2020届高考数学二轮教师用书：第四章第1节　平面向量的概念及线性运算

第1节　平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

2.向量的线性运算

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得　b＝λa　.

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．

2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．

3．若A、B、C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．(　　 )

(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　 )

(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　 )

(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　　 )

(5)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.(　　 )

(6)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　 )

(7)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×　(7)√

[小题查验]

1．如图所示，向量a－b等于(　　 )

A．－4e1－2e2　　　　　 B．－2e1－4e2

C．e1－3e2  D．3e1－e2

解析：C　[由题图可得a－b＝＝e1－3e2.]

2．若||＝||，且＝，则四边形ABCD的形状为(　　 )

A．平行四边形  B．矩形

C．菱形  D．等腰梯形

解析：C　[因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．]

3．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　 )

A.b＋c  B.c－b

C.b－c  D.b＋c

解析：A　[如图所示，可知＝＋(－)＝c＋(b－c)＝b＋c.]

4．(教材改编)化简：

(1)(＋)＋＋＝　________　.

(2)＋＋－＝　________　.

答案：(1)　(2)0

5．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝　________　.

答案：－

考点一　平面向量的基本概念(自主练透)

[题组集训]

1．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误命题的个数为(　　 )

A．1　　　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：C　[①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．

③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.

④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时a与b可以是任意向量．]

2．给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是　________　.

解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

②正确．∵＝，∴||＝||且∥，

又∵A，B，C，D是不共线的四点，

∴四边形ABCD为平行四边形；

反之，若四边形ABCD为平行四边形，

则∥且||＝||，

因此， ＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．

③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；

又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，

∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是②③.

答案：②③

对于向量的概念应注意以下几条

(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；

(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；

(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．

考点二　平面向量的线性运算(师生共研)

[典例]　(1)(2014·全国Ⅰ卷)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　 )

A.　　　　　　　　 B.

C.  D.

[解析]　A　[＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.]

(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为　________　.

[解析]　＝＋＝＋＝＋·(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

[答案]　

[互动探究]

若典例(2)条件变为：若＝2，＝＋λ，则λ＝　________　.

解析：∵＝＋，＝＋，

∴2＝＋＋＋.又∵＝2，

∴2＝＋＋＝＋＋(－)

＝＋.

∴＝＋，即λ＝.

答案：

向量的线性运算的解题策略

(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．

(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．

[跟踪训练]

(1)已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　 )

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：B　[由＋＋＝0，易得M是△ABC的重心，且重心M分中线AE的比为AM∶ME＝2∶1，

∴＋＝2＝m·＝·，∴＝2，∴m＝3.]

(2)(2019·乐山市一模)在三角形ABC中，点E，F满足＝，＝2，若＝x＋y，则x＋y＝　______　.

解析：因为点E，F满足＝，＝2，

所以＝x＋y＝＋＝＋＝－＋，

所以x＝－，y＝，则x＋y＝－＋＝－.

答案：－

考点三　向量共线定理及其应用(子母变式)

[母题]　设向量e1和e2不共线．若＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，则实数k的值为　________　.

[解析]　∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2，

∴＝＋＝3e1－2e2.

∵A，C，F三点共线，

∴∥，从而存在实数λ，使得＝λ.

∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，

又e1，e2是不共线的非零向量，

∴因此k＝2.

[答案]　2

[子题1]　在本例条件下，若ke1＋e2与e1＋ke2共线．则实数k的值为　________　.

解析：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，

∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

即ke1＋e2＝λe1＋λke2，

∴解得k＝±1.

答案：±1

[子题2]　在母题条件下，如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线．

证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，

∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2，

∴＝－2，∴与共线．

又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线．

1．共线向量定理及其应用

(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．

(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．

2．证明三点共线的方法

若＝λ，则A，B，C三点共线．

1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则等于(　　)

A.＋　　　 B.＋

C.＋  D.＋

解析：A　[＝＋＋＝－＋，

＝＋＝＋＝＋＝＋.故选A.]

2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)

A．k＝1且c与d同向  B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向  D．k＝－1且c与d反向

解析：D　[由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，

(λ－k)a＝(λ＋1)b.∵a，b 不共线，∴

∴k＝λ＝－1.∴c与d反向．故选D.]

3．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)

A．－＋  B．－－

C.－  D.＋

解析：A　[如图，＝＋＝＋＝－＋.]

4．已知向量a，b是两个不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则“A，B，C三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：C　[A，B，C三点共线等价于，共线，根据向量共线的充要条件知，、共线，即存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于向量a，b不共线，根据平面向量的基本定理得λ1·λ＝1且λ2＝λ，消掉λ，得λ1·λ2－1＝0.故“A，B，C三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的充分必要条件．]

5．(2017·全国卷Ⅰ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　 )

A．a⊥b  B．|a|＝|b|

C．a∥b  D．|a|>|b|

解析：A　[由|a＋b|＝|a－b|及平行四边形法则得，以向量a，b为邻边的平行四边形的两对角线相等，即为矩形，所以a⊥b.]

6．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　 )

A.＋  B.＋

C.＋  D.＋

解析：B　[因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.故选B.]

7．(2020·济宁市模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　 )

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：B　[∵O为BC的中点，

∴＝(＋)

＝(m＋n)＝＋，

∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，

∴m＋n＝2.]

8．(2020·聊城市质检)设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　 )

A．－2  B．－1

C．1  D．2

解析：B　[∵＝a＋b，＝a－2b，

∴＝＋＝2a－b.

又∵A，B，D三点共线，∴，共线．

设＝λ，

∴2a＋pb＝λ(2a－b)，

∵a，b不共线，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.]

9．在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝ ，＝ ，则＝　________　(用e1，e2表示)．

解析：如图所示，＝－＝＋2

＝＋＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.

答案：－e1＋e2

10．已知D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：

①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；

④＋＋＝0.

其中正确命题的序号为　________　.

解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，

＝＋＝a＋b，＝(＋)

＝(－a＋b)＝－a＋b，∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.

∴正确命题为②③④.

答案：②③④

11．(2020·上饶市模拟)已知a，b为单位向量，且a＋b＋c＝0，则|c|的最大值为　________　.

解析：因为a，b为单位向量，∴|a|＝|b|＝1，

又a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，

∴|c|＝|－a－b|≤|a|＋|b|＝1＋1＝2，

∴|c|的最大值为2.

答案：2