2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题一第一讲小题考法——平面向量

[全国卷3年考情分析]第一讲  小题考法——平面向量 考点(一) 向量的线性运算与有关定理主要考查平面向量的线性运算以及向量共线、平面向量基本定理的应用. [典例感悟][典例]　(1)(2018·福州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)A．1　　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4(2)(2019届高三·开封模拟)已知平面向量a，b，c，a＝(－1,1)，b＝(2,3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝________.[解析]　(1)法一：根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋ .因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3，故选C.法二：如图所示，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m,0)，D(3m,3h)，E(4m,2h)，其中m>0，h>0.由＝r＋s，得(4m,2h)＝r(4m,0)＋s(3m,3h)，所以解得所以2r＋3s＝1＋2＝3，选C.(2)由题意，得a＋b＝(1,4)，由(a＋b)∥c，得1×k＝4×(－2)，解得k＝－8.[答案]　(1)C　(2)－8[方法技巧]解决平面向量问题的常用3种方法 几何法求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析，则有利于问题的顺利获解建系法处理有关平面图形的向量问题时，若能灵活建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性基底法求解有关平面向量的问题时，若能灵活地选取基底，则有利于问题的快速获解．理论依据：适当选取一组基底e1，e2，利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于e1，e2的代数运算问题 [演练冲关]1．(2018·合肥二模)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)A．x＝，y＝  B．x＝，y＝C．x＝，y＝  D．x＝，y＝解析：选A　由题意知＝＋，又＝2＝，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.2．(2018·西安高级中学三模)在△ABC中，＝2，＝3，连接BF，CE，且BF∩CE＝M，＝x＋y，则x－y等于(　　)A．－  B.C．－  D.解析：选C　因为＝2，所以＝，所以＝x＋y＝x＋y.由B，M，F三点共线得x＋y＝1.①因为＝3，所以＝，所以＝x＋y＝x＋y.由C，M，E三点共线得x＋y＝1.②联立①②解得所以x－y＝－＝－，故选C.3．已知A(－1,2)，B(a－1,3)，C(－2，a＋1)，D(2,2a＋1)，若向量与平行且同向，则实数a的值为________．解析：法一：由已知得＝(a,1)，＝(4，a)，因为与平行且同向，故可设＝λ (λ>0)，则(a,1)＝λ(4，a)，所以解得故所求实数a＝2.法二：由已知得＝(a,1)，＝(4，a)，由∥，得a2－4＝0，解得a＝±2.又向量与同向，易知a＝－2不符合题意．故所求实数a＝2.答案：2考点(二) 平面向量的数量积及应用主要考查数量积、夹角以及向量模的计算或用数量积解决最值范围问题. [典例感悟][典例]　(1)(2018·南宁、柳州联考)已知单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.  D.(2)(2018·福州四校联考)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)A．1  B.C.  D.(3)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)A．－2  B．－C．－  D．－1[解析]　(1)因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，整理得a·b＝0.在平面直角坐标系中作出a，b，b－a，如图，易知a与b－a的夹角是，故选D.(2)法一：∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1＝2＋≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.法二：∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1,0)，b＝，则a＋b＝.∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(t∈R)，∴a＋c＝，∴|a＋c|＝ ＝≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.(3)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，故当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.[答案]　(1)D　(2)D　(3)B[方法技巧]解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．[演练冲关]1．(2018·昆明模拟)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则|2a－b|＝(　　)A.  B．2C.  D．10解析：选C　由已知，易得2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a－b|＝＝.故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4  B．3C．2  D．0解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3．(2018·陕西宝鸡一模)在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.设M(a,2－a)，则0<a<1.由||＝，得N(a＋1,1－a)，∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)．∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝22＋.∵0<a<1，∴当a＝时，·取得最小值.当a＝0或a＝1时，·＝2.∴·的取值范围是.故选C.4．在△ABC中，·＝8，，的夹角为150°.若M为△ABC内的动点，且△MAB，△MBC，△MCA的面积分别为2，m，n，则＋的最小值是(　　)A．20  B．18  C．16  D．8解析：选D　设△ABC的内角B，C所对的边分别为b，c，因为·＝8，，的夹角为150°，所以8 ＝bc·cos 30°，解得bc＝16，所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝×16×sin 30°＝4.依题意得2＋m＋n＝4，解得m＋n＝2.因为＋＝×＝5＋≥5＋×2＝8，所以＋的最小值是8.故选D.[必备知能·自主补缺]依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．平面向量的性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝ .(4)|a·b|≤|a|·|b|.[二级结论要用好]1．三点共线的判定(1)A，B，C三点共线⇔，共线．(2)向量，，中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.[针对练1]　在▱ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n (m，n∈R)，则＝________.解析：如图，∵＝2，＝m＋n，∴＝＋＝m＋(2n＋1)，∵F，E，B三点共线，∴m＋2n＋1＝1，∴＝－2.答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标是G.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.[易错易混要明了]1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．2．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，即消去律不成立；(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等，(a·b)·c与c平行，而a·(b·c)与a平行．3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角(钝角)与向量的数量积大于(小于)0不等价．[针对练2]　已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________________．解析：依题意，当a与b的夹角为钝角时，a·b＝－2λ－1<0，解得λ>－.而当a与b共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a＝－b，a与b反向共线，此时a与b的夹角为π，不是钝角，因此，当a与b的夹角为钝角时，λ的取值范围是∪(2，＋∞)．答案：∪(2，＋∞)A级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·贵州模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(m，－1)，若a∥b，则实数m的值为(　　)A.　　　　　　　　　　 B．－C．3  D．－3解析：选B　由题意，得1×(－1)－2m＝0，解得m＝－，故选B.2．(2018·福州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，c＝2a－b，则|c|＝(　　)A.  B．3C.  D.解析：选B　因为c＝2a－b＝2(1,2)－(－1,1)＝(3,3)，所以|c|＝＝3.故选B.3．(2019届高三·广西五校联考)设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　　)A．＝－   B．＝－C．＝－   D．＝－解析：选A　＝＋＝－＝－－＝－.4．(2018·云南调研)在▱ABCD中，＝8，＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)A．48  B．36C．24  D．12解析：选C　·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是(　　)A.  B．－C．3  D．－3解析：选C　依题意得，＝(2,1)，＝(5,5)，·＝(2,1)·(5,5)＝15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝3.6．(2019届高三·湖南五市十校联考)△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则向量a，b的夹角为(　　)A．30°  B．60°C．120°  D．150°解析：选C　＝－＝2a＋b－2a＝b，则向量a，b的夹角即为向量与的夹角，故向量a，b的夹角为120°.7．(2018·西工大附中四模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点G在△ABC内，且满足＋＋＝0，·＝0，若a2＋b2＝λc2(λ∈R)，则λ＝(　　)A．－5  B．－2C．2  D．5解析：选D　设BC的中点为D，连接GD(图略)，则＋＝2.又＋＋＝0，所以2＝，所以A，G，D三点共线，且AG＝2GD.故＝＝×(＋)＝(＋)．同理可得BG―→＝(＋)．由·＝0，得(＋)·(＋)＝0，所以(＋)·(－2)＝0，即||2－2||2－·＝0，所以b2－2c2－bc·＝0，化简得a2＋b2＝5c2.又a2＋b2＝λc2(λ∈R)，所以λ＝5.故选D.8．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选A　以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，∴＝(2,0)，＝(1，)，又＝λ，＝(1－λ)，∴P(2λ，0)，Q(1－λ，(1－λ))，∴·＝(－1－λ，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝.9．(2018·西安八十三中二模)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)A．a⊥b  B．a⊥(a－b)C．b⊥(a－b)  D．(a＋b)⊥(a－b)解析：选C　由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故选C.10．(2018·河南林州检测)已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：＝m＋n,4m＋3n＝2，且||＝4，||＝6，则·＝(　　)A．36  B．24C．24  D．12解析：选A　·＝m2＋n·，因为O为△ABC的外心，所以2＝m2＋n||·||·cos∠BCA，所以24＝48m＋24n·cos∠BCA，因为4m＋3n＝2，所以24＝12(2－3n)＋24n·cos∠BCA，又n≠0，即cos∠BCA＝，所以·＝||·||cos∠BCA＝4×6×＝36.11．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k>0)，若以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，则k的值为(　　)A.  B.C.  D.解析：选A　设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，得×1×1×sin θ＝，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而将e3＝e1＋ke2两边平方得1＝＋k2，解得k＝或k＝－(舍去)．12.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m＋n (m>0，n>0)，m＋n＝2，则∠AOB的最小值为(　　)A.  B.C.  D.解析：选D　将＝m＋n平方得1＝m2＋n2＋2mncos∠AOB，cos∠AOB＝＝＝－＋1≤－(当且仅当m＝n＝1时等号成立)，∵0<∠AOB<π，∴∠AOB的最小值为.二、填空题13．(2018·汕头模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(3，m)．若(a＋2b)∥(3b－a)，则实数m的值是________．解析：a＋2b＝(2,1)＋(6,2m)＝(8,1＋2m)，3b－a＝(9,3m)－(2,1)＝(7,3m－1)，由(a＋2b)∥(3b－a)，得8(3m－1)－7(1＋2m)＝0，解得m＝.答案：14．(2018·长春模拟)已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1×3×cos＝4，所以|a＋b＋c|＝2.答案：215．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：法一：如图所示，作平行四边形OB1CA1，则＝1＋1，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△B1OC中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.法二：以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)．由＝λ＋μ，得解得所以λ＋μ＝6.答案：616．(2018·渭南一模)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝30°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．解析：因为四边形ABCD是平行四边形，E为CD的中点，所以＝＋，＝＋CE―→＝－，所以·＝(＋)·＝2－2＋·＝1，又2＝1，·＝1×||×cos 30°＝||，所以1－2＋||＝1，解得||＝或||＝0(舍去)．答案：B级——难度小题强化练1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)A.－   B.－C.＋   D.＋解析：选A　法一：作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，E.故＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,0)－＝，即＝－.2．已知点P是△ABC内一点，且＋＝6，则 ＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　设点D为AC的中点，在△ABC中，＋＝2，即2＝6，所以＝3，即P为BD的三等分点，所以＝，又＝，所以＝.3．(2018·嘉兴一模)设平面向量＝(2,0)，＝(0,1)，点P满足＝＋，其中m>0，n>0，O为坐标原点，则点P的轨迹的长度为(　　)A.  B.C.  D.解析：选D　设P(x，y)，因为＝(2,0)，＝(0,1)，＝＋＝，所以x＝，y＝(其中m，n>0)，所以x2＋y2＝2(其中x，y>0)，则点P的轨迹的长度为×2π×＝.4．(2018·重庆模拟)已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)A.  B.C.  D．(2,3)解析：选A　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)．设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0<x<1.因为＝(－3,0)，＝(－3,4)，＝(x－3，y)，且＝λ＋μ，所以得所以λ＋μ＝1－x，又0<x<1，所以λ＋μ∈，故选A.5．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．解析：因为⊥，所以·＝(a－b)·(a＋b)＝0，化简得a2－b2＝0，得|a|＝|b|，又||＝||，所以||2＝||2，即(a－b)2＝(a＋b)2，得a⊥b，因为a＝，所以|a|＝ ＝1，所以|a|＝|b|＝1，可得a，b是相互垂直的单位向量，所以||＝||＝，所以△OAB的面积S＝||·||＝1.答案：16．(2018·武汉调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵||＝||，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，∴·＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴当x＝时，·取得最小值，为.答案：