2020届高考数学二轮教师用书:层级二专题七第1讲 选修4-4:坐标系与参数方程
展开第1讲 选修4-4:坐标系与参数方程
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高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
[真题体验]
1.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,A到l1 所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.
2.(2019·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ+11=0.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
解:(1)曲线C参数方程为
由①2+2得
x2+2=1,又∵-1<≤1,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+=1(x≠-1).
由,得直线l的直角坐标方程为2x+y+11=0.
(2)C上的点(cos θ,2sin θ)到直线l的距离d==
当sin=-1时,dmin=.
即C上的点到l距离的最小值为.
[主干整合]
1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,
且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
2.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
(1)直线过极点:θ=α;
(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴;ρcos θ=a;
(3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.
3.圆的极坐标方程
几个特殊位置的圆的极坐标方程:
(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
(2)当圆心位于M(r,0),半径为r:ρ=2rcos θ;
(3)当圆心位于M,半径为r:ρ=2rsin θ.
4.直线的参数方程
经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).
设P是直线上的任一点,则t表示有向线段的数量.
5.圆、椭圆的参数方程
(1)圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π).
(2)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数).
热点一 极坐标方程及其应用
数学 运算 素养 | 数学运算——极坐标应用问题中的核心素养 数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程,在极坐标应用中加强运算求解能力和转化与化归思想. |
[例1] (2019·全国Ⅲ卷)
如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圆的圆心分别是(1,0),,(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.
(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;
(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.
[审题指导] (1)依据条件直接写出圆的极坐标方程,因为是圆弧,所以要对极角θ进行范围限制.
(2)根据点P在三段圆弧上的不同情况分类讨论,由|OP|=分别求出极角,从而确定点P的极坐标.
[解] (1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.
所以M1的极坐标方程为ρ=2cos θ,M2的极坐标方程为ρ=2sin θ,M3的极坐标方程为ρ=-2cos θ.
(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知
若0≤θ≤,则2cos θ=,解得θ=;
若≤θ≤,则2sin θ=,解得θ=或θ=;
若≤θ≤π,则-2cos θ=,解得θ=.
综上,P的极坐标为或或或.
极坐标方程问题的求解方法
有关曲线的极坐标方程的问题中,常见的有直线与圆的交点问题,圆心到直线的距离问题等.一般情况下,解决的方案是:化极坐标方程为平面直角坐标方程,然后用平面解析几何的方法解决问题,必要时,还要把结果返回到极坐标系中.
(2018·江苏卷)在极坐标系中,直线l的方程为ρsin(-θ)=2,曲线C的方程为ρ=4cos θ,求直线l被曲线C截得的弦长.
解:
因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,
所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为ρsin(-θ)=2,
则直线l过A(4,0),倾斜角为,
所以A为直线l与圆C的一个交点.
设另一个交点为B,则∠OAB=.
连结OB.因为OA为直径,从而∠OBA=,
所以AB=OA·cos∠OAB=4cos=2.
因此,直线l被曲线C截得的弦长为2.
热点二 参数方程及其应用
[例2] (2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
[审题指导] (1)直接消去参数可得曲线的直角坐标方程,注意对相关系数的分类讨论;
(2)利用直线参数方程中参数的几何意义求解.
[解析] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数),
∴+=1.
直线l的参数方程为(t为参数)
∴=tan α(α≠90°),即tan α·x-y+2-tan α=0,当α=90°时,x=1.
综上,l:
(2)当α=90°,点(1,2)不为中点,∴不成立.
当a≠90°,把l代入曲线C中得:4x2+[tan α·(x-1)+2]2=16,
化简得:(4+tan2α)x2+(4tan α-2tan2α)x+tan2α-4tan α-12=0,
∵点(1,2)为弦的中点,∴x1+x2=2,即=2,
∴tan α=-2,∴直线l的斜率k=-2.
参数方程与普通方程的互化及应用技巧
(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.但在消参时要注意参数范围等价变形.
(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.
(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为,(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
解析:(1)⊙O的普通方程为x2+y2=1.
当α=时,l与⊙O交于两点.
当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-.l与⊙O交于两点且当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.
综上,α的取值范围是.
(2)l的参数方程为(t为参数,<α<).
设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,
且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0.
于是tA+tB=2sin α,tP=sin α.
又点P的坐标(x,y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是(α为参数,<α<).
热点三 极坐标与参数方程的综合应用
[例3] (2020·广东七校联考)已知椭圆C:(φ为参数),A,B是椭圆C上的动点,且满足OA⊥OB(O为坐标原点).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点D的极坐标为.
(1)求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程.
(2)利用椭圆C的极坐标方程证明+为定值,并求△AOB面积的最大值.
[审题指导] (1)利用参数法求出轨迹E的参数方程,再化为普通方程即可;(2)求出椭圆C的极坐标方程,由题设条件设出A,B两点的极坐标,代入椭圆C的极坐标方程即可证明+为定值,利用极坐标建立关于△AOB面积的函数解析式,从而求出△AOB面积的函数解析式,从而法度出△AOB面积的最大值.
[解析] (1)点D的直角坐标为(2,2).
由题意可设点A的坐标为(2cos α,sin α),
则AD的中点M的坐标为,
所以点M的轨迹E的参数方程为(α为参数),消去α可得E的普通方程为(x-1)2+4(y-)2=1.
(2)椭圆C的普通方程为+y2=1.
化为极坐标方程得ρ2+3ρ2sin2θ=4,变形得ρ=.
由OA⊥OB,不妨设A(ρ1,θ),B,
所以+=+=+==(定值).
所以△AOB的面积S=ρ1ρ2
==
=
易知当sin 2θ=0时,△AOB的面积取得最大值1.
1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
2.数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.
(2020·惠州质检)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数),
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.
解析:(1)由ρ=4cos θ得其直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)将代入圆C的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-2tcos α-3=0.
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,
则
∴|AB|=|t1-t2|=
==,
∴4cos2α=2,故cos α=±,即α=或.
限时45分钟 满分50分
解答题(本大题共5小题,每小题10分,共50分)
1.(2020·惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ+2sin θ,直线l1:θ=(ρ∈R),直线l2:θ=(ρ∈R).以极点O为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求直线l1,l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程;
(2)若直线l1与曲线C交于O,A两点,直线l2与曲线C交于O,B两点,求△AOB的面积.
解析:(1)依题意,直线l1的直角坐标方程为y=x,直线l2的直角坐标方程为y=x.
由ρ=2cos θ+2sin θ得ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ,
因为ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,
所以(x-)2+(y-1)2=4,
所以曲线C的参数方程为(α为参数).
(2)联立得所以|OA|=4,
同理,|OB|=2.
又∠AOB=,
所以S△AOB=·|OA|·|OB|·sin∠AOB=×4×2×=2,
即△AOB的面积为2.
2.(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.
(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
解:(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=时,ρ0=4sin =2.由已知得|OP|=|OA|cos =2.
设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点,在Rt△OPQ中,ρcos =|OP|=2.
经检验,点P在曲线ρcos =2上.
所以,l的极坐标方程为ρcos =2.
(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,则ρ=4cos θ,
因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是.
所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,
θ∈.
3.(2020·成都摸底)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2(1+2cos2θ)=3.
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)设点M(1,1),若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,求|AM|+|BM|的值.
解析:(1)由直线l的参数方程消去参数t,得x-1=(y-1),
化简,得直线l的普通方程为x-y+1-=0.
曲线C的极坐标方程可化为ρ2+2ρ2cos2θ=3,
∴(x2+y2)+2x2=3,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+=1.
(2)由题易知,点M在直线l上.
将直线l的参数方程代入x2+=1,得2+2=1,
化简,得t2+2t+=0,
此时Δ=+>0,
此方程的两根为直线l与曲线C的交点A,B对应的参数t1,t2.
由根与系数的关系,得t1+t2=-,t1t2=,
∴|AM|+|BM|=|t1|+|t2|=-t1-t2=2+.
4.(2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中α为参数),曲线C2:(x-1)2+y2=1,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程.
(2)若射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.
解析:(1)因为曲线C1的参数方程为(其中α为参数),
所以曲线C1的普通方程为x2+(y-2)2=4.
因为曲线C2:(x-1)2+y2=1,
所以把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-1)2+y2=1,
得到曲线C2的极坐标方程(ρcos θ-1)2+(ρsin θ)2=1,化简得ρ=2cos θ.
(2)依题意设A,B,
因为曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρsin θ-3=0,
将θ=(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,
得ρ2-2ρ-3=0,解得ρ1=3,
同理,将θ=(ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程,
得ρ2=,所以|AB|=|ρ1-ρ2|=3-.
5.(2020·长春模拟)已知曲线C1的参数方程为(θ为参数),以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ=4cos θ.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)若过点F(1,0)的直线l与C1交于A,B两点,与C2交于M,N两点,求的取值范围.
解析:(1)曲线C1的普通方程为+y2=1,
曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.
(2)设直线l的参数方程为(t为参数),
因为直线l与曲线C2:y2=4x有两个交点,因此sin α≠0.
联立直线l与曲线C1:+y2=1,
可得(1+sin2α)t2+2tcos α-1=0,
则|FA|·|FB|=|t1t2|=,
联立直线l与曲线C2:y2=4x,
可得t2sin2α-4tcos α-4=0,
则|FM|·|FN|=|t3t4|=,
所以==·
=·∈.