2020届高考数学二轮教师用书：层级二专题一第2讲　基本初等函数、函数与方程

第2讲　基本初等函数、函数与方程

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1．掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质．

2．以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理．

3．能利用函数解决简单的实际问题．

[真题体验]

1．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.

解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)．且f(3)＝1，∴f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，∴a＝－7.

答案：－7

2．(全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)

A．－　　　　　　　　 B.

C.  D．1

解析：C　[x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，当g′(x)＝0时，x＝1，当x＜1时，g′(x)＜0函数单调递减，当x＞1时，g′(x)＞0，函数单调递增，当x＝1时，函数取得最小值g(1)＝2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数取得最小值－1，若－a＞0，函数h(x)，和ag(x)没有交点，当－a＜0时，－ag(1)＝h(1)时，此时函数h(x)和ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1⇒a＝，故选C.]

3．(2019·全国Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)

A．a＜b＜c  B．a＜c＜b

C．c＜a＜b  D．b＜c＜a

解析：B　[∵a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，

0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴b＞c＞a.选B.]

4．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)  B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)  D．[1，＋∞)

解析：C　[令g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，则f(x)＝－x－a，

要使g(x)存在2个零点，则需y＝f(x)与y＝－x－a有两个交点，画出函数f(x)和y＝－x－a的图象如图所示，则需－a≤1，∴a≥－1.]

[主干整合]

1．指数式与对数式的七个运算公式

(1)am·an＝am＋n；

(2)(am)n＝amn；

(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(4)loga＝logaM－logaN；

(5)logaMn＝nlogaM；

(6)alogaN＝N；

(7)logaN＝(注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0)．

2．指数函数与对数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象和性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况，当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．

3．函数的零点问题

(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．

(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．

4．应用函数模型解决实际问题的一般程序

⇒⇒⇒.

热点一　基本初等函数的图象与性质

[例1]　(1)(2019·济南三模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

[解析]　B　[由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，

∴a＞1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．

因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.]

(2)(2019·郑州三模)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g(x)＝在R上有最大值，则a的取值范围为(　　)

A.　　　　　 B.

C.  D.∪

[解析]　A　[∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，

∴∴a≤－，∵a(a＋1)≠0，

∴|a|∈∪(1，＋∞)．当x≤时，g(x)＝4x∈(0,2]，

又g(x)＝在R上有最大值，则当x＞时，log|a|x≤2，且|a|∈，∴log|a|≤2，∴|a|2≤，则|a|≤，又a≤－，∴－≤a≤－.]

(3)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＜c＜b  B．a＜b＜c

C．b＜c＜a  D．c＜a＜b

[解析]　A　[利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．

a＝log52＜log5＜，

b＝log0.50.2＞log0.50.25＝2，

0．51＜0.50.2＜0.50，故＜c＜1，

所以a＜c＜b.故选A.]

基本初等函数的图象与性质的应用技巧

(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数；当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．

(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．

(1)

(2020·银川模拟)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)

解析：B　[∵函数y＝logax过点(3,1)，

∴1＝loga3，解得a＝3，

由于y＝3－x不可能过点(1,3)，故选项A错误；

由于y＝x3过定点(1,1)，故选项B正确；

由于y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1,1)，故选项C错误；由于y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，故选项D错误．故选B.]

(2)(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)

A．f＞f＞f

B．f＞f＞f

C．f＞f＞f

D．f＞f＞f

解析：C　[本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．∵f(x)是R的偶函数，∴f＝f(log34)．

∴log34＞1＝20＞2－＞2－，又f(x)在(0，＋∞)单调递减，f(log34)＜f＜f，

∴f＞f＞f，故选C.]

热点二　函数的零点与方程的根

　　　确定函数零点的个数或其存在区间

[例2－1]　(1)(2019·南昌调研)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

[解析]　B　[(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图象的交点个数．在同一坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝的图象，易知有2个交点．]

(2)(2020·兰州模拟)方程ln(x＋1)－＝0(x＞0)的根存在的大致区间是(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2，e)  D．(3,4)

[解析]　B　[设f(x)＝ln(x＋1)－，

易f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2＜0，

而f(2)＝ln 3－1＞0，

所以函数f(x)的零点所在区间为(1,2)．

所以B选项正确．]

判断函数零点个数的方法

(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．

(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．

(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．

根据零点情况求参数范围

[例2－2]　(1)(2020·四川凉山诊断)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1]  B．[1，＋∞)

C．(0,1)∪(1,2)  D．(－∞，1)

[解析]　A　[∵函数f(x)＝(a∈R)在R上有两个零点，且x＝是函数f(x)的一个零点，

∴方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解，

再根据当x∈(－∞，0]时，0＜2x≤20＝1，可得0＜a≤1.故选A.]

(2)(2019·山东济南三模)已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．

[解析]　

∵偶函数f(x)满足f(x－1)＝，

且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，

∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝＝f(x)，

∴函数f(x)的周期为2，在区间[－1,3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．

当0＜a＜1时，函数图象无交点，数形结合可得a＞1且解得3＜a＜5.

[答案]　(3,5)

利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．

(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．

(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

(1)(2019·武昌二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2 018x＋log2 018x，则函数f(x)的零点个数为________．

解析：

在同一直角坐标系中作出函数y＝2 018x和y＝－log2 018x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2 018x＋log2 018x在x∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，

∴函数f(x)的零点个数是3.

答案：3

(2)(2020·张家界模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－k＝0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是________________．

解析：画出函数f(x)＝的图象如图所示，结合图象可以看出当0≤k＜1或k＞2时符合题设．

答案：[0,1)∪(2，＋∞)

热点三　函数的实际应用

[例3]　(1)(2020·凉山诊断)某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元．从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

[解析]　C　[(1)设总运费为y元，甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6－x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8－x)台电脑至B地，调运12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)至A地．则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，∴y＝20x＋960(0≤x≤6，x∈N)．若y≤1 000，则20x＋960≤1 000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N.∴0≤x≤2，x∈N.∴x＝0,1,2，即有3种调运方案．]

(2)(2020·湖南名校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．

[解析]　前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，则(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即需要花费10小时．

[答案]　10

解决函数实际应用题的两个关键点

(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．

(2)要合理选取参数变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．

(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A．1010.1  B．10.1

C．lg10.1  D．10－10.1

解析：A　[考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算．

两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，

令m2＝－1.45，m1＝－26.7，

lg＝(m2－m1)＝(－1.45＋26.7)＝10.1，

＝1010.1，故选A.]

限时40分钟　满分80分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2019·云南检测)设a＝60.7，b＝log70.6，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c＞b＞a　　　　　　　　 B．b＞c＞a

C．c＞a＞b  D．a＞c＞b

解析：D　[因为a＝60.7＞1，b＝log70.6＜0,0＜c＝log0.60.7＜1，所以a＞c＞b.]

2．(北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(　　)

(参考数据：lg 3≈0.48)

A．1033  B．1053

C．1073  D．1093

解析：D　[设＝x＝，两边取对数，lg x＝lg＝lg3361－lg1080＝361×lg 3－80＝93.28，所以x＝1093.28，即最接近1093，故选D.]

3．(2020·安徽皖中名校联考)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)  B．(－∞，a)和(a，b)

C．(b，c)和(c，＋∞)  D．(－∞，a)和(c，＋∞)

解析：A　[由题意可得f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，则由零点存在性定理可知，选A.]

4．(2019·铁人中学期中)函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当－1≤x≤1时，f(x)＝|x|.若y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象有且仅有四个交点，则a的取值集合为(　　)

A．{4,5}  B．{4,6}

C．{5}  D．{6}

解析：C　[函数f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，画出函数f(x)的图象(图略)，数形结合可知，当g(x)的图象过点(5,1)时，f(x)的图象与g(x)＝logax的图象仅有四个交点，则g(5)＝loga5＝1，得a＝5.故选C.]

5．(2020·广西三校)函数f(x)＝x2lg的图象(　　)

A．关于x轴对称  B．关于原点对称

C．关于直线y＝x对称  D．关于y轴对称

解析：B　[因为f(x)＝x2lg，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f(－x)＝x2lg＝－x2lg＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．]

6．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每次提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件(　　)

A．100元  B．110元

C．150元  D．190元

解析：D　[设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000＝－5(x－90)2＋60 500.故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．]

7．(2020·深圳模拟)已知函数f(x)＝ln x－2[x]＋3，其中[x]表示不大于x的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f(x)的零点个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：B　[设g(x)＝ln x，h(x)＝2[x]－3，当0＜x＜1时，h(x)＝－3，作出图象，

两个函数图象有一个交点，即f(x)有一个零点；

当2≤x＜3时，h(x)＝1，ln 2≤g(x)＜ln 3.

此时两函数图象有一个交点，即f(x)有一个零点，

当x≥3以后，两函数图象无交点，

综上，共有两个零点．]

8．(2020·贵阳模拟)某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.若采用函数f(x)＝作为奖励函数模型，则最小的正整数a的值为(　　)

A．310  B．315

C．320  D．325

解析：B　[对于函数模型f(x)＝＝15－，a为正整数，函数在[50,500]上单调递增，f(x)min＝f(50)≥7，得a≤344，要使f(x)≤0.15x对x∈[50,500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50,500]恒成立，所以a≥315.综上，最小的正整数a的值为315.]

9．(山东卷)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2 的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)

A．(0,1]∪[2，＋∞)  B．(0,1]∪[3，＋∞)

C．(0，]∪[2，＋∞)  D．(0，]∪[3，＋∞)

解析：B　[当0＜m≤1时，≥1，y＝(mx－1)2单调递减，且y＝(mx－1)2∈[(m－1)2,1]，y＝＋m单调递增，且y＝＋m∈[m,1＋m]，此时有且仅有一个交点；当m＞1时，0＜＜1，y＝(mx－1)2在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m－1)2≥1＋m⇒m≥3，选B.]

10．(2020·长春模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1,1)  B．[0,2]

C．[－2,2)  D．[－1,2)

解析：D　[∵f(x)＝

∴g(x)＝f(x)－2x＝

而方程－x＋2＝0的解为2，方程x2＋3x＋2＝0的解为－1，－2；若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则解得－1≤a＜2，实数a的取值范围是[－1,2)．故选D.]

11．(2019·长春质量监测)已知函数f(x)＝与g(x)＝1－sin πx，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2,6]上的所有零点的和为(　　)

A．4  B．8

C．12  D．16

解析：D　[令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)＝1＋与g(x)＝1－sin πx的图象，如图所示．f(x)，g(x)的图象都关于点(2,1)对称，结合图象可知f(x)与g(x)的图象在[－2,6]上共有8个交点，交点的横坐标即F(x)＝f(x)－g(x)的零点，且这些交点关于直线x＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16，故选D.]

12．(2020·烟台模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)＜0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝30.3·f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝·f，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c  B．c＞a＞b

C．c＞b＞a  D．a＞c＞b

解析：B　[因为当x∈(－∞，0)时不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，即[xf(x)]′＜0，

所以g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上是减函数．

又因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，

所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，

所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，

所以g(x)＝xf(x)是定义在R上的偶函数，

所以g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函数．

又因为30.3＞1＞logπ3＞0＞log3＝－2，

2＝－log3＞30.3＞1＞logπ3＞0，

所以f＞30.3·f(30.3)＞(logπ3)·f(logπ3)，即f＞30.3·f(30.3)＞(logπ3)·f(logπ3)，即c＞a＞b，故选B.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2020·福建三明模拟)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：分)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降到40 ℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，还需要________分钟．

解析：由已知可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，则40－24＝(88－24)×，解得h＝10.当咖啡从40 ℃降温到32 ℃时，可得32－24＝(40－24)×，解得t＝10.故还需要10分钟．

答案：10

14．(2020·湖南省四校联考)已知函数f(x)＝lg x＋x－9在区间(n，n＋1)(n∈Z)上存在零点，则n＝________.

解析：易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域内单调递增，由零点存在性定理知，若函数f(x)在区间(n，n＋1)(n∈Z)上存在零点，则有又f(4)＝lg 4＋6－9＝lg 4－3＜0，f(5)＝lg 5＋－9＝lg 5－＜0，f(6)＝lg 6＋9－9＝lg 6＞0，所以函数f(x)在(5,6)上存在零点，所以n＝5.

答案：5

15．(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．

解析：∵λ＝2，

∴f(x)＝

当x≥2时，x－4＜0得2≤x＜4.

当x＜2时，x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜2.

综上不等式的解集为1＜x＜4.

当y＝x2－4x＋3有2个零点时，λ＞4.

当y＝x2－4x＋3有1个零点时，y＝x－4有1个零点，1＜λ≤3.

∴1＜λ≤3或λ＞4.

答案：(1,4)；(1,3]∪(4，＋∞)

16．(2019·合肥调研)已知f(x)＝(其中a＜0，e为自然对数的底数)，若g(x)＝f[f(x)]在R上有三个不同的零点，则a的取值范围是____________．

解析：

令t＝f(x)，所以g(x)＝f(t)，g(x)＝f[f(x)]在R上要有三个不同的零点，则f(t)＝0必有两解，所以－2≤a＜0，所以f(x)的大致图象如图所示，又f(x)的零点为x1＝0，x2＝－2，所以y＝f(t)必有两个零点，t1＝－2和t2＝0，而x≤a时，f(x)min＝a2－4，所以要使y＝f(t)的两个零点都存在，则a2－4≤－2，否则t1＝－2这个零点就不存在，故a2≤2，所以－≤a＜0.

答案：[－，0)