2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：专题六第二讲小题考法——基本初等函数、函数与方程

第二讲  小题考法——基本初等函数、函数与方程

[典例感悟]

[典例]　(1)(2018·武汉华中师大附中诊断)已知函数f(x)＝则f(1－x)的大致图象是(　　)

(2)(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)

A．a＋b<ab<0　　 　　　 B．ab<a＋b<0

C．a＋b<0<ab  D．ab<0<a＋b

[解析]　(1)画出函数f(x)＝的图象(图略)，可知f(1－x)的图象与函数f(x)的图象关于直线x＝对称，利用对称性即可求得选项D正确．

(2)∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3<log21＝0，∴ab<0.

∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，

∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，

∴0<<1，∴ab<a＋b<0.

[答案]　(1)D　(2)B

[方法技巧]

3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题

(1)底数相同，指数不同的幂函数值用指数函数的单调性进行比较．

(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．

(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．

[演练冲关]

1．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)

A．是奇函数，且在R上是增函数

B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数

D．是偶函数，且在R上是减函数

解析：选A　因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，

所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．

2．(2018·洛阳模拟)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)

A．c>b>a  B．b>c>a

C．a>c>b  D．a>b>c

解析：选D　因为a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D.

3．已知函数f(x)＝·x，m，n为实数，则下列结论中正确的是(　　)

A．若－3≤m<n，则f(m)<f(n)

B．若m<n≤0，则f(m)<f(n)

C．若f(m)<f(n)，则m2<n2

D．若f(m)<f(n)，则m3<n3

解析：选C　∵f(x)的定义域为R，其定义域关于原点对称，f(－x)＝·(－x)＝·x＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数，又x>0时，2x－与x是增函数，且函数值为正，∴函数f(x)＝·x在(0，＋∞)上是增函数，由偶函数的性质知，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值越小，函数值就越小，反之也成立．对于选项A，无法判断m，n离原点的远近，故A错误；对于选项B，|m|>|n|，∴f(m)>f(n)，故B错误；对于选项C，由f(m)<f(n)，一定可得出m2<n2，故C正确；对于选项D，由f(m)<f(n)，可得出|m|<|n|，但不能得出m3<n3，故D错误．综上可知，选C.

4.(2018·西安八校联考)如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A，B和函数y＝log2x图象上的点C，线段AC平行于y轴，当△ABC为正三角形时，点B的横坐标为________．

解析：依题意，当AC∥y轴，△ABC为正三角形时，|AC|＝log24x－log2x＝2，点B到直线AC的距离为，设点B(x0,2＋log2x0)，则点A(x0＋，3＋log2x0)．由点A在函数y＝log24x的图象上，得log2[4(x0＋)]＝3＋log2x0＝log28x0，则4(x0＋)＝8x0，x0＝，即点B的横坐标是.

答案：

[典例感悟]

[典例]　(1)(2018·惠州模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为(　　)

A．8　　　　　　　　　 B．32

C.  D．0

(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．

(3)(2018·沈阳教学质量监测)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝ax＋1恰有一个解，则实数a的取值范围是________________．

[解析]　(1)令g(x)＝xf(x)－1＝0，则x≠0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数y＝f(x)的图象和y＝的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0时，y＝f(x)和y＝的大致图象，如图所示，

由于y＝f(x)和y＝的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在[－6,6]上的所有零点之和为0，而当x＝8时，f(x)＝，即两函数的图象刚好有1个交点，

且当x∈(8，＋∞)时，y＝的图象都在y＝f(x)的图象的上方，

因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.选A.

(2)当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝0.

∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，

∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，

即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3.

(3)如图，当直线y＝ax＋1过点B(2,2)时，a＝，方程有两个解；

当直线y＝ax＋1与f(x)＝2(x≥2)的图象相切时，a＝，方程有两个解；

当直线y＝ax＋1过点A(1,2)时，a＝1，方程恰有一个解．

故实数a的取值范围为∪.

[答案]　(1)A　(2)3　(3)∪

[方法技巧]

1．判断函数零点个数的3种方法

2.利用函数零点的情况求参数的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．

(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

[演练冲关]

1．函数y＝|log2x|－x的零点个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．4

解析：选C　令y＝|log2x|－x＝0，即|log2x|＝x，在同一平面直角坐标系中作出y＝|log2x|和y＝x的图象(图略)，由图象可知这两个函数的图象有两个交点，即所求零点个数为2.

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)  B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)  D．[1，＋∞)

解析：选C　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.

3．(2018·石家庄模拟)已知M是函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx(x∈R)的所有零点之和，则M的值为(　　)

A．3  B．6

C．9  D．12

解析：选D　将函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx的零点转化为函数h(x)＝|2x－3|与g(x)＝8sin πx图象交点的横坐标．在同一直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与

g(x)的图象都关于直线x＝对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M＝8×＝12，故选D.

4．已知关于x的方程|2x－10|＝a有两个不同的实根x1，x2，且x2＝2x1，则实数a＝________.

解析：构造函数f(x)＝|2x－10|＝

由已知得10－2x1＝2x2－10.

又x2＝2x1，代入整理得22x1＋2x1－20＝0，

解得x1＝2，

所以a＝|22－10|＝6.

答案：6

 [必备知能·自主补缺]　依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干

[主干知识要记牢]

1．指数函数与对数函数的对比表

2.方程的根与函数的零点

(1)方程的根与函数零点的关系

由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(2)函数零点的存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．

[针对练1]　在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)

A.  B．

C.   D.

解析：选C　因为f＝e＋4×－3＝e－2<0，f＝e＋4×－3＝e－1>0，f·f<0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.

[易错易混要明了]

1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性时忽视字母a的取值范围，忽视ax>0；研究对数函数y＝logax(a>0，a≠1)时忽视真数与底数的限制条件．

2．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．

3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一个零点，要注意讨论a是否为零．

[针对练2]　函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围为________．

解析：当m＝0时，f(x)＝－2x＋1，则x＝为函数的零点．当m≠0时，若Δ＝4－4m＝0，即当m＝1时，x＝1是函数唯一的零点．若Δ＝4－4m≠0，即m≠1时，显然x＝0不是函数的零点．这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1有一个正根一个负根．因此<0.则m<0.综上知实数m的取值范围是(－∞，0]∪{1}．

答案：(－∞，0]∪{1}

A级——12＋4提速练

一、选择题

1．(2018·河北监测)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5，则(　　)

A．a<b<c　　　　　　　 B．b<c<a

C．c<a<b  D．c<b<a

解析：选C　因为c＝5＝<，a＝log32＝<ln 2＝b，a＝log32>log3＝，所以c<a<b，故选C.

2．(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象(图略)，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.

3．若函数f(x)＝(x2＋1)·是奇函数，则m的值是(　　)

A．－1  B．1

C．－2  D．2

解析：选B　设g(x)＝x2＋1，h(x)＝，易知g(x)＝x2＋1是偶函数，则依题意可得h(x)＝是奇函数，故h(－x)＝＝－h(x)＝－，化简得2x＋m＝m·2x＋1，解得m＝1.选B.

4．若函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]  B．[0，＋∞)

C．(－∞，0)  D．(0，＋∞)

解析：选A　∵函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点，∴方程m＋log2x＝0在x≥1时有解，∴m＝－log2x≤－log21＝0.

5．已知实数a＝log23，b＝2，c＝log，则它们的大小关系为(　　)

A．a>c>b  B．c>a>b

C．a>b>c  D．b>c>a

解析：选B　由对数函数的性质知1<a＝log23<2，c＝log>log＝3>2，又b＝2＝<1，从而c>a>b.故选B.

6．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(0,1)∪(1,2)

C．(1,2)  D．[2，＋∞)

解析：选C　当a>1时，若y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，∴2>a>1.当1>a>0时，若y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，选C.

7．若a＝2x，b＝logx，则“a>b”是“x>1”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　如图，x＝x0时，a＝b，∴若a>b，则得到x>x0，且x0<1，∴a>b不一定得到x>1，充分性不成立；若x>1，则由图象得到a>b，必要性成立．∴“a>b”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.

8．(2018·广东汕头模拟)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)－f(－x)＝0，当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有三个零点，则a的取值范围为(　　)

A．[3,5]  B．[4,6]

C．(3,5)  D．(4,6)

解析：选C　∵f(x)－f(－x)＝0，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f(x)的图象如图所示：

∵g(x)＝f(x)－logax在(0，＋∞)上有三个零点，

∴y＝f(x)和y＝logax的图象在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y＝logax的图象，如图，

∴解得3<a<5.故选C.

9．(2018·郑州模拟)设m∈N，若函数f(x)＝2x－m＋10存在整数零点，则符合条件的m的个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选C　由f(x)＝0得m＝ .又m∈N，因此有解得－5≤x<10，x∈Z，∴x＝－5，－4，－3，…，1,2,3，…，8,9，将它们分别代入m＝，一一验证得，符合条件的m的取值为0,4,11,28，共4个，故选C.

10．(2018·唐山模拟)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝(　　)

A．3  B．7

C．10  D．14

解析：选C　由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10，选C.

11．(2018·成都模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x．则直线x－5y＋3＝0与曲线y＝f(x)的交点个数为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选B　由f(1－x)＝f(1＋x)知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x，则当x∈[0,1]时，f(x)＝ln(2－x)．由f(x)是定义在R上的偶函数，得f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝f(x)，于是f(x)是周期为2的周期函数，值域为[0，ln 2]，从而可以画出函数f(x)的大致图象(如图所示)，

然后画出直线y＝g(x)＝x＋.当x＝－3时，f(－3)＝f(3)＝f(1)＝0，g(－3)＝×(－3)＋＝0，此时有一个交点；当x＝0时，f(0)＝f(2)＝ln 2≈0.69，g(0)＝＝0.6，g(0)<f(0)；当x＝2时，f(2)＝ln 2≈0.69，g(2)＝1，g(2)>f(2)，于是根据图象，直线x－5y＋3＝0与曲线y＝f(x)的交点个数为4，故选B.

12．(2019届高三·福州四校联考)已知函数f(x)＝若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是(　　)

A．[4－2ln 2，＋∞)  B．(，＋∞)

C．(－∞，4－2ln 2]  D．(－∞，)

解析：选D　因为函数f(x)＝所以F(x)＝由F(x)＝0得，x1＝ee－m－1，x2＝4－2e－m，由得m<ln.设t＝e－m，则t>，所以x1·x2＝2et－1(2－t)，设g(t)＝2et－1·(2－t)，则g′(t)＝2et－1(1－t)，因为t>，所以g′(t)＝2et－1(1－t)<0，即函数g(t)＝2et－1(2－t)在区间上是减函数，所以g(t)<g＝，故选D.

二、填空题

13．(2018·南宁、柳州模拟)已知函数f(x)＝则f＋f＝________.

解析：由题可知f＝log＝2，因为log2<0，所以f＝＝2log26＝6，故f＋f＝8.

答案：8

14．(2018·福建模拟)已知函数f(x)＝有两个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：当x<1时，令ln(1－x)＝0，解得x＝0，故f(x)在(－∞，1)上有1个零点，

∴f(x)在[1，＋∞)上有1个零点．

当x≥1时，令－a＝0，得a＝≥1.

∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．

答案：[1，＋∞)

15．已知函数f(x)为偶函数且f(x)＝f(x－4)，又在区间[0,2]上f(x)＝函数g(x)＝|x|＋a，若F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则a＝________.

解析：由题意可知f(x)是周期为4的偶函数，画出函数f(x)与g(x)的大致图象，如图，由图可知若F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则有g(1)＝f(1)，解得a＝2.

答案：2

16．(2018·贵州模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．

解析：根据题意有lg A＝lg A0＋lg 10M＝lg(A0·10M)，所以A＝A0·10M，则＝100.

答案：100

B级——难度小题强化练

1．(2018·武汉模拟)已知x，y∈R，且x>y>0，若a>b>1，则一定有(　　)

A.>  B．sin ax>sin by

C．logax>logby  D．ax>by

解析：选D　对于A选项，不妨令x＝8，y＝3，a＝5，b＝4，显然＝<＝，A选项错误；

对于B选项，不妨令x＝π，y＝，a＝2，b＝，此时sin ax＝sin 2π＝0，sin by＝sin＝，显然sin ax<sin by，B选项错误；

对于C选项，不妨令x＝5，y＝4，a＝3，b＝2，此时logax＝log35，logby＝log24＝2，显然logax<logby，C选项错误；

对于D选项，∵a>b>1，∴当x>0时，ax>bx，又x>y>0，∴当b>1时，bx>by，∴ax>by，D选项正确．

综上，选D.

2．(2018·南昌调研)已知函数f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝ln x－，若f(x1)＝g(x2)＝0，则(　　)

A．0<g(x1)<f(x2)  B．f(x2)<g(x1)<0

C．f(x2)<0<g(x1)  D．g(x1)<0<f(x2)

解析：选D　易知f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝ln x－在各自的定义域内是增函数，而f(0)＝e－1＋0－4＝－4<0，f(1)＝e0＋4×1－4＝1>0，g(1)＝ln 1－＝－1<0，g(2)＝ln 2－＝ln>ln 1＝0.又f(x1)＝g(x2)＝0，所以0<x1<1,1<x2<2，所以f(x2)>f(1)>0，g(x1)<g(1)<0，故g(x1)<0<f(x2)．

3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数f(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为(　　)

A．2a－1  B．2－a－1

C．1－2－a  D．1－2a

解析：选D　因为f(x)为R上的奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝画出函数y＝f(x)的图象和直线y＝a(0<a<1)，如图．

由图可知，函数y＝f(x)与直线y＝a(0<a<1)共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则＝－3，＝3，而－log(－x3＋1)＝a，即log2(1－x3)＝a，可得x3＝1－2a，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，选D.

4．(2019届高三·湘东五校联考)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且满足①f(4)＝0；②曲线y＝f(x＋1)关于点(－1,0)对称；③当x∈(－4,0)时f(x)＝log2.若y＝f(x)在x∈[－4,4]上有5个零点，则实数m的取值范围为(　　)

A．[－3e－4,1)  B．[－3e－4,1)∪{－e－2}

C．[0,1)∪{－e－2}  D．[0,1)

解析：选B　∵曲线y＝f(x＋1)关于点(－1,0)对称，∴曲线y＝f(x)关于点(0,0)对称，∴f(x)在R上是奇函数，则f(0)＝0.又f(4)＝0，∴f(－4)＝0，而y＝f(x)在x∈[－4,4]上有5个零点，故当x∈(－4,0)时，f(x)＝log2有1个零点，而此时f(x)＝log2＝log2＝log2(xex＋ex－m＋1)，故xex＋ex－m＋1＝1在x∈(－4，0)上有1个解．令g(x)＝xex＋ex－m，则g′(x)＝ex＋xex＋ex＝ex(x＋2)，故g(x)在(－4，－2)上是减函数，在(－2,0)上是增函数．而g(－4)＝－4e－4＋e－4－m＝－3e－4－m，g(0)＝1－m，g(－2)＝－2e－2＋e－2－m＝－e－2－m，而g(－4)<g(0)，故g(－2)＝－e－2－m＝0或－3e－4－m≤0<1－m，故m＝－e－2或－3e－4≤m<1，∴实数m的取值范围为[－3e－4,1)∪{－e－2}．故选B.

5．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．

解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，

当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，

因此函数f(x)的最小值为－.

答案：－

6．已知函数f(x)＝在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．

解析：令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，函数y＝，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，＋∞)，此时≤1，即0<a≤1时成立；当a<0时，函数y＝＝t－，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，＋∞)，此时≤1，即－1≤a<0时成立．综上可得a的取值范围是[－1,1]．

答案：[－1,1]