，1．z＝ab的不同运算结果如下表所示：

由上表可知P*Q＝，显然该集合中共有3个元素．

[答案] 3