2020届高考数学二轮教师用书：下篇指导二高考客观题“六招秒杀”

高考选择题、填空题绝大部分属于低中档题目，一般按由易到难的顺序排列，注意多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．

(1)解题策略：选择题、填空题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，另外对选择题可以先排除后求解．

(2)解决方法：选择题、填空题属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题不能大做．主要分直接法和间接法两大类．具体的方法有：直接法，等价转化法，特值、特例法，数形结合法，构造法，对选择题还有排除法(筛选法)等．

　　　直接法

直接法就是利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解题最常用的方法．

[例1]　(1)(2019·济南三模)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为(　　)

A．6　　　　　　　　　 B．7

C．8  D．9

[解析]　B　[∵点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，

∴AC为圆的直径．

又点P的坐标为(2,0)，

∴＋＝2＝(－4,0)．

设B(x，y)，则x2＋y2＝1，且x∈[－1,1]，可得＝(x－2，y)，

则＋＋＝(x－6，y)．

故|＋＋|＝.

因此，当x＝－1时，|＋＋|有最大值＝7，故选B.]

(2)(2020·启东中学质检)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＜0，则y0的取值范围是________________．

[解析]　由题意知a＝，b＝1，c＝，

∴F1(－，0)，F2(，0)，

∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．∵·＜0，

∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，

即x－3＋y＜0.

∵点M(x0，y0)在双曲线上，

∴－y＝1，即x＝2＋2y，

∴2＋2y－3＋y＜0，

∴－＜y0＜.

[活学活用1]

(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：C　[

棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB＝2，E为AB中点，则EF⊥DC，

在△DCE中，DE＝EC＝，DC＝2，

∴EF＝，

∴三角形ABF的面积是，故选C.]

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 019)的值为(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

解析：C　[∵定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，

∴f(x＋6)＝f(x＋5)－f(x＋4)＝f(x＋4)－f(x＋3)－f(x＋4)

＝－f(x＋3)＝－[f(x＋2)－f(x－1)]

＝－[f(x＋1)－f(x)－f(x＋1)]＝f(x)，

∴f(2014)＝f(335×6＋4)

＝f(4)＝f(3)－f(2)＝f(2)－f(1)－f(2)

＝－f(1)＝－f(0)＋f(－1)＝－log21＋log22＝1.

故选C.]

　　　特值、特例法

特值、特例法是解选择题、填空题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素，某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．

当题目已知条件中含有某些不确定的量时，可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(或特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊图形，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．

[例2]　(1)

如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.

[解析]　把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC＝6，则·＝18.

[答案]　18

(2)(2019·湛江二模)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，若e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)

A．m＞n且e1e2＞1  B．m＞n且e1e2＜1

C．m＜n且e1e2＞1  D．m＜n且e1e2＜1

[解析]　A　[∵椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，

∴满足c2＝m2－1＝n2＋1，

即m2－n2＝2＞0，∴m2＞n2，则m＞n，排除C，D

则c2＝m2－1＜m2，c2＝n2＋1＞n2，

则c＜m.c＜n，

e1＝，e2＝，

则e1·e2＝·＝，

则(e1·e2)2＝2·2

＝·

＝

＝

＝1＋

＝1＋

＝1＋＞1，

∴e1e2＞1，故选A.]

[活学活用2]

(1)已知f(x)＝若不等式f(x－1)≥f(x)对一切x∈R恒成立，则a的最大值为(　　)

A．－  B．－1

C．－  D．1

解析：B　[∵x∈R，f(x－1)≥f(x)恒成立，取x＝1代入，得f(0)≥f(1)，即0≥a＋1，∴a≤－1.由给出的选项知答案为B.]

(2)在平面直角坐标系中，设A，B，C是曲线y＝上三个不同的点，且D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，则过D，E，F三点的圆一定经过定点________．

解析：曲线y＝的对称中心为(1,0)，设过对称中心的直线与曲线交于A，B两点，则A，B的中点为对称中心(1,0)，所以过D，E，F三点的圆一定经过定点(1,0)，故答案为(1,0)．

答案：(1,0)

　　　数形结合法

在处理数学问题时，将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性解决问题，这种方法称为数形结合法．

[例3]　(1)(2019·山东烟台三模)设拋物线x2＝4y的焦点为F，A为拋物线上第一象限内一点，满足|AF|＝2，已知P为拋物线准线上任一点，当|PA|＋|PF|取得最小值时，△PAF的外接圆半径为________．

[解析]　如图，x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线为y＝－1.

设A，P两点坐标分别为(m，n)，(x，－1)，由题意|AF|＝n＋1＝2，

∴n＝1，代入拋物线x2＝4y，得m＝2.

即A(2,1)．

|PA|＋|PF|＝＋，该表达式的几何意义为点(x,0)到点(2,2)和(0，－2)的距离之和，

当三点共线时，距离之和最小，由斜率公式，得＝，

∴x＝1，

即P(1，－1)，

由△PAF的顶点坐标P(1，－1)，A(2,1)，F(0,1)，易知其三边长|PA|＝|PF|＝，|AF|＝2，由余弦定理，得cos∠FPA＝＝，

∴sin∠FPA＝.

设△PAF的外接圆半径为R，

由正弦定理，得2R＝＝，

∴R＝.

[答案]　

(2)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，若向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为(　　)

A．60°  B．90°

C．120°  D．150°

[解析]　B　[如图，

因为a与b的夹角为120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC与CO的夹角为90°，即a与c的夹角为90°.]

[活学活用3]

(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.

解析：∵f(x)是奇函数，

∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝－2对称，

又f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋4)，

∴f(x－4)＝f(x＋4)，∴f(x)周期为8，

作出f(x)的大致函数图象如图：

由图象可知f(x)＝m的4个根中，两个关于直线x＝－6对称，两个关于直线x＝2对称，

∴x1＋x2＋x3＋x4＝－6×2＋2×2＝－8.

答案：－8

(2)已知函数f(x)＝ax－x－1(a＞0，且a≠1)恰有一个零点，则实数a的取值范围为____________．

解析：

f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有一个零点等价于：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有一个交点，

由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，符合条件．

当a＞1时(如图2)，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，

而直线y＝x＋a所过的点(0，a)，此点一定在点(0,1)的上方，

所以一定有两个交点，

所以实数a的取值范围是0＜a＜1.

答案：0＜a＜1

　　　等价转化法

等价转化法就是用直接法求解时，问题中的某一个量很难求，把所求问题等价转化成另一个问题后，这一问题的各个量都容易求，从而使问题得到解决．通过转化，把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题．

[例4]　(1)

如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，点M是BB1的中点，则三棱锥C1AMC的体积为(　　)

A.   B.

C．2  D．2

[解析]　A　[(方法一)取BC中点D，连接AD.

在正三棱柱ABCA1B1C1中，因为△ABC为正三角形，所以AD⊥BC.

又平面BCC1B1⊥平面ABC，交线为BC，即AD⊥平面BCC1B1，所以点A到平面MCC1的距离就是AD.在正三角形ABC中，AB＝2，所以AD＝.

又AA1＝3，点M是BB1的中点，

又BB1∥平面ACC1A1，点M到平面ACC1A1的距离等于点B到平面ACC1A1的距离，易知正三角形ABC底边AC上的高为，因此，＝×3×＝.故选A.]

(2)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈恒成立，则a的最小值为________．

[解析]　x2＋ax＋1≥0⇔ax≥－(x2＋1)⇔a≥－.

因为函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数，所以当x∈时，f(x)≥f＝＋2＝，

所以max＝－，

即a≥－，

即a的最小值是－.

[答案]　－

[活学活用4]

(2019·河北唐山三模)已知a＝，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c  B．b＜c＜a

C．c＜a＜b  D．c＜b＜a

解析：C　[a＝＝log22＝log2＜log23＝b.

∵＝＝＜＜＝1，

∴c＜b.又a＝log33＝log3＞log3＝log34＝c，

∴c＜a＜b.]

　　　构造模型法

构造模型法是由题目的条件和结论的特殊性构造出几何体、函数、向量等数学模型，然后在模型中进行推导与运算，达到快速解题的目的．构造模型法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，细致观察题目中数学结构、形式上的特点，通过分析、联想、类比接触过的数学模型，寻找灵感构造具体的数学模型．

[例5]　(1)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)

A．1盏  B．3盏

C．5盏  D．9盏

[解析]　B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，

∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.]

(2)已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(1,0)成中心对称，其导函数为f′(x)，当x＜1时，(x－1)[f(x)＋(x－1)f′(x)]＞0，则不等式xf(x＋1)＞f(2)的解集为________．

[解析]　设g(x)＝(x－1)f(x)，当x＜1时，x－1＜0，

∴g′(x)＝f(x)＋(x－1)f′(x)＜0，

则g(x)在(－∞，1)内单调递减．

又f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，

∴f(x＋1)的图象关于点(0,0)成中心对称，

则f(x＋1)是奇函数．

令h(x)＝g(x＋1)＝xf(x＋1)，

∴h(x)为R上的偶函数，且在(－∞，0)上递减，

∴在(0，＋∞)上递增．

∵h(1)＝f(2)，

∴xf(x＋1)＞f(2)⇔h(x)＞h(1)，

即|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.

[答案]　(－∞，－1)∪(1，＋∞)

(3)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．

[解析]　如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，

所以R＝，故球O的体积V＝＝π.

[答案]　π

[活学活用5]

(1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f(x)＞f′(x)，则有(　　)

A．e2 020f(－2 020)＜f(0)，f(2 020)＞e2 020f(0)

B．e2 020f(－2 020)＜f(0)，f(2 020)＜e2 020f(0)

C．e2 020f(－2 020)＞f(0)，f(2 020)＞e2 020f(0)

D．e2 020f(－2 020)＞f(0)，f(2 020)＜e2 020f(0)

解析：D　[构造函数g(x)＝，

则g′(x)＝＝，

∵∀x∈R，均有f(x)＞f′(x)，并且ex＞0，

∴g′(x)＜0，

∴函数g(x)＝在R上单调递减，

∴g(－2 020)＞g(0)，g(2 020)＜g(0)，即＞f(0)，＜f(0)，也就是e2 020f(－2 020)＞f(0)，f(2 020)＜e2 020f(0)．故选D.]

(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若g(x)＝f(x＋1)＋5，g′(x)为g(x)的导函数，对∀x∈R，总有g′(x)＞2x，则g(x)＜x2＋4的解集为________．

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(x)的图象过原点．

又g(x)＝f(x＋1)＋5，

∴g(x)的图象过点(－1,5)．

令h(x)＝g(x)－x2－4，

∴h′(x)＝g′(x)－2x.

∵对∀x∈R，总有g′(x)＞2x，

∴h(x)在R上是增函数，

又h(－1)＝g(－1)－1－4＝0，

∴g(x)＜x2＋4的解集为(－∞，－1)．

答案：(－∞，－1)

　　　排除法(针对选择题)

数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．排除法(又叫筛选法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．

[例6]　(1)(2020·苏州调研)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是(　　)

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

[解析]　D　[从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.]

(2)(2020·大连质检)函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)

[解析]　D　[∵f(x)＝cos x，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x→π时，f(x)＜0，排除C.故选D.]

[活学活用6]

(1)(2020·正定模拟)函数y＝的部分图象大致为(　　)

解析：C　[根据函数的性质研究函数图象，利用排除法求解．令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，

又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，故排除A，D，选C.]

(2)(2020·银川模拟)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)

A．a＋＜＜log2(a＋b)

B.＜log2(a＋b)＜a＋

C．a＋＜log2(a＋b)＜

D．log2(a＋b)＜a＋＜

解析：B　[由题意知a＞1,0＜b＜1，所以＜1，

log2(a＋b)＞log22＝1，排除C，D,2a＋＞a＋＞a＋b⇒a＋＞log2(a＋b)，所以选B.]