2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：专题六第四讲小题考法——导数的简单应用

第四讲 小题考法——导数的简单应用
考点(一)
导数的几何意义

主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程或已知切线方程求参数.

[典例感悟]
[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x　　　　　　　 B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
(2)(2018·成都模拟)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2－2x(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是________．
[解析]　(1)易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.
(2)f′(x)＝＋2ax－2＝(x>0)，
由题意得f′(x)≥0在x>0时恒成立，
所以2ax2－2x＋1≥0在x>0时恒成立，
即2a≥－＝－＋1＝－2＋1，所以a≥，所以a的取值范围为.
[答案]　(1)D　(2)
[方法技巧]
1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法
已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程
求出该曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程
已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程
已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程
2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数
已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．

[演练冲关]
1．(2018·广州模拟)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xln x相切，则实数k的值为(　　)
A．ln 2　　　　　　　　　 B．1
C．1－ln 2 D．1＋ln 2
解析：选D　由y＝xln x知y′＝ln x＋1，设切点为(x0，x0ln x0)，则切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0ln x0＝(ln x0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln 2，选D.
2．曲线y＝与其在点(0，－1)处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为(　　)
A．1－ln 2 B．2－2ln 2
C．2ln 2－1 D．ln 2
解析：选C　因为y＝，所以y′＝′＝，则曲线y＝在(0，－1)处的切线的斜率k＝2，切线方程为y＝2x－1，则曲线y＝与其在点(0，－1)处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积S＝dx＝dx＝[x2－2x＋2ln(x＋1)]＝2ln 2－1，选C.
3．(2018·金华十校联考)若函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，
又f′(x)＝＋a，即＋a＝2在(0，＋∞)上有解，
即a＝2－在(0，＋∞)上有解，
因为x＞0，所以2－＜2，
所以实数a的取值范围是(－∞，2)．
答案：(－∞，2)

考点(二)
利用导数研究函数的单调性

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主要考查利用导数来研究函数的单调性或由函数的单调性求某参数值(或取值范围).

[典例感悟]
[典例]　(1)已知函数f(x)＝－ln x＋＋3，则函数f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，0)　　　　　 B．(0,1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
(2)(2018·益阳、湘潭模拟)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，eπ，π3,3π，πe六个数中，最小的数与最大的数分别是(　　)
A．3e,3π B．3e，eπ
C．e3，π3 D．πe,3π
(3)(2018·邯郸二模)已知函数f(x)＝x2－ln x＋在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
[解析]　(1)已知函数f(x)＝－ln x＋＋3，定义域为(0，＋∞)．则f′(x)＝－＋x.由得0