2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题一第四讲大题考法——解三角形

第四讲  大题考法——解三角形题型(一)三角形基本量的求解问题主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小或三角函数值，　且常与三角恒等变换综合考查. [典例感悟][典例]　(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． [审题定向](一)定知识主要考查三角恒等变换与正、余弦定理求解边角问题．(二)定能力1.考查数学运算：三角恒等式的转换，一元二次方程的求解.2.考查逻辑推理：由三角形面积想到S＝absin C；欲求周长，只需整体求b＋c.(三)定思路第(1)问应用正弦定理、面积公式求解：利用三角形的面积公式，结合已知条件建立等量关系式，再利用正弦定理将等量关系式中的边化角，从而求得sin Bsin C的值；第(2)问应用和差公式、余弦定理求解：逆用两角和公式求得B＋C，从而求得A；再结合三角形的面积公式和余弦定理求得bc、b＋c的值，从而求得△ABC的周长.[解]　(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.由正弦定理得sin Csin B＝.故sin Bsin C＝.(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题设得bcsin A＝，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋. [类题通法]用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 [对点训练](2017·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)．(1)求cos A的值；(2)求sin(2B－A)的值．解：(1)由asin A＝4bsin B，及＝，得a＝2b.由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，得cos A＝＝＝－.(2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，得sin B＝＝. 由(1)知，A为钝角，所以cos B＝＝.于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A＝×－×＝－.题型(二)与三角形面积有关的问题主要考查三角形面积的计算或已知三角形的面积求边或角，涉及正、余弦定理及三角形面积公式.[典例感悟][典例]　(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.[审题定向](一)定知识主要考查余弦定理解三角形以及三角形面积的求法．(二)定能力1.考查逻辑推理：欲求边c，想到列出c的方程，欲求面积，想到三角形面积公式，即要求两边及其夹角正弦值.2.考查数学运算：三角恒等式的转换，一元二次方程的求解及面积的计算.(三)定思路第(1)问应用余弦定理求c：先通过商的关系化简已知式子得A的正切值，求出A，再利用余弦定理求c；第(2)问应用三角形面积公式求S△ABD：根据(1)的结论及AD⊥AC求出∠BAD，利用余弦定理求CD，AD，再利用面积公式，或先判断△ABD与△ACD的面积关系再求.[解]　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c·cos ，即c2＋2c－24＝0.解得c＝4(负值舍去)．(2)法一：由题可得∠CAD＝，所以∠BAD＝，由余弦定理可得cos C＝，∴CD＝，∴AD＝，∴S△ABD＝×4××sin∠DAB＝.法二：由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝.故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2×sin＝2，所以△ABD的面积为. [类题通法]求解与三角形面积有关的问题的步骤 [对点训练](2018·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1＋cos B)＝b(2－cos C)．(1)求证：2b＝a＋c；(2)若B＝，△ABC的面积为4，求b.解：(1)证明：∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)，∴由正弦定理可得sin C＋sin Ccos B＝2sin B－sin Bcos C，可得sin Ccos B＋sin Bcos C＋sin C＝2sin B，sin(B＋C)＋sin C＝2sin B，∴sin A＋sin C＝2sin B，∴a＋c＝2b.(2)∵B＝，∴△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝4，∴ac＝16.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.∵a＋c＝2b，∴b2＝4b2－3×16，解得b＝4.题型(三)以平面几何为载体的解三角形问题 此类问题的本质还是考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角度问题. [典例感悟][典例]　(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.  [审题定向](一)定知识主要考查以平面几何为载体利用正、余弦定理求解三角形基本量问题．(二)定能力1.考查逻辑推理：欲求cos∠ADB，先求sin∠ADB，由正弦定理可求；欲求BC，可利用余弦定理列出BC的方程求解.2.考查数学运算：同角三角函数基本关系式的运用，正、余弦定理的求解.(三)定思路第(1)问应用正弦定理、同角三角函数基本关系式求解：由正弦定理求得sin∠ADB，再由同角三角函数基本关系求cos∠ADB；第(2)问应用余弦定理求解：由诱导公式先求得cos∠BDC，再由余弦定理求得BC. [解]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝ ＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.[类题通法]求解与三角形相关的平面几何问题的策略一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．[对点训练](2018·洛阳统考)如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．解：(1)由已知，易得∠ACB＝45°，在△ABC中，＝，解得BC＝5.因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.在△BCD中，CD＝＝5.(2)AC＋AB>BC＝10，由cos 60°＝，得(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，而AB·AC≤2，所以≤2，解得AB＋AC≤20，故AB＋AC的取值范围为(10,20]．  解三角形问题重在 “变”——变角、变式[循流程思维——入题快]尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感．突破此难点的关键在于“变”——变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等．从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等． [按流程解题——快又准][典例]　(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.(1)求cos B；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.[解题示范](1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，即sin B＝4(1－cos B)，❶故17cos2B－32cos B＋15＝0，解得cos B＝，cos B＝1(舍去)．(2)由cos B＝，得sin B＝，❷故S△ABC＝acsin B＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)❸＝36－2××＝4.所以b＝2.　❶变角：利用诱导公式及二倍角公式变角求cos B❷变式：利用平方关系求sin B❸变式：利用配方法变形a2＋c2为(a＋c)2－2ac求b[思维升华]　“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀．在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算．[应用体验](2018·广州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acos B＝(2c－b)cos A.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的最大值．解：(1)法一：由已知，得acos B＋bcos A＝2ccos A.由正弦定理，得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，即sin(A＋B)＝2sin Ccos A.因为sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin C＝2sin Ccos A.因为sin C≠0，所以cos A＝.因为0<A<π，所以A＝.法二：由已知及余弦定理，得a×＝(2c－b)×，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝.因为0<A<π，所以A＝.(2)法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得bc＋4＝b2＋c2，即(b＋c)2＝3bc＋4.因为bc≤2，所以(b＋c)2≤(b＋c)2＋4，即b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，所以a＋b＋c≤6.故△ABC的周长的最大值为6.法二：因为＝＝，且a＝2，A＝，所以b＝sin B，c＝sin C.所以a＋b＋c＝2＋(sin B＋sin C)＝2＋＝2＋4sin.因为0<B<，所以当B＝时，a＋b＋c取得最大值6.故△ABC的周长的最大值为6.A卷——大题保分练1．(2018·惠州模拟)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．解：(1)∵2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0，∴由正弦定理可得2cos C(sin Acos C＋sin Ccos A)＋sin B＝0.∴2cos Csin(A＋C)＋sin B＝0，即2cos Csin B＋sin B＝0，又0°<B<180°，∴sin B≠0，∴cos C＝－，又0°<C<180°，∴C＝120°.(2)由余弦定理可得(2)2＝a2＋22－2×2acos 120°＝a2＋2a＋4，又a>0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝absin C＝，∴△ABC的面积为.2．(2018·陕西模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)．(1)求角B的大小；(2)若b＝4，△ABC的面积为，求a＋c的值．解：(1)∵bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)，由正弦定理可得，sin Bcos A＝(－2sin C－sin A)cos B.∴sin(A＋B)＝－2sin Ccos B.∴sin C＝－2sin Ccos B，又sin C≠0，∴cos B＝－，∴B＝.(2)由S△ABC＝acsin B＝，得ac＝4.又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.∴a＋c＝2.3．(2018·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin－cos＝.(1)求cos B的值；(2)若b2－a2＝ac，求的值．解：(1)将sin－cos＝两边同时平方得，1－sin B＝，得sin B＝，故cos B＝±，又sin－cos＝>0，所以sin>cos，所以∈，所以B∈，故cos B＝－.(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋ac，所以a＝c－2acos B＝c＋a，所以c＝a，故＝＝.4．(2018·昆明模拟)在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝150°.(1)求AB的长；(2)延长BC至D，使∠ADC＝45°，求△ACD的面积．解：(1)由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝2.(2)因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，所以∠CAD＝150°－45°＝105°，由正弦定理＝，得CD＝，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝，所以CD＝3＋，又∠ACD＝180°－∠ACB＝30°，所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝(＋1)．5．(2019届高三·齐鲁名校联考)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为锐角，且满足2sin(A＋C)＋cos 2B＝4sin Bcos2.(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积S＝，b＝，求△ABC的周长l.解：(1)由已知得，2sin(π－B)＋cos 2B＝4sin Bcos2，即2sin B＋cos 2B＝4sin Bcos2，所以2sin B＋cos 2B＝0，即－2sin Bcos B＋cos 2B＝0，即sin 2B＝cos 2B，所以tan 2B＝.因为0<B<，所以0<2B<π，所以2B＝，解得B＝.(2)由(1)知，B＝.△ABC的面积S＝acsin B＝acsin＝ac＝，整理得ac＝3，①由b＝及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得()2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac，整理得a2＋c2－ac＝3，②将①代入②得，(a＋c)2＝12＋6，即a＋c＝3＋，故△ABC的周长l＝b＋a＋c＝＋3＋＝3＋2.B卷——深化提能练1．(2018·贵州一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.(1)求a；(2)求AB边上的高CD的长．解：(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，∴a＝3或a＝－2(舍去)，∴a＝3.(2)由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得absin∠ACB＝c×CD，∴CD＝＝＝，即AB边上的高CD＝.2．(2018·河北模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos B＝bcos A.(1)若sin A＝，a＋b＝10，求a；(2)若b＝3，a＝5，求△ABC的面积S.解：∵cos B＝bcos A，∴由正弦定理得·cos B＝sin Bcos A，即有sin Ccos B＝sin Acos B＋cos Asin B，则sin Ccos B＝sin C.∵sin C>0，∴cos B＝.(1)由cos B＝，得sin B＝，∵sin A＝，∴＝＝，又a＋b＝10，解得a＝4.(2)∵b2＝a2＋c2－2accos B，b＝3，a＝5，∴45＝25＋c2－8c，即c2－8c－20＝0，解得c＝10或c＝－2(舍去)，∴S＝acsin B＝15.3．(2018·沈阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos ＝，·＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．解：(1)由·＝3，得bccos A＝3，又cos A＝2cos2－1＝2×2－1＝，∴bc＝5，sin A＝.由sin A＝及S△ABC＝bcsin A，得S△ABC＝2.(2)由b＋c＝6，得b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝26，∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，∴a＝2.4．(2019届高三·益阳、湘潭联考)已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.(1)求角C的大小；(2)求函数y＝sin A＋sin B的值域．解：(1)由＝，利用正弦定理可得2sin Acos C－sin Bcos C＝sin Ccos B，可化为2sin Acos C＝sin(C＋B)＝sin A，∵sin A≠0，∴cos C＝，∵C∈，∴C＝.(2)y＝sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＋sin A＝sin，∵A＋B＝，0<A<，0<B<，∴<A<，∴<A＋<，∴sin∈，∴y∈.5.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．(1)求sin∠CED；(2)求BE的长．解：设∠CED＝α.因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝.(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，由题设知7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理得＝ ，于是sin α＝＝＝，即sin∠CED＝.(2)由题设知0<α<，由(1)知cos α＝＝＝，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－cos α＋sin α＝－×＋×＝.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，所以BE＝4.