2020届高考数学二轮教师用书：下篇指导四高考创新题型揭秘

创新型数学问题的命制是以集合、函数图象与性质、立体几何、数列、复数等常规知识为基础，并用新的背景、新的情境等进行“包装”，使平淡的数学题焕发出新的活力，充满了无穷的魅力．此类问题有利于考查考生在新情境下分析问题、解决问题的实际能力，有利于考查考生的发散性思维能力和探索、创新精神，是各级各类考试中一道亮丽的风景线．

　　　设置“新定义”

“新定义”试题是指给出一个考生从未接触过的新规定、新概念，要求考生现学现用，其目的是考查考生的阅读理解能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质．此类问题可能以文字的形式出现，也可能以数学符号或数学表达式的形式出现，要求考生要先准确理解“新定义”的特点，再加以灵活运用．特别提醒：“给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路．

[例1]　(2020·唐山调研)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．

①f(x)＝2－x　②f(x)＝3－x　③f(x)＝x3　④f(x)＝x2＋2

[解析]　设g(x)＝exf(x)．

对于①，g(x)＝ex·2－x(x∈R)，g′(x)＝ex·2－x－ex·2－x·ln 2＝(1－ln 2)·ex·2－x＞0，∴函数g(x)在R上单调递增，故①中f(x)具有M性质．

对于②，g(x)＝ex·3－x(x∈R)，g′(x)＝ex·3－x－ex·3－x·ln 3＝(1－ln 3)·ex·3－x＜0，∴函数g(x)在R上单调递减，故②中f(x)不具有M性质．

对于③，g(x)＝ex·x3(x∈R)，

g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝(x＋3)·ex·x2，

当x＜－3时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，故③中f(x)不具有M性质．

对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)(x∈R)，g′(x)＝ex·(x2＋2)＋ex·2x＝(x2＋2x＋2)·ex＝[(x＋1)2＋1]·ex＞0，

∴函数g(x)在R上单调递增，故④中f(x)具有M性质．

综上，具有M性质的函数的序号为①④.

[答案]　①④

解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对函数f(x)所具有M性质的理解，将问题转化为判定函数是否具有此性质．

[活学活用1]

(2019·青岛三模)已知函数y＝f(x)(x∈R)．对于函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是____________．

解析：由于g(x)＝的图象是圆x2＋y2＝4在x轴上方的半圆(包括与x轴的交点)，设这个半圆的一条切线方程为y＝3x＋b1，则有＝2，解得b1＝2，要使得h(x)＞g(x)恒成立，则需b＞b1＝2.故实数b的取值范围为(2，＋∞)．

答案：(2，＋∞)

　　　设置“新运算”

“新运算”是指在现有的运算法则和运算律的基础上定义的一种新的运算，是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如“*”“⊗”“※”等，这些符号与四则运算中的加减乘除符号是不一样的．“新运算”类问题的情境一般比较陌生，求解时考生需要坦然面对，先准确理解“新运算”法则，再加以灵活运用即可解决问题．特别注意：新定义的算式在没有转化前，是不适合运用现有的运算法则和运算律进行计算的．

[例2]　定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2 017＝1；(2)(2n＋2)※2 017＝(2n)※2 017＋3.则2 018※2 017＝________.

[解析]　设an＝(2n)※2 017，则由运算性质(1)知a1＝1，由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3.

于是，数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为3.

故2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a1 009＝1＋1 008×3＝3 025.

[答案]　3 025

注意到(2n)※2 017与[2(n＋1)]※2 017((2n＋2)※2 017)结构相同，具体区别为前边是“n”，后边是“n＋1”，于是，可将它们看作某一数列的相邻两项，从而通过“换元”将不熟悉的“新运算”问题转化为熟悉的等差数列问题，这是求解本题的关键．

[活学活用2]

定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　)

A．若a与b共线，则a⊙b＝0

B．a⊙b＝b⊙a

C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)

D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2

解析：B　[若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．]

　　　设置“实际背景”

以现实中的生活实例或最新时事为背景，考查学生的应用能力和创新意识．解决这类问题的关键，正确理解题意，建立数学模型．

[例3]　交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系．发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；

(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5 000元，一辆非事故车盈利10 000元．且各种投保类型的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：

①若该销售商店内有6辆(车龄已满三年)该品牌二手车，某顾客欲在其内随机挑选2辆车，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；

②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．

[解析]　(1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为＝.

(2)①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为b1，b2,4辆非事故车，设为a1，a2，a3，a4.从6辆车中随机挑选2辆车的情况有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8种．

所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆事故车的概率为.

②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，

所以一辆车盈利的平均值为[(－5 000)×40＋10 000×80]＝5 000(元)．

本例以“交强险”这一实际生活实例为背景，考查了古典概型概率的求法以及平均值的计算．

[活学活用3]

几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)

A．440　　　　　　　　 B．330

C．220  D．110

解析：A　[设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依次类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意可知，N＞100，令＞100，得n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为＝2n－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，

∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，∴当t＝4，k＝13时，N＝＋4＝95＜100，不满足题意；当t＝5，k＝29时，N＝＋5＝440；当t＞5时，N＞440，故选A.]

　　　设置“新模型”

“新模型”试题指已知条件中给出具体的解题模型，需要考生将所给解题模型迁移至新情境中，对目标问题进行合理探究．着重考查考生的阅读理解能力，接受能力，应变能力和创新、探究能力．

[例4]　我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(1,2,3)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________________．

[解析]　由题意可设Q(x，y，z)为所求平面内的任一点，则根据⊥m，得·m＝0，所以(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化简得x＋2y－z－2＝0.故所求平面方程为x＋2y－z－2＝0.

[答案]　x＋2y－z－2＝0

本题求解的关键是具体探究所给解题过程：设P(x，y)为所求直线上的任一点，则根据⊥n，得·n＝0，所以4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比此解题过程，即可轻松解决目标问题．

[活学活用4]

(1)“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”说明同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识．在数学解题活动中，倘若能恰当地改变分析问题的角度，往往会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之感．请阅读以下问题及其解答：

问题：对任意a∈[－1,1]，不等式x2＋ax－2≤0恒成立，求实数x的取值范围．

解析：令f(a)＝xa＋(x2－2)，则对任意的a∈[－1,1]，不等式x2＋ax－2≤0恒成立，等价于解得－1≤x≤1.故实数x的取值范围是[－1,1]．

(2)类比上述解法，可得关于x的方程2x3－ax2－8x－(a2＋4a)＝0(a＜1)的根为____________．

解析：因为2x3－ax2－8x－(a2＋4a)＝0，所以a2＋(x2＋4)a－2(x3－4x)＝0，所以[a－2(x－2)][a＋(x2＋2x)]＝0，解得a＝2(x－2)或a＝－x2－2x，故所求方程的根为x1＝2＋，x2＝－1＋，x3＝－1－.

答案：－1－

　　　设置“新考查方向”

“新考查方向”试题是指试题考查的方式、方法与常规试题不同，此类试题设计新颖，注意对所学数学知识、方法的有效整合，侧重考查考生的综合运用能力．此类型问题的设置充分体现了考纲要求．“以能力立意”，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生的理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．

[例5]　

我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加全国高中数学联赛(河南预赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86.若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则＋的最小值为(　　)

A.  B．2

C.  D．9

解析：C　[由题意及茎叶图可知80＋x＝81，＝86，则x＝1，y＝4.因为正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，所以2G＝a＋b，G2＝xy＝4，所以a＋b＝4，所以＋＝·＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当b＝2a＝时取等号．故选C.]

本题以统计、数列知识为背景，考查基本不等式的运用，设计新颖，综合性强，体现了在知识交汇处命题的特点．根据样本的数字特征及茎叶图求得x，y的值，并利用等差、等比中项建立关于a，b的等量关系，即可将问题转化为常规的基本不等式求最值问题．

[活学活用5]

(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ 的最大值为(　　)

A．3  B．2

C.  D．2

解析：A　[如图，建立平面直角坐标系

则A(0,1)，B(0,0)，D(2,1)，C(2,0)，设P(x，y)

根据等面积公式可得圆的半径r是，即圆的方程是(x－2)2＋y2＝

＝(x，y－1)，＝(0，－1)，＝(2,0)，若满足＝λ＋μ，

即，μ＝，λ＝1－y，所以λ＋μ＝－y＋1，设z＝－y＋1，即－y＋1－z＝0，点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝上，所以圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故选A.]