2020届高考数学二轮教师用书：第二章第10节　导数的概念与计算

第10节　导数的概念与计算

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的　切线的斜率　.相应地，切线方程为　y－y0＝f′(x0)(x－x0)　.

2．函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.

3．基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有：

(1)[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　；

(2)[f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　；

(3)′＝(g(x)≠0)．

1.f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．

2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.

3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1) y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．(　　 )

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　 )

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　 )

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　 )

(5)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.(　　 )

答案：(1) √　(2)×　(3)√　(4)×　(5) √

[小题查验]

1．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　 )

A．xsin x　　　　　　 B．－xsin x

C．xcos x  D．－xcos x

解析：B　[y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．]

2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　 )

解析：D　[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大，故选D.]

3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)(　　)

A．既是周期函数，又是奇函数

B．既是周期函数，又是偶函数

C．不是周期函数，但是奇函数

D．不是周期函数，但是偶函数

解析：B　[因为y＝f(x)是周期函数，

所以有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，

得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，

即f′(x＋T)＝f′(x)，

所以导函数为周期函数．又y＝f(x)是奇函数．

所以f′(x)为偶函数．]

4．(教材改编)若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝　________　.

解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.

答案：2e

5．(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为　________________　.

解析：∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex.

∴y′|x＝0＝3.

∴切线方程为y－0＝3(x－0)，即3x－y＝0.

答案：3x－y＝0

考点一　导数的概念(自主练透)

[题组集训]

1．设f(x)是可导函数，且满足

limx→0＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为　________　.

解析：令2x＝Δx，由x→0，得Δx→0，

则有limΔx→0＝－1，即f′(1)＝－1，

由导数的几何意义知，y＝f(x)在(1，f(1))处切线斜率为－1.

答案：－1

2．用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数．

解析：设f(x)＝，

则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝＝

＝，

＝－，

∴lim,Δx→0＝lim,Δx→0＝－.

∴y′|x＝1＝－.

根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤

(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

(2)求平均变化率＝；

(3)计算导数f′(x0)＝limΔx→0.

考点二　导数的计算(自主练透)

[题组集训]

求下列函数的导数．

(1)y＝x2sin x；

(2)y＝ln x＋；

(3)y＝；

(4)y＝＋ .

解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.

(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.

(3)y′＝′＝

＝－.

(4)∵y＝＋＝，

∴y′＝′＝＝.

函数求导的遵循原则

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

考点三　导数的几何意义及应用(多维探究)

[命题角度1]　求切线方程　

数学运算——求切线方程的“在”“过”两重天

求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．

(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．

(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．

1．(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x　　　　　　　　　 B．y＝－x

C．y＝2x  D．y＝x

解析：D　[因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，解得a＝1，

所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，

所以f′(0)＝1，f(0)＝0，

所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，

化简可得y＝x，故选D.]

2．(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)

A．x－y－π－1＝0  B．2x－y－2π－1＝0

C．2x＋y－2π＋1＝0  D．x＋y－π＋1＝0

解析：C　[∵y′＝2cos x－sin x，∴切线斜率k＝2cos π－sin π＝－2，∴在点(π，－1)处的切线方程为

y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.]

[命题角度2]　求切点坐标　

3．设a∈R，函数f(x)＝ex＋的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为　________　.

解析：函数f(x)＝ex＋的导函数是f′(x)＝ex－.又f′(x)是奇函数，所以f′(x)＝－f′(－x)，即ex－＝－(e－x－a·ex)，则ex(1－a)＝e－x(a－1)，所以(e2x＋1)·(1－a)＝0，解得a＝1，所以f′(x)＝ex－.令ex－＝，解得ex＝2或ex＝－(舍去)，所以x＝ln 2.

答案：ln 2

[命题角度3]　求参数的值　

4．已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A．a＝e，b＝－1  B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1  D．a＝e－1，b＝－1

解析：D　[令y＝f(x)＝aex＋xln x，则f′(x)＝aex＋

ln x＋1，f′(1)＝ae＋1＝2，得a＝＝e－1.

又f(1)＝ae＝2＋b，可得b＝－1.故选D.]

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

(1)已知切点A(x0，f(x0))，求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；

(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．

1．(2020·商洛市模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　 )

解析：B　[由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，即导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f(x)递减，再递增，后递减，即导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．]

2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(　　)

A．2　　　　　　　　　　 B．0

C．－2  D．－4

解析：D　[f′(x)＝2f′(1)＋2x，

令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，

所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.故选D.]

3．设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为(　　)

解析：C　[根据题意得g(x)＝cos x，∴y＝x2g(x)＝x2cos x为偶函数．又x＝0时，y＝0，故选C.]

4．(2020·长春市模拟)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为(　　 )

A．1－a  B．1

C．a－1  D．－1

解析：B　[函数f(x)＝ax－ln x的导数为f′(x)＝a－，所以图象在点(1，f(1))处的切线斜率为a－1，且f(1)＝a，

则切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)，

令x＝0，可得y＝1，故选B.]

5．(2020·聊城市模拟)若曲线y＝acos x＋sin x在处的切线方程为x－y＋1－＝0，则实数a的值为(　　 )

A．－1  B．1

C．－2  D．2

解析：A　[y＝acos x＋sin x的导数为y′＝－asin x＋cos x，

可得曲线在处的切线斜率为k＝－a，

由切线方程x－y＋1－＝0，

可得－a＝1，即a＝－1.]

6．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为　________　.

解析：设切点为(m，n)(m＞0)，y＝x2－3ln x的导数为y′＝x－，可得切线的斜率为m－＝－，解方程可得，m＝2.

答案：2

7．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝　________　.

解析：法一　∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.

∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，

∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．

由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.

由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.

法二　同法一得切线方程为y＝2x－1.

设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．

∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．

由解得

答案：8

8．如图，已知y＝f(x)是可导函数，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，令g(x)＝，则g′(4)＝　________　.

解析：g′(x)＝′＝.

由已知图象可知，直线l经过点P(0,3)和Q(4,5)，故k1＝＝.

由导数的几何意义可得f′(4)＝，

因为Q(4,5)在曲线y＝f(x)上，故f(4)＝5.

故g′(4)＝＝＝－.

答案：－

9．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.

(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；

(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．

解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，

∴所求的直线方程为y＝－2.

(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，

则f′(x0)＝3x－3.

又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，

故其斜率可表示为＝，

又＝3x－3，

即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，

解得x0＝1(舍去)或x0＝－，

故所求直线的斜率为k＝3×＝－，

∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.

10．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，

则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，

则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，

解得－1≤k＜0或k≥1，

故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，

得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．