2020届高考数学二轮教师用书：层级一第一练集合与常用逻辑用语、算法


　

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1．集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小．命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题．
2．常用逻辑用语：重点考查含有量词的命题的否定，充分必要条件的判断，常与不等式、平面向量等交汇．
3．算法：重点考查程序框图、循环结构和算法思想，难度为中低档．

[真题体验]
1．(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　)
A．{－1,0,1}　　　　　　　 B．{0,1}
C．{－1,1} D．{0,1,2}
解析：A　[本题考查了集合交集的求法，是基础题．由题意得，B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1,0,1}．故选A.]
2．(山东卷)已知命题p：∃x∈R, x2－x＋1≥0；命题q：若a2 A．p∧q B．p∧q
C.p∧q D．p∧q
解析：B　[由x＝0时x2－x＋1≥0成立知p是真命题，由12＜(－2)2，但1＞(－2)可知q是假命题，故选B.]
3．(2019·北京卷)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：C　[本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查．b＝0时，f(x)＝cos x＋bsin x＝cos x，f(x)为偶函数；
f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)对任意的x恒成立，
f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x－bsin x
cos x＋bsin x＝cos x－bsin x，得bsin x＝0对任意的x恒成立，从而b＝0.从而“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件，故选C.]
4．(2019·全国Ⅰ卷)

如图是求的程序框图，图中空白框中应填入(　　)
A．A＝
B．A＝2＋
C．A＝
D．A＝1＋
解析：A　[∵k＝1，A＝，
k＝2，A＝，故A＝，选A.]
[主干整合]
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．充分条件与必要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
从逻辑观点看
从集合观点看
p是q的充分不必要条件(p⇒q，qp)
AB
p是q的必要不充分条件(q⇒p，pq)
BA
p是q的充要条件(p⇔q)
A＝B
p是q的既不充分也不必要条件(pq，qp)
A与B互不包含
3.简单的逻辑联结词
(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真才为真；p
和p为真假对立的命题．
(2)命题p∨q的否定是(p)∧(q)；命题p∧q的否定是(p)∧(q)．
4．全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定为p：∃x0∈M，p(x0)．
(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定为 p：∀x∈M， p(x)．
5．程序框图的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：如图(1)所示．
(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．
(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．


热点一　集合的关系与运算
[题组突破]
1．(2020·安徽皖东名校联盟联考)已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|(x－1)(3－x)＞0}，则A∩(∁RB)＝(　　)
A．(－2,3)　　　　　　　　 B．(－2,1)
C．(－2,1] D．(1,2)
解析：C　[由题意知，B＝{x|1＜x＜3}，∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，则A∩(∁RB)＝(－2,1]．]
2．(2020·河北九校联考)已知集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|x2－x＜0}，则下列结论正确的是(　　)
A．M∪N＝R B．M∪(∁RN)＝R
C．N∪(∁RM)＝R D．M∩N＝M
解析：B　[因为N＝{x|x2－x＜0}＝{x|0＜x＜1}，所以∁RN＝{x|x≤0，或x≥1}，所以M∪(∁RN)＝R.故选B.]
3．(2020·湖北六校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6＜0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|x＜3} B．{x|－3＜x≤1}
C．{x|x＜2} D．{x|－2＜x≤1}
解析：D　[依题意得A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2＜x＜3}，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|－2＜x≤1}，选D.]
4．(2019·兰州三模)已知集合A＝{x|x2≥16}，B＝{m}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4) B．[4，＋∞)
C．[－4,4] D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析：D　[A∪B＝A⇔B⊆A，集合A＝(－∞，－4]∪[4，＋∞)，所以m≤－4或者m≥4，
即m的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．故选D.]
5．(2020·衡水模拟)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素个数是(　　)
A．3 B．4
C．8 D．9
解析：B　[根据给出的新定义A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素有：(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)共4个，此时log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1均为自然数，共4个．]
6．(双空填空题)已知U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，则∁UA＝______，∁UB＝________.
答案：{x|x是直角三角形或钝角三角形}　{x|x是不等腰三角形}

　
集合运算的常用方法
(1)若给定的集合是不等式的解集，则用数轴求解；
(2)若给定的集合是点集，则用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，则用Venn图求解．

在写集合的子集时，易忽略空集：在应用A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．
热点二　常用逻辑用语
命题的真假判断与否定
[例1]　(1)(2020·西安模拟)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则(　　)
A．p是假命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0
C．p是真命题； p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0
[解析]　B　[(1)∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，∴p是假命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0.故应选B.]
(2)(2020·贵阳模拟)已知：命题p：若函数f(x)＝x2＋|x－a|是偶函数，则a＝0；命题q：∀m∈(0，＋∞)，关于x的方程mx2－2x＋1＝0有解，在①p∨q；②p∧q；③( p)∧q；④(p)∨(q)中，为真命题的是(　　)
A．②③　　　　　　　　　 B．②④
C．③④ D．①④
[解析]　D　[因为f(－x)＝f(x)，所以1＋|a＋1|＝1＋|a－1|，解得a＝0，故命题p为真命题；又因为当Δ＝4－4m≥0，即m≤1时，方程有解，所以q为假命题．
所以p∨q与(p)∨( q)为真命题，故选D.]
(3)(2018·北京卷)能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组，a，b的值依次为________．
[解析]　使“若a＞b，则＜”为假命题，
则使“若a＞b，则≥”为真命题即可
只需让a＝1，b＝－1即可满足
所以满足条件的一组a，b的值为1，－1(答案不唯一)
[答案]　1，－1

1．全称命题与特称命题真假的判定
(1)全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；
(2)特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
2．对含有量词的命题进行否定时注意：只改全称量词为存在量词、存在量词为全称量词，并否定结论，特别注意不要否定量词后面的内容，如本例(1)中不要否定∃x∈R中的x∈R.
充分、必要条件的判断
逻辑推
理素养
充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养.
[例2]　(1)(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
[解析]　B　[若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.]
(2)(2020·泉州调研)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　C　[法一：∵数列{an}是公差为d的等差数列，
∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，
∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.
若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，
即S4＋S6＞2S5.
若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，
即21d＞20d，
∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充分必要条件．故选C.
法二：∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0，∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充分必要条件．故选C.]
(3)(2019·潍坊三模)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　A　[因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，
所以 p：x＋y＝－2，q：x＝－1，且y＝－1，
因为 q⇒ p但 p q，所以 q是 p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．]

充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题，如 p是 q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件； p是 q的充要条件⇔p是q的充要条件．

(1)(2020·陕西西安中学质检)下列命题中，假命题是(　　)
A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∃x0∈N*，(x0－1)2＞0
C．∀x∈R，lg x＜1 D．∃x0∈R，tan x0＝2
解析：C　[对于C，x＝10时，lg 10＝1，是假命题．]
(2)(2019·日照三模)设向量a＝(x－1,1)，b＝(3，x＋1)，则“a∥b”是“x＝2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：C　[∵a∥b，∴x2－1＝3，即x＝±2，∴“a∥b”是“x＝2”的必要不充分条件．故选C.]
(3)(2020·江西抚州七校联考)若命题“∃x0∈R，x＋2mx0＋m＋2＜0”为假命题，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C．[－1,2]
D．(－1,2)
解析：C　[命题的否定是“∀x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m2－4(m＋2)≤0，解得－1≤m≤2.]
(4)(双空填空题)已知集合{a，b，c}＝{－1,0,1}，且下列三个关系：①a≠1；②b＝1；③c≠－1有且只有一个正确，则b＝________，c＝________.
解析：依题意可分下列三种情况：(1)若只有①正确，则a≠1，b≠1，c＝－1，此时a＝b＝0，与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；
(2)若只有②正确，则b＝1，a＝1，c＝－1，此时a＝b＝1，与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；
(3)若只有③正确，则c≠－1，a＝1，b≠1，此时b＝－1，c＝0，所以满足题意．
答案：－1　 0
热点三　算法
[题组突破]
1．(2019·全国Ⅲ卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于(　　)

A．2－　　　　　　　　　 B．2－
C．2－ D．2－
解析：C　[循环运算，何时满足精确度成为关键，加大了运算量，输出前项数需准确，此为易错点．x＝1，S＝0，S＝0＋1，x＝＜0.01？不成立
S＝0＋1＋，x＝＜0.01？不成立
……
S＝0＋1＋＋…＋，x＝＝0.0078125＜0.01？成立
输出S＝1＋＋…＋＝＝2－，故选C.]
2．(2020·长春调研)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为(　　)

A．0,0 B．1,1
C．0,1 D．1,0
解析：D　[第一次x＝7,22＜7，b＝3,32＞7，a＝1；第二次x＝9,22＜9，b＝3,32＝9，a＝0.]
3．(2020·开封模拟)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是(　　)

A．i＜7？S＝S－，i＝2i B．i≤7？，S＝S－，i＝2i
C．i＜7？，S＝，i＝i＋1 D．i≤7？，S＝，i＝i＋1
解析：D　[由题意可得：第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第7次剩下，可得①为i≤7？，②s＝，③i＝i＋1.故选D.]
4．(2020·石家庄模拟)20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换，如果n是奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是偶数，则下一步变成.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为(　　)

A．5 B．16
C．5或32 D．4或5或32
解析：C　[若n＝5，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.若n＝32，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.当n＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n＝5或32，故选C.]
　
程序框图的解题策略
(1)要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体．
(2)要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化．
(3)要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．

限时40分钟　满分80分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝(　　)
A．{x|－4＜x＜3}　　　　 B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
解析：C　[∵x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3，
即N＝{x|－2＜x＜3}，
∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.]
2．(2020·开封定位考试)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x||x|≤1}，则(　　)
A．M＝N B．N⊆∁RM
C．M∩N＝M D．M∪N＝M
解析：C　[由|x|≤1得－1≤x≤1，即N＝[－1,1]，又M＝{－1,0,1}，所以M∩N＝M，故选C.]
3．(2020·湖北部分重点中学起点考试)已知p：∃x0∈R,3x0＜x，那么p为(　　)
A．∀x∈R,3x＜x3 B．∃x0∈R,3x0＞x
C．∀x∈R,3x≥x3 D．∃x0∈R,3x0≥x
解析：C　[因为特称命题的否定为全称命题，所以 p：∀x∈R,3x≥x3，故选C.]
4．(2020·南昌重点中学段考)设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝1－x2}，则A∩B的子集个数为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：C　[∵A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{－2，－1,0,1}，∴A∩B的子集个数为24＝16，故选C.]
5．(2020·江西南昌测试)已知集合A＝{y|y＝ax，x∈R}，其中a＞0且a≠1，A∩B＝B，则集合B可以是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：A　[由题意可得A＝{y|y＝ax，x∈R}＝(0，＋∞)，由A∩B＝B得B⊆A.故选A.]
6．(多选)(2020·江西红色七校联考)已知直线m，n，平面α，β，命题p：若α∥β，m∥α，则m∥β；命题q：若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n.下列是真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∨q
C．p∧( q) D．(p)∧q
解析：BD　[对于命题p，若α∥β，m∥α，则还需m⊄β才能推出m∥β，所以命题p为假命题，命题p为真命题；对于命题q，若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则由线面平行的性质可推出m∥n，所以命题q为真命题，命题q为假命题．所以p∨q、(p)∧q为真命题，故选BD.]
7.

(2020·唐山摸底考试)已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是(　　)
A．求1＋＋＋＋…＋的值
B．求1＋＋＋＋…＋的值
C．求1－＋－＋…－的值
D．求1－＋－＋…＋的值
解析：C　[通解　执行程序框图，S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－，a＝1，n＝5；S＝1－＋，a＝－1，n＝7；…；S＝1－＋－＋…－，a＝1，n＝21＞19满足条件，退出循环，输出S.故该程序框图的功能是求S＝1－＋－＋…－的值，故该程序框图的功能是求S＝1－＋－＋…－的值，故选C.
优解　根据a正负相间取值，不难排除A，B，根据循环的次数，排除D选项，故选C.]
8．(2019·长沙二模)已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an＋2－an＋1＝d；q：数列{an}是公差为d的等差数列，则 p是 q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A　[由pq，因为p中不含有a2－a1＝d；而q⇒p，所以 p⇒ q，但qp，故p是 q的充分不必要条件．]
9．(2019·保定三模)已知“x＞k”是“＜1”的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：A　[由＜1，可得－1＝＜0，所以x＜－1或x＞2，因为“x＞k”是“＜1”的充分不必要条件，所以k≥2.]
10．(2019·烟台三模)已知p：函数f(x)＝(a－1)x为增函数，q：∀x∈，ax－1≤0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A　[函数f(x)＝(a－1)x为增函数，则a－1＞1，a＞2；当x∈时，不等式ax－1≤0恒成立，则a≤，等价于a≤min，又min＝1，所以a≤1，所以 q：a＞1，所以p是 q的充分不必要条件，故选A.]
11．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“◇”处应填入(　　)

A.∈Z B.∈Z
C.∈Z D.∈Z
解析：A　[根据题意可知，此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数a：a＝3k＋2，a＝5n＋3，a＝7m＋2，k，n，m∈Z.根据程序框图可知，数a已经满足a＝5n＋3，n∈Z，所以还要满足a＝3k＋2，k∈Z和a＝7m＋2，m∈Z，并且还要用一个条件给出，即a－2既能被3整除又能被7整除，所以a－2能被21整除，故在“◇”处应填入∈Z，选A.]
12．下列命题是真命题的是(　　)
A．∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x
B．“x2＋5x－6＞0”是“x＞2”的充分不必要条件
C．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件
D．a⊥b的充要条件是a·b＝0
解析：C　[C选项，当a1＜0，q＞1时，数列{an}递减；当a1＜0，数列{an}递增时，0＜q＜1.A选项，当x＝4时，x2与2x显然相等．B选项，由x2＋5x－6＞0得{x|x＞1或x＜－6}，{x|x＞2}⊆{x|x＞1或x＜－6}，故“x2＋5x－6＞0”是“x＞2”的必要不充分条件，D选项，当a＝0或b＝0时，a·b＝0但不垂直．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为________．

解析：s＝0，n＝1＜5，且n＝1为奇数，则s＝0－sin π＝0；n＝2＜5，且n＝2不是奇数，则s＝0＋sin＝1；n＝3＜5，且n＝3为奇数，则s＝1－sin＝1－；n＝4＜5，且n＝4不是奇数，则s＝1－＋sin＝1－＋；n＝5时结束循环．输出的s＝1－＋＝1－.
答案：1－
14．(多选题)已知全集U＝R，函数y＝ln (1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则①M∩N＝________，②M∩∁UN________∅.
解析：本题考查集合间的运算和关系．由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0 答案：①N　②≠
15．(2020·湘潭模拟)给出下列命题：
①已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；
②“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件；
③“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．
其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)
解析：①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x＋1)＜0”，但“ln(x＋1)＜0”可以推出“x＜0”；所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos 2ax，若其最小正周期为π，则＝π⇒a＝±1，因此“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”，但由“a·b＜0”得“平面向量a与b的夹角是钝角”或反向共线，所以“a·b＜0”是平面向量a与b的夹角是钝角的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.
答案：①②
16．(2019·青岛三模)若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的一个拓扑的集合τ是________．(填序号)
解析：①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，所以③错．
答案：②④