2020届高考数学二轮教师用书：第二章第6节　二次函数与幂函数

第6节　二次函数与幂函数

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如　y＝xα　的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　.

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　(m，n)　.

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图象和性质

　一元二次不等式恒成立的条件

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是

(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)

(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)

(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是.(　　)

(5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

[小题查验]

1．(2019·济南市诊断)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　 )

A.　　　　　　　　　　 B．1

C.  D．2

解析：C　[由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.]

2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　 )

A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1

D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1

解析：B　[图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.]

3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　 )

A．m＝－2  B．m＝2

C．m＝－1  D．m＝1

解析：A　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，所以－＝1，即m＝－2.]

4．二次函数的图象与x轴只有一个公共点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0,3)．则它的解析式为　__________　.

答案：y＝x2－2x＋3

5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为　________　.

解析：由，解得m＝1或2.

经检验m＝1或2都适合．

答案：1或2

考点一　幂函数的图象与性质(自主练透)

[题组集训]

1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　 )

解析：C　[令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x.]

2．(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　 )

A．b<a<c　　　　　　　　 B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

解析：A　[因为a＝4，b＝4，c＝25＝5，函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，

所以4<5，又4<4 ，所以b<a<c.]

3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　 )

A．－3　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．1或2

解析：B　[由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，

解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意，故选B.]

4．若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是　__________　.

解析：不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<.

答案：(－∞，－1)∪

1．幂函数的解析式：y＝xα(α∈R)，其中只有参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

2．幂函数的图象特征：①在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x

　轴．②曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．

3．幂函数的性质：

(1)若α为偶数，则幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数；若α为奇数，则幂函数y＝xα(α∈R)是奇函数．反之，不成立．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断奇偶性．

(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.

4．幂值大小的比较：结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

考点二　二次函数的图象与性质(多维探究)

[命题角度1]　二次函数的图象　

1．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　 )

解析：D　[由A，C，D知，f(0)＝c<0，

从而由abc>0，所以ab<0，所以对称轴x＝－>0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)＝c>0，所以ab>0，所以x＝－<0，B错误．]

[命题角度2]　二次函数的单调性　

2．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　 )

A．a>－　　　　　　 B．a≥－

C．－≤a<0  D．－≤a≤0

解析：D　[当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；

当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，

因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，

所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.

综合上述得－≤a≤0.]

[命题角度3]　二次函数的最值　

直观想象——数形结合思想与分类讨论思想

在二次函数问题中的应用

二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x＝－为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数．

3．已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为(　　 )

A.  B．1或

C．－1或  D．－5或

解析：D　[f(x)＝－42－4a，对称轴为x＝，

①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上递增，

∴ymax＝f(1)＝－4－a2，

令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．

②当0<<1，即0<a<2时，ymax＝f＝－4a，

令－4a＝－5，得a＝.

③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，

∴ymax＝f(0)＝－4a－a2，令－4a－a2＝－5，

得a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝或－5.故选D.]

二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m，结合二次函数的图象求解．常见有三种类型：

(1)顶点固定，区间也固定；

(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；

(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值．

[命题角度4]　二次函数中恒成立问题　

4．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为　________　.

解析：由f(x)＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈(1,4)，得a＞－＋在(1,4)上恒成立．

令g(x)＝－＋＝－22＋，

∈，所以g(x)max＝g(2)＝，

所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立，只要a＞即可．

答案：

由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解；二是构造函数，数形结合求解．.

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

1．(2020·呼和浩特市模拟)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　 )

A．定义域内的减函数　　 B．奇函数

C．偶函数  D．定义域内的增函数

解析：B　[∵点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，∴a－1＝1，解得a＝2，∴2b＝，解得b＝－3，

∴f(x)＝x－3，

∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在(－∞，0)，

(0，＋∞)上是减函数．]

2．(2020·唐山市一模)已知a＝3－，b＝2－，c＝ln 3，则(　　 )

A．a＜c＜b  B．a＜b＜c

C．b＜c＜a  D．b＜a＜c

解析：D　[∵a＝3－，b＝2－＝4－，又y＝x－在(0，＋∞)上单调递减．

∴b＜a＜1，又c＝ln 3＞1，则b＜a＜c，故选D.]

3．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)

A．0　　　 B．1

C．2　　　　                            D．3

解析：C　[∵y＝xm2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，

∴m2－4m<0，即0<m<4，

又m∈Z，∴m＝1或2或3

又∵函数的图象关于y轴对称，

∴m2－4m为偶数，因此m＝2.]

4．已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3,0)  B．(－∞，－3]

C．[－2,0]  D．[－3,0]

解析：D　[当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，满足题意；当a>0时，函数f(x)在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a<0时，函数f(x)的图象的对称轴为x＝－，∵函数f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－≤－1，得－3≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是[－3,0]．]

5．(2020·黔东南州一模)二次函数y＝－x2－4x(x＞－2)与指数函数y＝x的交点个数有(　　 )

A．3个  B．2个

C．1个  D．0个

解析：C　[因为二次函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x＞－2)，

且x＝－1时，y＝－x2－4x＝3，y＝x＝2，

则在坐标系中画出y＝－x2－4x(x＞－2)与y＝x的图象：

由图可得，两个函数图象的交点个数是1个．]

6．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于　________　.

解析：函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，∴或

解得a＝1.

答案：1

7．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m＝　________　.

解析：由题意知m2－2m－3为奇数且m2－2m－3＜0，由m2－2m－3＜0得－1＜m＜3，又m∈N*，故m＝1,2.

当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去)．

当m＝2时，m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3，∴m＝2.

答案：2

8．已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为　________　.

解析：由二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，

可得判别式Δ＝4－4ac＝0，

即有ac＝1，且a＞0，c＞0，

所以＋≥2＝2×3＝6，

当且仅当＝，即有c＝，a＝3，取得最小值6.

答案：6

9．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．

解：(1)由题意m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，

若m＝2，与f(x)是偶函数矛盾，舍去，

所以m＝3，所以f(x)＝x2.

(2)g(x)＝f(x)－ax－3＝x2－ax－3，g(x)的对称轴是x＝，若g(x)在[1,3]上不是单调函数，

则1<<3，解得2<a<6.

10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.

(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间．

(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．

解：(1)由题意知

解得所以f(x)＝x2＋2x＋1，

由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．

(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，

令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，

由g(x)＝2＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，即k的取值范围是(－∞，1)．