2020届高考数学二轮教师用书：第二章第2节　函数的单调性与最值

第2节　函数的单调性与最值

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是　增函数　或　减函数　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，　区间D　叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

1．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x2>0(<0)，f(x1)－f(x2)>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(<0)，f(x1)－f(x2)<0(>0)⇔f(x)在D上单调递减；

②>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增；

③<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．

2．对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数．

3．单调函数的运算性质：

(1)在函数f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：

①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数；

②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数；

(2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性；

②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与有相反的单调性；

③若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性．

4．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．(　　 )

(2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　 )

(3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　 )

(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　 )

(5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　 )

(6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√

[小题查验]

1．(2019·合肥市调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　 )

A．y＝－x　　　　　　　 B．y＝x2－x

C．y＝ln x－x  D．y＝ex－x

解析：A　[对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．]

2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则关于函数y＝的单调区间表述正确的是(　　 )

A．在[－1,1]上单调递减

B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增

C．在[5,7]上单调递减

D．在[3,5]上单调递增

解析：B　[由图象可知当x＝0，x＝3，x＝6时，f(x)＝0，此时函数y＝无意义，故排除A，C，D.故选B.]

3．(教材改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为　________　.

答案：[2,4]

4．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是　________　.

解析：f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.

答案：，1

5．已知函数f(x)为R上的减函数，若m<n，则f(m)　____　f(n)；若f<f(1)，则实数x的取值范围是　________　.

解析：由题意知f(m)>f(n)；

>1，即|x|<1，且x≠0.

故－1<x<1且x≠0.

答案：>　(－1,0)∪(0,1)

考点一　函数单调性的判断或证明(自主练透)

逻辑推理——函数单调性问题中的核心素养

依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养．

[题组集训]

1．(2019·南宁市模拟)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是(　　 )

A．y＝－x＋1　　　　　　 B．y＝

C．y＝－(x－1)2  D．y＝31－x

解析：B　[函数y＝－x＋1在(1，＋∞)上为减函数；y＝在(1，＋∞)上为增函数；y＝－(x－1)2在(1，＋∞)上为减函数；y＝31－x在(1，＋∞)上为减函数，故选B.]

2．判断并证明函数f(x)＝(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．

证明：法一(定义法)：设－1<x1<x2<1，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝.∵－1<x1<x2<1，

∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.

因此当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，

即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数.

法二(导数法)：f′(x)＝＝.

又a＞0，所以f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数．

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤

易错警示：可导函数也可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．

考点二　确定函数的单调区间(师生共研)

[典例]　(1)函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为　________　，单调递减区间为　________　.

(2)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调减区间是(　　)

A.　　　　　　　 B．[，1]

C．(－∞，0)∪  D.

[解析]　(1)由于y＝

即y＝

画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

(2)由图象知f(x)在(－∞，0]和上单调递减，而在上单调递增．又0<a<1时，y＝logax为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(logax)单调递减，需要logax∈，即0≤logax≤，解得x∈[，1]．故选B.

[答案]　(1)(－∞，－1]和[0,1]　[－1,0]和[1，＋∞)　(2)B

[互动探究1]

若将典例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？

解：

函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．

由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－，1)和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)．

[互动探究2]

若将本例题(2)中的“0<a<1”改为“a>1”，则函数g(x)的单调递减区间如何？

解析：由例(2)解析知，需logax≤0或logax≥，解得x≤1或x≥，又x>0，所以单调递减区间为(0,1]，[，＋∞)．

1．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤

(1)确定函数的定义域．

(2)将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)．

(3)分别确定这两个函数的单调区间．

(4)若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．

　提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

[跟踪训练]

1．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是(　　)

A．(－∞，0]  B．[0,1)

C．[1，＋∞)  D．[－1,0]

解析：B　[g(x)＝

如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.]

2．(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调递增区间是(　　 )

A．(－∞，－2)  B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)  D．(4，＋∞)

解析：D　[由x2－2x－8>0，得函数的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．令t＝x2－2x－8，则y＝ln t.

∵t＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，

∴t＝x2－2x－8的单调增区间为(4，＋∞)．

又y＝ln t是增函数，

∴函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调增区间为(4，＋∞)．]

考点三　确定函数的最值(值域)(师生共研)

[典例]　(1)若函数f(x)＝－在[，2]上的值域是[，2]，则实数a的值为　________　.

(2)函数f(x)＝(x>1)的最小值为　________　.

[解析]　(1)因为函数f(x)在区间上是增函数，值域为，所以f＝，f(2)＝2，即解得a＝.

(2)法一：基本不等式法：f(x)＝

＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(x)min＝8.

法二：导数法：f′(x)＝，

令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)．

当1<x<4时，f′(x)<0，f(x)在(1,4)上递减；

当x>4时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上递增，

所以f(x)在x＝4处达到最小值，

即f(x)min＝f(4)＝8.

[答案]　(1)　(2)8

求函数最值(值域)的常用方法及适用类型

(1)单调性法：应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解．

(2)图象法：作出函数的图象，利用最值的几何意义，观察其图象最高点、最低点，求出最值．

(3)基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)．

(4)导数法：用导数法，先求出给定区间上的极值，再结合端点值求得．

(5)换元法：对解析式较复杂的函数，可通过换元转化为以上四种类型中的某种，再求解．

易错警示：用换元法时，一定要注意新“元”的范围.

[跟踪训练]

(1)函数y＝－x(x≥0)的最大值为　____　.

(2)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为　_____　.

解析：(1)令t＝则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合二次函数的图象知，当t＝，即x＝时，ymax＝.

(2)由于y＝x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.

答案： (1)　(2) 3

考点四　函数单调性的应用(多维探究)

[命题角度1]　比较两个函数值或两个自变量的大小　

1．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)<0，f(x2)<0　 B．f(x1)<0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)<0  D．f(x1)>0，f(x2)>0

解析：B　[∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，

∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，

当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，

即f(x1)<0，f(x2)>0.]

[命题角度2]　解函数不等式　

2．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)

A．(8，＋∞)  B．(8,9]

C．[8,9]  D．(0,8)

解析：B　[2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8＜x≤9.]

[命题角度3]　利用单调性求参数的取值(范围)　

3．如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是　________　.

[破题关键点]　函数f(x) 满足对任意x1≠x2，都有>0成立，推出f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．

解析：因为对任意x1≠x2，都有>0，

所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．

所以解得≤a<2.

故实数a的取值范围是.

答案：

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)解含“f”的不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

1．给定函数：①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　　 )

A．①②　　　　　　　　 B．②③

C．③④  D．①④

解析：B　[①y＝x在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0＜＜1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.]

2．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：D　[当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；

当a≠0时，由，得0<a≤.

综上，a的取值范围是0≤a≤.]

3．(2020·聊城市模拟)函数y＝ln (x2－4x＋3)的单调减区间为(　　 )

A．(2，＋∞)  B．(3，＋∞)

C．(－∞，2)  D．(－∞，1)

解析：D　[令t＝x2－4x＋3＞0，求得x＜1，或x＞3，

故函数的定义域为{x|x＜1，或x＞3}，且y＝ln t.

由二次函数的性质得，t在区间(－∞，1)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，

又y＝ln t在t∈(0，＋∞)上为增函数，根据复合函数单调性的判断方法，知函数y＝ln (x2－4x＋3)的单调减区间为(－∞，1)．]

4．已知f(x)＝

是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B.

C.  D.

解析：C　[由题意知

即 所以≤a<.故选C.]

5．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)

A．有最小值  B．有最大值

C．是减函数  D．是增函数

解析：D　[由题意知a<1，∴g(x)＝＝x＋－2a，当a<0时，显然g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，当a>0时，g(x)在[，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)在(1，＋∞)上一定是增函数．]

6．(2020·日照市模拟)已知奇函数f(x)为R上的减函数，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围是___________________________________________________________.

解析：∵奇函数f(x)为R上的减函数，

∴不等式f(3a2)＋f(2a－1)≥0，

等价为f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，

即3a2≤1－2a，即3a2＋2a－1≤0，得(a＋1)(3a－1)≤0，得－1≤a≤，

即实数a的取值范围是.

答案：

7．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是　________　.

解析：f(x)＝＝a－，

定义域为(－∞，－2a)∪(－2a，＋∞)，

∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，

∴即，解得a≥1.

答案：[1，＋∞)

8．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是　________　.

解析：函数y＝x3在(－∞，0]上是增函数，函数y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上是增函数，且x>0时，ln(x＋1)>0，所以f(x)在R上是增函数，由f(2－x2)>f(x)，得2－x2>x，解得－2<x<1，所以x的取值范围是(－2,1)．

答案：(－2,1)

9．已知f(x)＝(x≠a)，

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

解：(1)证明：任取x1<x2<－2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝.

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

∴f(x1)<f(x2)．

∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)任设1<x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－

＝.

∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.

综上所述知a的取值范围是(0,1]．

10．(2020·西安市模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：

①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，

②当x>0时，f(x)>－1.

(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．

(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.

解：(1)令x＝y＝0得f(0)＝－1.

在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.

又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，

所以，函数f(x)在R上是单调增函数．

(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.

由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，

又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，

故原不等式的解集为{x|x<－2，或x>1}．