2020届高考数学二轮教师用书：第一章第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件

第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以　判断真假　的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做　真命题　，判断为假的语句叫做　假命题　.

2．四种命题及其关系

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

1.互为逆否的两个命题具有相同的真假性，互逆的或互否的两个命题真假性没有关系．

2．若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　)

(2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　)

(3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　)

(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

[小题查验]

1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　 )

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A　[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．]

2．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　 )

A．0个　　　　　　　 B．1个

C．2个  D．3个

解析：D　[原命题显然正确，其逆命题为：若x＝y＝0，则x2＋y2＝0，显然也是真命题，由四种命题之间的关系知，其否命题、逆否命题也都是真命题. 故选D.]

3．(2020·衡阳市一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　 )

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：B　[直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．]

4．(教材改编)已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．

答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0

5．下列命题：

①若ac2>bc2，则a>b；

②若sin α＝sin β，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．

其中正确命题的序号是　________　.

解析：对于①，∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒ / 30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，

即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，

所以③正确；④显然正确．

答案：①③④

考点一　命题的四种形式及其关系(自主练透)

[题组集训]

1．(2019·马鞍山市模拟)命题p：若a＞b，则a－1＞b－1，则命题p的否命题为(　　 )

A．若a＞b，则a－1≤b－1

B．若a≥b，则a－1＜b－1

C．若a≤b，则a－1≤b－1

D．若a＜b，则a－1＜b－1

∵原命题为：若a＞b，则a－1＞b－1，

∴否命题为：若a≤b，则a－1≤b－1，故选C.]

2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　 )

A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题

解析：C　[根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.]

3．以下关于命题的说法正确的有　________　(填写所有正确命题的序号)．

①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．

解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.

答案：②④

1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．

2．命题真假的判断方法

(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．

(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．

考点二　充分、必要条件的判断与应用(多维探究)

[命题角度1]　充分、必要条件的判定　

1．设p：0＜x＜1，q：2x≥1，则p是q的(　　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A　[q：2x≥1，解得x≥0.

又p：0＜x＜1，则p是q的充分不必要条件．]

2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β 垂直于同一平面

解析：B　[根据面面平行的判定定理易得答案．]

3．(2020·日照市模拟)已知向量a＝(－2，m)，b＝，m∈R，则“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的(　　 )

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：B　[∵a＝(－2，m)，b＝，m∈R，

∴a＋2b＝(4,2m)

若a⊥(2a＋2b)，则－8＋2m2＝0，解得m＝±2，

故“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的必要不充分条件．]

命题的充分、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

[命题角度2]　利用充要条件求参数的取值(范围)　

逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养

充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．

4．已知p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　______　.

[破题关键点]　若p是q成立的充分不必要条件，则{x|－2≤x≤10}{x|x>a＋1，或x<a}，即转化为相对应的集合间的基本关系来求实数a的取值范围．

解析：由(x－a)(x－a－1)>0，得x>a＋1或x<a，由题意，得{x|－2≤x≤10}{x|x>a＋1，或x<a}，

所以a＋1<－2或a>10，即a<－3或a>10.

答案：(－∞，－3)∪(10，＋∞)

[互动探究]

本例中，若p：－2<x<10，q：(x－a)(x－a－1)≥0，其他条件不变，则a的取值范围是　______　.

解析：由(x－a)(x－a－1)≥0，得x≥a＋1或x≤a，由题意得{x|－2<x<10}{x|x≥a＋1，或x≤a}．所以a＋1≤－2，或a≥10，即a≤－3，或a≥10.

答案：(－∞，－3]∪[10，＋∞)

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　)

A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0

B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0

C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0

解析：D　[写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．]

2．(2020·晋城市一模)设a∈R，则“a＞3”是“函数y＝loga(x－1)在定义域上为增函数”的(　　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A　[因为函数y＝loga(x－1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a＞1，

因此“a＞3”是“函数y＝loga(x－1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．]

3．(2020·天津市模拟)“m＝1”是“圆C1：x2＋y2＋3x＋4y＋m＝0与圆C2：x2＋y2＝4的相交弦长为2”的(　　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A　[由题意知圆C1与圆C2的公共弦所在的直线是3x＋4y＋m＋4＝0，故(0,0)到3x＋4y＋m＋4＝0的距离d＝＝＝1，即|m＋4|＝5，

解得m＝1或m＝－9.故m＝1是m＝1或m＝－9的充分不必要条件，故选A.]

4．已知条件p：|x－4|≤6，条件q：x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　　 )

A．(－∞，－1]　　　　　 B．(－∞，9]

C．[1,9]  D．[9，＋∞)

解析：D　[由|x－4|≤6，解得－2≤x≤10，即p：－2≤x≤10；

又q：x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，则1＋m≥10，解得m≥9.故选D.]

5．若x＞m是x2－3x＋2＜0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　 )

A．[1，＋∞)  B．(－∞，2]

C．(－∞，1]  D．[2，＋∞)

解析：C　[由x2－3x＋2＜0得1＜x＜2，

若x＞m是x2－3x＋2＜0的必要不充分条件，

则m≤1，

即实数m的取值范围是(－∞，1]．]

6．已知函数f(x)＝则“x＝0”是“f(x)＝1”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：B　[若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件．故选B.]

7．(2020·新余市模拟)“m＞1”是“函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)无零点”的(　　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：A　[因为函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)上单调递增且无零点，所以f(1)＝31＋m－3＞0，即m＋1＞，解得m＞，故“m＞1”是“函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)无零点”的充分不必要条件，故选A.]

8．已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)

9．(2020·西宁市模拟)《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的　________　条件(将正确的序号填入空格处)．

①充分条件　②必要条件　③充要条件　④既不充分也不必要条件

解析：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．

答案：①

10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的　__________　条件．

解析：由正弦定理，得＝，故a≤b⇔sin A≤sin B.

答案：充要

11．(2019·曲靖市一模)若“x＞a”是“x2－5x＋6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　_________　.

解析：由x2－5x＋6≥0得x≥3或x≤2，

若“x＞a”是“x2－5x＋6≥0”成立的充分不必要条件，则a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞)．

答案：[3，＋∞)

解析：由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1，

∴命题p为.

由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，

∴命题q为{x|a≤x≤a＋1}．

∴a＋1≥1且a≤，∴0≤a≤，

即实数a的取值范围是.

答案：