2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题七第一讲选修4－4　坐标系与参数方程

第一讲  选修4－4　坐标系与参数方程

[考情分析]

1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用．

2．全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．　　　　

考点一　极坐标方程及其应用

[典例感悟]

[典例]　(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．

记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，

所以＝2，

故k＝－或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，

所以＝2，故k＝0或k＝.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

[方法技巧]

1．求曲线的极坐标方程的一般思路

曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．

2．解决极坐标交点问题的一般思路

(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标；

(2)将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标．

[演练冲关]

(2018·太原模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．

(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

解：(1)∵ρcos＝1，

∴ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin＝1.

又∴x＋y＝1，

即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0，

令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.

∴M(2,0)，N.

∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.

(2)∵M，N连线的中点P的直角坐标为，

∴P的极角为θ＝，

∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

考点二　参数方程及其应用

[典例感悟]

[典例]　(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

[解]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.

当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，

当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，

所以①有两个解，

设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，

故2cos α＋sin α＝0，

于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.

[方法技巧]

参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用

(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．

(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．

[演练冲关]

(2018·广东广州花都区二模)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．

(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；

(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2，设P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．

解：(1)直线l的普通方程为y＝(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，由解得l与C1的交点坐标分别为(1,0)，，故|AB|＝ ＝1.

(2)由题意得，曲线C2的参数方程为(θ为参数)，则点P的坐标是，

所以点P到直线l的距离d＝＝，

故当sin＝－1时，d取得最小值，最小值为.

考点三　极坐标方程与参数方程的综合应用

[典例感悟]

[典例]　(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

[解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.

[方法技巧]

极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略

(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解．

(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．

(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．

[演练冲关]

(2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝α，0<α<π.

(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；

(2)设A，B分别为射线l与曲线C1，C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值．

解：(1)由曲线C1的参数方程(t为参数)，消去参数t得x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，

∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

由曲线C2的直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4，得x2＋y2－4y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

(2)联立得A(2sin α，α)，∴|OA|＝2sin α，

联立得B(4sin α，α)，∴|OB|＝4sin α，

∴|AB|＝|OB|－|OA|＝2sin α，

∵0<α<π，∴当α＝时，|AB|有最大值，最大值为2.

1．(2018·石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0.

(1)求直线l的极坐标方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.

解：(1)由消去t得，y＝2x，

把代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，

所以直线l的极坐标方程为sin θ＝2cos θ.

(2)因为ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.

圆C的圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝，

所以|AB|＝2＝.

2．(2018·益阳、湘潭模拟)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.直线l与曲线C交于A，B两点．

(1)求直线l的直角坐标方程；

(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．

解：(1)由ρcos＝得ρcos θcos－ρsin θsin＝，即ρcos θ－ρsin θ＝，

又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，

∴直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0.

(2)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，

∵P(1,0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为(t为参数)，

将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0，

∴t1·t2＝－，

故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝.

3．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．

解：(1)曲线C1的普通方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，

即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，则曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.

∵直线C2的方程为y＝x，∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，

将θ＝(ρ∈R)代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.

4．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t>0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos＝.

(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；

(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．

解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，

即ρcos θ＋ρsin θ＝2，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

因为(α为参数，t>0)，

所以曲线C的普通方程为＋y2＝1(t>0)，

由消去x得，(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，

所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0，又t>0，

解得0<t<，故t的取值范围为(0，)．

(2)由(1)知直线l的方程为x＋y－2＝0，

故曲线C上的点(tcos α，sin α)到l的距离d＝，

故dmax＝＝＋，解得t＝±.

又t>0，∴t＝.

5．(2018·重庆模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝3.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若点M在曲线C1上，点N在曲线C2上，求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标．

解：(1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为＋＝1，由ρcos＝3，得ρcos θ－ρsin θ＝6，∴曲线C2的直角坐标方程为x－y－6＝0.

(2)设点M的坐标为(3cos β，sin β)，点M到直线x－y－6＝0的距离d＝＝＝，

当sin＝－1时，|MN|有最小值，最小值为3－，此时点M的直角坐标为.

6．(2018·昆明模拟)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.

解：(1)由题意知直线l的参数方程为(t为参数)，

因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，

把y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0，

由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos2α>，

由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cos α，t1t2＝3.

不妨令|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，所以|PQ|＝|t1－t2|，

因为|PQ|2＝|AP|·|AQ|，所以(t1－t2)2＝|t1|·|t2|，

则(t1＋t2)2＝5t1t2，得(－4cos α)2＝5×3，

解得cos2α＝，满足cos2α>，

所以sin2α＝，tan2α＝，

所以k＝tan α＝±.

7．(2019届高三·湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.

(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．

解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，

ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.

(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，

得t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，

由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝，t1t2＝，

根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，得α＝或α＝.

又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝.

8．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．

解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.

l与⊙O交于两点需满足<1，

解得k<－1或k>1，

即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，

则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.

又点P的坐标(x，y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是

.