2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题七第2讲　函数与方程、数形结合思想

第2讲　函数与方程、数形结合思想

一、函数与方程思想

应用一　函数与方程思想在不等式中的应用

[典型例题]

设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立，则x的取值范围为________．

【解析】　问题可以变成关于m的不等式

(x2－1)m－(2x－1)<0在m∈[－2，2]上恒成立，

设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，

则

即解得<x<，

故x的取值范围为(，)．

【答案】　(，)

一般地，对于多变元问题，需要根据条件和要求解的结果，确定一个变量，创设新的函数，求解本题的关键是变换自变量，以参数m作为自变量构造函数式，不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题．　

[对点训练]

1．设0<a<1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea－1的大小关系为(　　)

A．ea－1<a<ae　　　　　 B．ae<a<ea－1

C．ae<ea－1<a D．a<ea－1<ae

解析：选B.设f(x)＝ex－x－1，x>0，则f′(x)＝ex－1>0，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，

所以ex－1>x，即ea－1>a.

又y＝ax(0<a<1)在R上是减函数，得a>ae，

从而ea－1>a>ae.

2．关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在x∈(2，＋∞)上恒成立，则a＝________．

解析：关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在x∈(2，＋∞)上恒成立⇔函数f(x)＝x＋在x∈(2，＋∞)上的值域为(a2－2a＋1，＋∞)．

因为函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上为增函数，所以f(x)>2＋＝4，即f(x)在(2，＋∞)上的值域为(4，＋∞)，

所以a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3.

答案：－1或3

应用二　函数与方程思想在数列中的应用

[典型例题]

已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．

(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；

(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．

【解】　(1)因为a1＝2，a＝a2(a4＋1)，

又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，

所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，

所以数列{an}的通项公式an＝2n.

(2)因为Sn＝n(n＋1)，则＝＝－.

所以bn＝＋＋…＋

＝＋＋…＋＝－＝＝.

令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－>0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

所以当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝，

要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，

则须使k≥(bn)max＝，

所以实数k的最小值为.

(1)本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求bn，构造函数，利用单调性求bn的最大值．

(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：①由其表达式判断单调性，求出最值；②由表达式不易判断单调性时，借助an＋1－an的正负判断其单调性．　

[对点训练]

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S5＝0，S6＝3，则nSn的最小值为________．

解析：由已知得，a5＝S5－S4＝2，a6＝S6－S5＝3，因为数列{an}为等差数列，所以公差d＝a6－a5＝1.又S5＝＝0，

所以a1＝－2，故Sn＝－2n＋＝，即nSn＝，令f(n)＝(n>0且n∈Z)，则f′(n)＝n2－5n，令f′(n)>0，得n>，令f′(n)<0，得0<n<，所以f(n)在上单调递减，在上单调递增．又n为正整数，所以当n＝3时，f(n)取得最小值，即nSn取得最小值，即为－9.

答案：－9

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若对任意的n∈N*，kan，Sn，－1都成等差数列，求实数k的值．

解：(1)因为a1＋a2＝4，a3－a2＝6，

所以因为q>0，所以q＝3，a1＝1.

所以an＝1×3n－1＝3n－1，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.

(2)由(1)知an＝3n－1，Sn＝＝，因为kan，Sn，－1成等差数列，

所以2Sn＝kan－1，即2×＝k×3n－1－1，解得k＝3.

应用三　函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用

[典型例题]

(1)若方程cos2x－sin x＋a＝0在x∈上有解，则a的取值范围是________．

(2)已知a，b，c为平面上三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，x，y均为实数，则|c－xa－yb|的最小值为________．

【解析】　(1)法一：把方程cos2x－sin x＋a＝0变形为a＝－cos2x＋sin x，

设f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈，f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝－，由x∈可得sin x∈，易求得f(x)的值域为(－1，1]，故a的取值范围是(－1，1]．

法二：令t＝sin x，

由x∈，可得t∈(0，1]．

依题意得1－t2－t＋a＝0，即方程t2＋t－1－a＝0在t∈(0，1]上有解，设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线t＝－，如图所示．

因此，f(t)＝0在(0，1]上有解等价于

即所以－1<a≤1，故a的取值范围是(－1，1]．

(2)由题意可知|a|＝|b|＝1，a·b＝0，

因为|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，

所以|c－xa－yb|2＝|c|2＋x2|a|2＋y2|b|2－2xc·a－2yc·b＋2xya·b＝9＋x2＋y2－4x－2y＝(x－2)2＋(y－1)2＋4，

当且仅当x＝2，y＝1时，|c－xa－yb|＝4，

所以|c－xa－yb|的最小值为2.

【答案】　(1)(－1，1]　(2)2

(1)研究含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域．二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．

(2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想进行分析与处理，这是解决此类问题的一种比较常见的思维方式．　

[对点训练]

1．已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2，1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为(　　)

A．－1　　 B．2　　

C．1　　 D．－2

解析：选A.法一：由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，故a·b＝(λ，1)·(λ＋2，1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.

法二：a＋b＝(2λ＋2，2)，a－b＝(－2，0)．

由|a＋b|＝|a－b|，

可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.

2．在△ABC中，D为BC边上一点，DC＝2BD，AD＝，∠ADC＝45°，若AC＝AB，则BD＝________．

解析：在△ADC中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos 45°＝2＋DC2－2·DC·＝2＋DC2－2DC.

在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 135°＝BD2＋2＋2·BD·＝2＋BD2＋2BD.

又因为DC＝2BD，AC＝AB，

所以2·(2＋BD2＋2BD)＝2＋(2BD)2－2·2BD，整理得BD2－4BD－1＝0，

解得BD＝2＋(BD＝2－舍去)．

答案：2＋

应用四　函数与方程思想在解析几何中的应用

[典型例题]

已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点，离心率为.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆E于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)．

【解】　(1)由题设得解得

所以椭圆E的方程为＋＝1.

(2)设直线CD的方程为x＝ky＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与椭圆方程＋＝1联立得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0.

所以y1＋y2＝－，y1y2＝－.

所以S四边形OCAD＝S△OCA＋S△ODA

＝×2×|y1|＋×2×|y2|

＝|y1－y2|

＝

＝

＝

＝(其中t＝，t≥1)．

因为当t≥1时，y＝3t＋单调递增，所以3t＋≥4，所以S四边形OCAD≤3(当k＝0时取等号)，即四边形OCAD面积的最大值为3.

几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法．　

[对点训练]

　设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若＝6，求k的值．

解：依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．

如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.

由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，

得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝.

由D在AB上知x0＋2kx0＝2，

得x0＝.

所以＝，

化简得24k2－25k＋6＝0，

解得k＝或k＝.

二、数形结合思想

应用一　数形结合思想在函数与方程中的应用

[典型例题]

(1)记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值为(　　)

A．5　　 B．6　　

C．8　　 D．10

(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈(－2，0]时，f(x)＝－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为(　　)

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

【解析】　(1)在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图：

由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y＝13－x上点C下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值．

解方程组得点C(5，8)．

所以f(x)max＝8.

(2)因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[(x＋2)－2]＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数，作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2，6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根，故选C.

【答案】　(1)C　(2)C

用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．　

[对点训练]

1．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0，1]　　　　　　　 B．[1，＋∞)

C．(0，1) D．(－∞，1]

解析：选A.画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1，故选A.

2．若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．

解析：x＝0显然是方程的一个实数解；

当x≠0时，方程＝kx2可化为

＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，

设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，原题可以转化为两函数有三个非零交点．

f(x)＝(x＋4)|x|＝其大致图象如图所示，

由图易得0<<4，解得k>.

所以k的取值范围为.

答案：

应用二　数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用

[典型例题]

设函数f(x)＝，则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)

C．(－1，0) D．(－∞，0)

【解析】　当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x＋1)<f(2x)，则需或所以x<0，故选D.

【答案】　D

求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算．　

[对点训练]

　若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

解析：作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.

答案：(－∞，]

应用三　数形结合思想在解析几何中的应用

[典型例题]

已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．

【解析】　因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.

则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.

因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周长最小的点P的坐标为.

【答案】　

(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．

(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．　

[对点训练]

1．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为(　　)

A．5　　　　　　　　　　 B．

C． D．

解析：选A.根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5，0)，可知半焦距c＝5，

设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形．

如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，

又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.故选A.

2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________．

解析：根据题意，画出示意图，如图所示，

则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.

求m的最大值，即求圆C上的点到原点O的最大距离．

因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.

答案：6